2024内蒙古中考数学二轮专项训练 题型四 解直角三角形的实际应用 （含答案）

这是一份2024内蒙古中考数学二轮专项训练 题型四 解直角三角形的实际应用 （含答案），共9页。试卷主要包含了8，cs53°≈0，25－2，5，等内容，欢迎下载使用。

第1题图
2. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来．已知CM＝3 m，CO＝5 m，DO＝3 m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米，才能发现C处的儿童(结果保留整数)？(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75)
第2题图
3. 如图，在数学综合实践活动课上，九年级(1)班数学兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量建筑物CD的遮光板DE的长度，先测得建筑物CD的高为10 m，然后在A处测得建筑物CD的遮光板外沿E的仰角为30°，向正前方走9 m到达B处后测得遮光板内沿D的仰角为45°，求遮光板DE的长．(点A、B、C在一条直线上，DE∥AC，结果保留根号)
第3题图
4. 小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向， C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求两棵银杏树B、C之间的距离(结果保留根号)．
第4题图
5. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2eq \r(10)米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1∶3(点E、C、B在同一水平线上)．
(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
(2)求大树AB的高度(结果保留根号)．
第5题图
6.拓展小组研制的智能操作机器人，如图①，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50 cm，连杆BC长度为70 cm，手臂CD长度为60 cm，点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．
(1)转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图②，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长(精确到1 cm，参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6)；
(2)物品在操作台l上，距离底座A端110 cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
第6题图
创 新 题
7. 白塔市位于呼和浩特市东临17公里的白塔村，原为辽代丰州古城内一座佛教寺院中的藏经塔．某数学活动小组在学习完“锐角三角函数”之后，决定测量白塔的高度．为了减小误差，该数学活动小组在测量仰角的度数及两个测量点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)：
(1)两次测量C、D之间的距离的平均值是_____________________________________m；
(2)根据以上测量结果，请你帮助该数学活动小组计算白塔AB的高度．(结果精确到1 m，参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，eq \r(3)≈1.73)
参考答案
1. 解：如解图，过点P作PD⊥AB于点D，
第1题解图
则∠PDB＝∠PDA＝90°，
由题意，得∠BPD＝45°，∠APD＝60°，AB＝1500，
设菜市场P到AB的垂直距离PD为x，
∴AD＝PD·tan60°＝eq \r(3)x，BD＝PD＝x，
∴AB＝AD＋BD＝eq \r(3)x＋x＝1500，
解得x≈547.5.
答：菜市场P到AB的垂直距离约为547.5米．
2. 解：∵CM＝3，CO＝5，∠CMO＝90°，
∴在Rt△CMO中，MO＝eq \r(52－32)＝4.
∵∠BOD＝∠COM，∠BDO＝∠CMO＝90°，
∴△BDO∽△CMO，
∴eq \f(BD,CM)＝eq \f(DO,MO)，
即eq \f(BD,3)＝eq \f(3,4)，∴BD＝2.25.
在Rt△ADO中，tan∠AOD＝eq \f(AD,OD)，
∴tan70°＝eq \f(AD,3)，
∴AD≈3×2.75＝8.25，
∴AB＝AD－BD＝8.25－2.25＝6(m)．
答：汽车从A处前行约6 m，才能发现C处的儿童．
3. 解：如解图，过点E作EF⊥AC于点F，可得四边形EFCD是矩形，
第3题解图
由题意得∠EAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝9，CD＝10，
∴EF＝CD＝10，DE＝CF.
在Rt△AEF中，AF＝eq \f(EF,tan30°)＝10eq \r(3)，
在Rt△BCD中，BC＝eq \f(CD,tan45°)＝10，
∴CF＝AC－AF＝AB＋BC－AF＝19－10eq \r(3)，
∴DE＝CF＝19－10eq \r(3)，
答：遮光板DE的长为(19－10eq \r(3))m.
4. 解：(1)由题意知，BE∥AD，∠EBD＝60°，
∴∠BDA＝∠EBD＝60°.
∵∠BDA＝∠C＋∠CAD，∠CAD＝30°，
∴∠C＝∠BDA－∠CAD＝30°；
(2)如解图，过点B作BG⊥AD于点G.
∴∠AGB＝∠BGD＝90°.
在Rt△AGB中，AB＝20，∠BAG＝45°，
∴AG＝BG＝20×sin45°＝10eq \r(2).
在Rt△BGD中，∠BDA＝60°，
∴BD＝eq \f(BG,sin60°)＝eq \f(20\r(6),3)，DG＝eq \f(BG,tan60°)＝eq \f(10\r(6),3).
∵∠C＝∠CAD＝30°，
∴CD＝AD＝AG＋DG＝10eq \r(2)＋eq \f(10\r(6),3)，
∴BC＝BD＋CD＝10eq \r(2)＋10eq \r(6)＝10(eq \r(2)＋eq \r(6))米．
答：两棵银杏树B、C之间的距离为10(eq \r(2)＋eq \r(6))米．
第4题解图
5. 解：(1)如解图，过点D作DH⊥CE于点H，
在Rt△CDH中，i＝eq \f(DH,CH)＝eq \f(1,3)，
∴CH＝3DH.
∵CH2＋DH2＝CD2，
∴(3DH)2＋DH2＝(2eq \r(10))2，
解得DH＝2或－2(舍去)，
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
(2)如解图，延长AD交CE于点G，
由题意，得∠AGC＝30°，
∴GH＝eq \f(DH,tan∠AGC)＝eq \f(2,\f(\r(3),3))＝2eq \r(3).
∵CH＝3DH＝6，
∴GC＝GH＋CH＝2eq \r(3)＋6.
在Rt△BAC中，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴tan∠AGB＝eq \f(AB,BG)＝eq \f(AB,BC＋CG)＝eq \f(AB,AB＋2\r(3)＋6)＝eq \f(\r(3),3)，
解得AB＝6＋4eq \r(3)，
答：大树AB的高度为(6＋4eq \r(3))米．
第5题解图
6. 解：(1)如解图①， 过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，
第6题解图①
由题意，得∠ABC＝143°，∠ABQ＝90°，
∴∠CBQ＝53°，
∴在Rt△BCQ中，CQ＝BC·sin53°≈70×0.8＝56.
∵CD∥l，PQ＝AB＝50，
∴DE＝CP＝CQ＋PQ＝56＋50＝106，
答：手臂端点D离操作台l的高度DE长为106 cm；
(2)能．理由如下：
如解图②，当点B，C，D共线时，
第6题解图②
BD＝60＋70＝130，AB＝50，
在Rt△ABD中，AD＝eq \r(BD2－AB2)＝eq \r(1302－502)＝120.
∵120＞110，
∴手臂端点D能碰到点M.
7. 解：(1)29.5；
(2)由题意，设白塔AB的高度为x m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝40°，tan∠ACB＝eq \f(x,BC)，
∴BC＝eq \f(x,tan40°).
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，tan∠ADB＝eq \f(x,BD)，
∴BD＝eq \f(x,tan30°).
∵BD－BC＝29.5，
∴eq \f(x,tan30°)－eq \f(x,tan40°)＝29.5，
解得x≈55.
答：白塔AB的高度约为55 m.
活动课题
测量白塔的高度
活动工具
测角仪和皮尺
测量示意图
第7题图
说明：如图，他们先在点C处测得古塔顶端A的仰角为∠ACB，再在点D处测得古塔顶端A的仰角为∠ADB，且B、C、D在同一条直线上
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
∠ACB
40.5°
39.5°
40°
∠ADB
30.2°
29.8°
30°
C、D之间的距离
29.6 m
29.4 m
…
…