2024内蒙古中考数学二轮专项训练 题型七 反比例函数综合题（含答案）

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1. 如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(a，4)，点C的坐标为(－2，0)．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)点D在y轴上，连接AD，BD，若△ABD的面积为12，求点D的坐标．
第1题图
2.如图，点P为函数y＝eq \f(1,2)x＋1与函数y＝eq \f(m,x)(x>0)图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B.
(1)求m的值；
(2)点M是函数y＝eq \f(m,x)(x>0)图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝eq \f(1,2)，求点M的坐标．
第2题图
3. 如图所示，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝eq \f(k2,x)交于A、B两点，已知点B的纵坐标为－3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D(0，－2)，OA＝eq \r(5)，tan∠AOC＝eq \f(1,2).
(1)求直线AB的解析式；
(2)若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；
(3)直接写出不等式k1x＋b≤eq \f(k2,x)的解集．
第3题图
4. 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝eq \f(m,x)的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于点M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求eq \f(PQ,MN)的值．
类型二 反比例函数与几何图形结合
1. 如图，Rt△ABC的BC边在x轴上，点O为BC的中点，点A的坐标为(3，2eq \r(3))，反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)图象经过点A，将△ABC沿x轴水平向右平移得到△A′B′C′，A′C′与反比例函数图象交于点D.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在平移过程中，当△A′DB′ ∽△ABC，求点D的坐标．
第1题图
2. 如图，▱ABCD的顶点B在反比例函数y＝eq \f(k,x)(x≠0)的图象上，AD∥x轴，BC＝7，点O为AC的中点，已知点C(3，－3)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求证：点D在反比例函数的图象上；
(3)点P、Q分别在反比例函数图象的两支上，当四边形AQCP是菱形时，请求出点P的坐标．
第2题图
创新题
3. 背景：点A在反比例函数y＝eq \f(k,x)(k>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图①，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3.
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
(1)求k的值；
(2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图②，小李画出了x>0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式；
②补画x0)，则DM＝2t，
当点M在点P右侧时，
∴点M的坐标为(6＋2t，4－t)，
∴(6＋2t)(4－t)＝24，
解得t1＝1，t2＝0(舍去)，
当t＝1时，M(8，3)；
当点M在点P左侧时，
∴点M的坐标为(6－2t，4＋t)，
∴(6－2t)(4＋t)＝24，
解得t1＝0，t2＝－1，不符合题意均舍去．
综上所述，点M的坐标为(8，3)．
3. 解：(1)如解图，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵tan∠AOC＝tan∠AOE＝eq \f(AE,OE)＝eq \f(1,2)，
∴设AE＝m，则OE＝2m，
在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝OA2，
∴m2＋(2m)2＝(eq \r(5))2，
解得m＝1(负值已舍去)，
∴AE＝1，OE＝2，
∴点A的坐标为(－2，1)．
∵直线AB过点A(－2，1)，D(0，－2)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2k1＋b＝1，,b＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝－\f(3,2)，,b＝－2，))
∴直线AB的解析式为y＝－eq \f(3,2)x－2；
第3题解图
(2)如解图，连接OB，
将点B的纵坐标y＝－3代入y＝－eq \f(3,2)x－2中，得x＝eq \f(2,3)，
∴点B的坐标为(eq \f(2,3)，－3)，
∴S△ODB＝eq \f(1,2)×2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)，
∴S△OCP＝2S△ODB＝eq \f(4,3).
∵直线AB过点C，且点C的纵坐标为0，
∴把y＝0代入y＝－eq \f(3,2)x－2中，得x＝－eq \f(4,3)，
∴点C的坐标为(－eq \f(4,3)，0)，
∴OC＝eq \f(4,3).
如解图，设点P的坐标为(xP，yP)，连接PC、PO，
∵S△OCP＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)×yP＝eq \f(4,3)，
∴yP＝2.
∵点A的坐标为(－2，1)，
∴双曲线的解析式为y＝－eq \f(2,x).
∵点P是第二象限内双曲线上一点，
∴2＝－eq \f(2,xP)，解得xP＝－1，
∴点P的坐标为(－1，2)；
(3)－2≤x＜0或x≥eq \f(2,3).
4. 解：(1)∵反比例函数y＝eq \f(m,x)的图象过点A(2，3)，
∴m＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝eq \f(6,x).
