2024内蒙古中考数学二轮专项训练 题型十 二次函数性质综合题（含答案）

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(2)当抛物线与x轴的另一个交点为B(2，0)时，求抛物线的解析式；
(3)若点C(b，1＋b)和点D(b＋1，0)在对称轴的同一侧，且当自变量x满足b≤x≤b＋1时，其对应的函数值y的最大值为m，最小值为n，若m－n＝3，求b的值．
2. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，并经过点C(1，－2)，D(2，3)、E(4，5)三点中的其中一点，直线y＝x＋m经过点A.
(1)判断抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)经过C、D、E中的哪个点，并说明理由；
(2)求a、m的值；
(3)若P为直线y＝x＋m上方抛物线上任一点(不与交点重合)，连接PB交直线y＝x＋m于M点，则eq \f(PM,BM)是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
3. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)．
(1)若b＝4，c＝－1，求抛物线顶点M的坐标；
(2)若抛物线顶点M的坐标为(m，m)，当c的值最大时，求抛物线的解析式；
(3)当c＝2b＋3时，若在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数的最大值为24，求此时b和c的值．
4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(0，－eq \f(7,4))，点B(1，eq \f(1,4))．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当－2≤x≤2时，求二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值和最小值；
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m.过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为－2m＋1.已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2＋bx＋c(－2≤x0)．
(1)通过配方可以将其化成顶点式为________，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴________(填上方或下方)，即4ah－k2________0(填大于或小于)时，该抛物线与x轴必有两个交点；
(2)若抛物线上存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方．请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；(为了便于说明，不妨设x10，(a＋c)(a＋b＋c)4a(a＋b＋c).
参考答案
1. 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c是常数)经过点A(－1，0)，
∴0＝－1－b＋c，
∴c＝b＋1.
当b＝2时，c＝3，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点P的坐标为(1，4)；
(2)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c是常数)经过点A(－1，0)，B(2，0)，
∴将A(－1，0)，B(2，0)代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1－b＋c＝0，,－4＋2b＋c＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝1，,c＝2，))
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2；
(3)抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(b,2)，
①当点C(b，1＋b)和点D(b＋1，0)在对称轴的左侧时，即eq \f(b,2)≥b＋1，解得b≤－2，
自变量满足b≤x≤b＋1时，y随x的增大而增大，
∴m＝0，n＝1＋b.
∵m－n＝3，
∴0－b－1＝3，解得b＝－4；
②当点C(b，1＋b)和点D(b＋1，0)在对称轴的右侧时，即eq \f(b,2)≤b，解得b≥0，
自变量满足b≤x≤b＋1时，y随x的增大而减小，
即m＝1＋b，n＝0，
∵m－n＝3，∴1＋b－0＝3，∴b＝2.
综上所述，b的值为－4或2.
2. 解：(1)抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)经过点D，理由如下：
将抛物线化成交点式得y＝a(x＋1)(x－3)，
令y＝0，则x＝－1或x＝3，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)．
又∵a＜0，
∴当－1＜x＜3时，y＞0，当x＜－1或x＞3时，y＜0，故排除C、E两点，
∴抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)经过点D;
(2)将D(2，3)代入y＝ax2－2ax－3a(a＜0)，
得4a－4a－3a＝3，解得a＝－1，
将A(－1，0)代入y＝x＋m，
得0＝－1＋m，解得m＝1，
∴a＝－1，m＝1；
(3)令－x2＋2x＋3＝x＋1，解得x1＝－1，x2＝2，
设点P的坐标为(p，－p2＋2p＋3)，其中－1＜p＜2，
如解图，过点P作PG∥x轴交直线y＝x＋1于点G，则eq \f(PG,AB)＝eq \f(PM,BM)，
∵AB＝4，为定值，
∴当PG取得最大值时，eq \f(PG,AB)＝eq \f(PM,BM)取得最大值，
令－p2＋2p＋3＝x＋1，解得x＝－p2＋2p＋2，
此时PG＝－p2＋2p＋2－p＝－p2＋p＋2＝－(p－eq \f(1,2))2＋eq \f(9,4)，
当p＝eq \f(1,2)时，PG有最大值eq \f(9,4)，此时eq \f(PG,AB)＝eq \f(\f(9,4),4)＝eq \f(9,16)，即eq \f(PM,BM)的最大值为eq \f(9,16).
第2题解图
3. 解：(1)当b＝4，c＝－1时，
抛物线为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3，
∴M(2，3)；
(2)∵y＝－x2＋bx＋c＝－(x－eq \f(b,2))2＋eq \f(4c＋b2,4)，
∴M(eq \f(b,2)，eq \f(4c＋b2,4)).
∵点M(m，m)，
∴eq \f(b,2)＝eq \f(4c＋b2,4).
∴c＝－eq \f(1,4)b2＋eq \f(1,2)b.
∵c＝－eq \f(1,4)b2＋eq \f(1,2)b＝－eq \f(1,4)(b－1)2＋eq \f(1,4)，
∴当b＝1时，c的值最大，最大值为eq \f(1,4)，
此时抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋eq \f(1,4)；
(3)∵c＝2b＋3，
∴y＝－x2＋bx＋2b＋3.
由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(b,2)，
当eq \f(b,2)≥3，即b≥6时，1≤x≤3在对称轴的左侧，
∵－1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧，y随着x的增大而增大，
∴当x＝3时，函数值y最大，最大值为－9＋3b＋2b＋3＝5b－6，
∴5b－6＝24，
∴b＝6，c＝2b＋3＝15；
当1＜eq \f(b,2)＜3，即2＜b＜6时，对称轴在1≤x≤3之间，
∴当x＝eq \f(b,2)时，y有最大值，为eq \f(b2,4)＋2b＋3，
∴eq \f(b2,4)＋2b＋3＝24，
解得b＝6或b＝－14，不合题意舍去；
当eq \f(b,2)≤1，即b≤2时，1≤x≤3在对称轴的右侧，
∵－1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，函数值最大，最大值为－1＋3b＋3＝24，
解得b＝eq \f(22,3)(不合题意舍去)．
综上所述，b的值为6，c的值为15.
4. 解：(1)把A(0，－eq \f(7,4))，B(1，eq \f(1,4))代入y＝x2＋bx＋c，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝－\f(7,4)，,1＋b＋c＝\f(1,4)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝1，,c＝－\f(7,4)，))
∴二次函数的解析式为y＝x2＋x－eq \f(7,4)；
(2)由(1)得，y＝x2＋x－eq \f(7,4)＝(x＋eq \f(1,2))2－2，
∵1＞0，－2≤x≤2，
∴当x＝－eq \f(1,2)时，y有最小值为－2，
当x＝2时，y有最大值为eq \f(17,4)；
(3)①当点Q在点P的右侧时，－2m＋1>m，解得meq \f(1,3)时，线段PQ的长度随m的增大而增大(舍去)．
综上所述，m的取值范围为m