[数学]河北省邢台市五岳联盟2023-2024学年高二下学期期中考试试卷(解析版)

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第三册第七章7.2.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1. 某羽毛球队共有11名男队员，9名女队员，现组成一男一女的队伍参加男女混双比赛，则不同的组合方案共有（ ）
A. 9种B. 11种C. 20种D. 99种
【答案】D
【解析】依题意，求不同的组合方案需要两步，先取男队员有11种方法，再取女队员有9种方法，
所以不同的组合方案共有.
故选：D
2. 已知服从两点分布，若，则（ ）
A. 0.48B. 0.52C. 0.24D. 0.26
【答案】B
【解析】由服从两点分布，，得.
故选：B
3. 的展开式中，系数最大的项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为展开式的通项为：，
项的系数即为二项式系数，由为偶数，展开后一共501项，
所以展开式中系数最大的项的系数为.
故选：C.
4. 曲线在处切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，
则所求切线的斜率为.
故选：A.
5. 已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由双曲线定义可知：，
则三角形的周长为，
故.
故选：D.
6. 河北省沧州市渤海新区中捷产业园区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高､维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦19”和“捷麦20”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展.现有A，B，C，D四块盐碱地，计划种植“捷麦19”和“捷麦20”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，则不同的种植方案共有（ ）
A. 18种B. 16种C. 14种D. 12种
【答案】C
【解析】第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，
则不同的种植方案有种,
第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，
则不同的种植方案有种,
故不同的种植方案共有种.
故选：C.
7. 如图，在三棱锥中AB，AC，AP两两垂直，E，F分别为BC，PC的中点，且，则二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在三棱锥中AB，AC，AP两两垂直，，
则平面，
取中点，连接，
由为的中点，得，则平面，
平面，则有，
过作于，连接，
显然平面，
则平面，平面，
于是，是二面角的平面角，
，
由，解得，
又，
在中，，
则，，
所以二面角的余弦值为.
故选：B
8. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对两边求导，
可得.
令，得，①
令，得，②
由①+②，得，
所以.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. A与相互独立B. 与相互对立
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，由，得，即，A与相互独立，A正确；
对于B，由选项A知，，则，即与不互斥，不对立，B错误；
对于CD，，C正确，D错误.
故选：AC
10. 在平面直角坐标系中，第一､二､三､四象限内各有2个点，且任意3个点都不共线，则下列结论正确的是（ ）
A. 以这8个点中的2个点为端点的线段有28条
B. 以这8个点中的2个点为端点的线段中，与轴相交的有8条
C. 以这8个点中的3个点为顶点的三角形有56个
D. 以这8个点中的3个点为顶点，且3个顶点在3个象限的三角形有32个
【答案】ACD
【解析】以这8个点中的2个点为端点的线段有条，正确.
轴上方有4个点，下方有4个点，所以这样的线段有条，错误.
以这8个点中的3个点为顶点的三角形有个，正确.
先选3个象限，从这3个象限中每个象限任选1个点作为三角形的顶点，则这样的三角形有个，正确.
故选：ACD.
11. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 的最小值是2
B. 的最小值是
C. 的最小值是
D. 的最小值是
【答案】BC
【解析】设，
易知点轨迹是抛物线的上半部分，
抛物线的准线为直线到准线的距离，为抛物线的焦点，
对于AB，
，
所以的最小值为，故A错误，B正确；
对于CD，
，
所以的最小值是，故C正确，D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在等差数列中，，则______．
【答案】3
【解析】令等差数列的公差为，由，得，
因此，所以.
故答案为：3
13. 某校运动会短跑比赛有两个项目：100米短跑和400短跑．甲参加100米短跑比赛的概率为0.7，参加400米短跑比赛的概率为0.3，且甲参加100米短跑比赛夺冠的概率为0.7，参加400米短跑比赛夺冠的概率为0.8，则甲参加短跑比赛夺冠的概率为______．
【答案】0.73
【解析】事件：甲参加100米短跑比赛，事件：甲参加400米短跑比赛，事件：甲参加短跑比赛夺冠，
则，，，
且互斥，
所以.
所以甲参加短跑比赛夺冠的概率为0.73.
故答案为：0.73
14. 已知椭圆的离心率为，过的右焦点的直线与交于两点，与直线交于点，且，则的斜率为______.
【答案】
【解析】因为椭圆的离心率为，
所以，
解得，所以的方程为，
所以椭圆右焦点为，
当直线为时，，，，故不符合题意，
当直线斜率不为0时，设，，由题意显然有，
联立，得，
则，
所以.
易得，则.
由，得，即，
所以，即，故的斜率为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 入春以来，成群的红嘴鸥在河北省阜平县平阳镇王快水库栖息飞翔，碧水鸥影的生态美景，吸引众多游客前来打卡，为了更好地保护红嘴鸥，渔民自发地驾船在王快水库巡护红嘴鸥．已知甲、乙等六名渔民计划巡护红嘴鸥六天，每人巡护一天，
（1）若甲不在第一天巡护，问有多少种不同的巡护方案？
（2）若甲、乙不在相邻的两天巡护，问有多少种不同的巡护方案？
解：（1）甲不在第一天巡护有5种选择，不同的巡护方案有.
（2）甲、乙等六名渔民计划巡护红嘴鸥六天每人巡护一天，甲、乙不在相邻的两天巡护，
先排其他四个人巡护方案，甲、乙不在相邻的两天巡护可以插空得出巡护方案.
16. 已知在二项式的展开式中，第项为常数项.
（1）求；
（2）求的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；
（3）在的展开式中，求含的项.
解：（1）由题意得第项为，
则，解得.
（2）所有奇数项的二项式系数之和为.
（3）由（1）知，
其中展开式的通项为（且），
则的展开式中，含的项为，
含的项为，
所以在的展开式中含的项为.
17. 一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）．现从盒子中—次性随机取出3个小球．
（1）求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率；
（2）在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列．
解：（1）7个球里取3个共有种，
3个小球上的数字之和等于10的含有4，5，1；3，5，2；3，4，3，
其中4，5，1只有一种，而3，5，2有种，即从两个3，两个2里各取一个，3，4，3也只有一种，
所以总共有种，
所以取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为.
（2）由题意可知，X可能的值有5，4，3，2，
，，
，.
所以X的分布列为：
18. 在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，
（1）计算；
（2）设数列满足，求的通项公式；
（3）设排列满足，求，
解：（1）在排列中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，
与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，
所以.
（2）由（1）中的方法，同理可得，
又，所以，
设，得，
所以，解得，则，
因为，
所以数列是首项为1，公比为5的等比数列，
所以，则.
（3）因为，
所以，
所以，
所以
19. 已知函数和．
（1）若在上的最小值为，求的值；
（2）若不等式恒成立，求的取值集合．
解：（1），，
若，则，所以在上单调递增，则无最小值，不符合题意，
所以，当时，单调递减，
当时，单调递增，所以，
由，得，即或
因为，所以.
（2）的定义域为，
由，得，
令函数，，
则，
所以单调递增，得，
令函数，，则，
若，则在上单调递增，因，
所以当时，，不符合题意，所以，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，即恒成立，
令函数，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，即，
故，即，
所以的取值集合为.
2
3
4
5