又∵反比例函数y＝eq \f(6,x)的图象过点B(6，n)，
∴n＝eq \f(6,6)＝1，
∴B(6，1)．
又∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点A(2，3)，B(6，1)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k＋b＝3，,6k＋b＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,b＝4，))
∴一次函数的解析式为y＝－eq \f(1,2)x＋4；
(2)∵将直线AB向下平移8个单位后得到直线l，
∴直线l的解析式为y＝－eq \f(1,2)x＋4－8＝－eq \f(1,2)x－4，
令x＝0，则y＝－4，
令y＝0，则x＝－8，
∴直线l与x轴的交点为M(－8，0)，与y轴的交点为N(0，－4)，
∴OM＝8，ON＝4，
∴由勾股定理，得MN＝eq \r(OM2＋ON2)＝4eq \r(5).
∵直线l与反比例函数的图象交于点P，Q，
∴联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,2)x－4，,y＝\f(6,x)，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－3，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－6，,y＝－1，))
∴P(－6，－1)，Q(－2，－3)．
如解图，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两平行线相交于点C，
则∠C＝90°，点C(－2，－1)，
∴PC＝4，QC＝2，
∴由勾股定理，得PQ＝eq \r(PC2＋QC2)＝2eq \r(5)，
∴eq \f(PQ,MN)＝eq \f(2\r(5),4\r(5))＝eq \f(1,2).
第4题解图
类型二 反比例函数与几何图形结合
1. 解：(1)∵反比例函数图象经过点A，
将A(3，2eq \r(3))代入y＝eq \f(k,x)(x＞0)得2eq \r(3)＝eq \f(k,3)，解得k＝6eq \r(3)，
∴反比例函数的解析式为y＝eq \f(6\r(3),x)(x＞0)；
(2)∵点A的坐标为(3，2eq \r(3))，点O为BC的中点，
∴BC＝6，AB＝2eq \r(3)，
∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝eq \f(AB,BC)＝eq \f(2\r(3),6)＝eq \f(\r(3),3)，
∴∠ACB＝30°，∠CAB＝60°.
∵△A′DB′ ∽△ABC，
∴△A′DB′ 为直角三角形，且∠DB′A′＝30°，
∴A′D＝eq \f(1,2)A′B′＝eq \r(3).
如解图，过点D作DF⊥A′B′ 于点F，作DE⊥x轴于点E，
∴△A′DF为直角三角形．
∵∠A′＝60°，
∴∠A′DF＝30°，
∴A′F＝eq \f(1,2)A′D＝eq \f(\r(3),2)，
∴FB′＝DE＝A′B′－A′F＝2eq \r(3)－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)，
∵点D在反比例函数图象上，
将y＝eq \f(3\r(3),2)代入y＝eq \f(6\r(3),x)，
解得x＝4，
∴点D的坐标为(4，eq \f(3\r(3),2))．
第1题解图
2. (1)解：∵在▱ABCD中，AD∥x轴，
∵BC∥x轴，
∴BC＝7，C(3，－3)，
∴B(－4，－3)．
∵点B在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上，
∴k＝(－4)×(－3)＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝eq \f(12,x)；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且O是AC的中点，
∴点B与点D关于原点对称．
由(1)得B(－4，－3)，
∴D(4，3)．
∵当x＝4时，y＝eq \f(12,4)＝3，
∴点D在反比例函数的图象上；
(3)解：如解图，
∵四边形AQCP是菱形，
第2题解图
∴AC⊥PQ，AC与PQ互相平分，
∵C(3，－3)，
∴直线AC为第二、四象限的角平分线，
∴直线PQ为第一、三象限的角平分线，
∴直线PQ的解析式为y＝x.
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x，,y＝\f(12,x)，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2\r(3)，,y＝2\r(3)，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2\r(3)，,y＝－2\r(3)，))
∴点P的坐标为(2eq \r(3)，2eq \r(3))或(－2eq \r(3)，－2eq \r(3))．
3. 解：(1) ∵四边形ABED为正方形，AC＝4，CD＝3，
∴AD＝AC－CD＝1，
∴AB＝AD＝1，
∴点A的坐标是(4，1)．
∵点A在反比例函数图象上，
∴k＝4×1＝4；
(2)①设点A坐标为(x，eq \f(4,x))，
∴点D的横坐标为z＝x－eq \f(4,x)，
∴这个“Z函数”表达式为z＝x－eq \f(4,x)；
②画出图象如解图所示：
第3题解图
性质：
函数的图象是由两个分支组成的曲线；函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称；当x>0时，函数值z随自变量x的增大而增大，当x