精品解析：江苏省五市十一校2023-2024学年高一下学期5月阶段联测数学试卷

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考试时间120分钟 试卷总分150分
命题人： 审核人：
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列各式中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算或考虑四个选项的值，再比对选项.
【详解】对于A，有，故A错误；
对于B，有，故B错误；
对于C，有，故C错误；
对于D，有，故D正确.
故选：D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出，再用共轭复数的定义得到答案.
【详解】由已知有，，故.
故选：A.
3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cs B＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理求即可.
【详解】由b2＝ac，
又c＝2a，
得，
由余弦定理，
得cs B＝＝.
故选：B.
4. 在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.
【详解】
，
故选：D．

5. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出直观图对应的原图，由此求得原平面图形的周长.
【详解】直观图中，，
由此画出直观图对应的原图如下图所示，其中，
所以，
所以原平面图形的周长为.
故选：A.
6. 已知向量 满足 ，则 （ ）
A. 13B. 7C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用数量积与模的关系可得，进而可求的值.
【详解】由得，即，得，
所以，.
故选：A.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明，再逆向使用正切差公式和余弦差公式推出.
【详解】假设，则，
则，
矛盾，所以.
由已知有，
故，而，故，即.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对三角函数和差公式的逆用.
8. 设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，且，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间直线，平面的位置关系及其性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A，若，则与可能会相交或平行，故选项A错误；
对于选项B，若，且，根据线面垂直可知，.故选项B正确；
对于选项C，若，则可能会平行、相交或异面，故选项C错误；
对于选项D，若，则与可能会相交或平行，故选项D错误.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A. 若，，，则符合条件的有两个
B. 若，，，则符合条件的有且只有一个
C. 若，则一定是锐角三角形
D. 若，则一定是等腰三角形
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，解出可能即可；对于B，求出可能的即可；对于C，给出反例即可；对于D，给出反例即可.
【详解】对于A，由余弦定理可知，即.
所以或，经验证和均满足条件，从而的三边共有两种可能的取值情况，所以A正确；
对于B，由余弦定理可知，即，且经验证符合条件，从而的三边有唯一的取值情况，所以B正确；
对于C，若，则是直角三角形，但，所以C错误；
对于D，若，则不是等腰三角形，但此时由可知，故，所以D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用余弦定理确定三角形的三边取值情况数量，进而确定满足条件的三角形数量.
10. 如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 当为中点时，
C. 存在点，使得平面平面
D. 三棱锥的体积为定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，直接使用中位线的性质即可证明；对于B，使用等腰三角形的中线性质即可证明；对于C，使用反证法即可否定结论；对于D，直接计算出三棱锥的体积即可验证.
【详解】对于A，由于分别是的中点，故.
而，所以，故A正确；
对于B，当是的中点时，由于，故，而，所以，故B正确；
对于C，假设平面平面，则两平面没有公共点，从而两直线没有公共点，又由于两直线都在下底面内，故.
而，这意味着和重合，矛盾，故C错误；
对于D，设到平面的距离和到直线的距离分别为和，则，从而三棱锥的体积，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于C选项对线面平行和线线平行定义的运用.
11. 下列四个命题为真命题的是（ ）
A. 若向量满足，，则
B. 若向量，，则在上的投影向量为
C. 若向量是与向量共线的单位向量，则
D. 已知向量，，则的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，给出作为反例即可；对于B，直接计算出投影向量的值即可；对于C，直接给出反例即可；对于D，先证明，再说明当，时即可.
【详解】对于A，若，则显然有，，但没有任何限制条件，从而未必有，故A错误；
对于B，在上的投影向量为，故B正确；
对于C，注意到也是与向量共线的单位向量，故C错误；
对于D，由于
，
其中，
且当，时，有.
所以的最大值是，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对向量共线和向量平行定义的辨析.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，满足，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到以为原点，建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算公式，即可求解.
【详解】在中，由，可得，
所以为直角三角形，
以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则，可得，
所以.
故答案为：.
13. ____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦的倍角公式和两角差的正弦公式，准确运算，即可求解.
【详解】由.
故答案：.
14. 已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面直径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于____________．
【答案】##
【解析】
【分析】设圆锥母线长为，根据题意，求得，得到圆锥的高为，设外接球的半径为，作出轴截面，结合球的截面圆的性质，列出方程，求得的值，利用球的表面积公式，即可求解
【详解】设圆锥的母线长为，因为圆锥底面直径为，且侧面展开图是一个圆心角为的扇形，
可得，解得，则圆锥的高为，
设外接球的半径为，作出组合体的轴截面，如图所示，
在直角中，可得，即，
解得，所以球的表面积为.
故答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数 是虚数单位．
（1）若对应的点在实轴上，求实数的值；
（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，化简复数由复数，得到，即可求解；
（2）由（1）得到，根据题意，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由复数，可得，
因为复数对应的点在实轴上，可得，解得.
【小问2详解】
解：由，可得
因为复数在复平面上对应的点在第二象限，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
16. 在 中，是角分别所对的边，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由余弦定理得出，即可求解；
（2）由余弦定理，求得，求得的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.
【小问1详解】
解：在中，因为，
由余弦定理得，即，
整理得，解得或（舍去），所以的值为.
【小问2详解】
解：在中，由余弦定理得，
因为，可得，
又因为，所以
.
17. 设△ABC是边长为3的正三角形，点、三等分线段（如图所示）.
（1）求的值；
（2）在线段的何处时，取得最小值，并求出此最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，根据向量的运算法则，求得和，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解；
（2）建立平面直角坐标系，设，求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：如图所示，设，可得且
因为点、三等分线段，可得，
，
则.
【小问2详解】
解：以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，
因为是边长为3的等边三角形，可得，，
又因为在线段上，设，其中，
则，
所以，
当且仅当时，取得最小值，最小值为.
18. 如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值.（先找角再证明最后计算）
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）构造底面的中心并证明，再使用线面平行的判定定理；
（2）证明，，然后直接计算即可.
【小问1详解】
已知底面是菱形，如图，设其中心为，则是线段和的中点.
由于是的中点，故，而在平面内，不在平面内，所以平面.
【小问2详解】
我们有，.
而是的中点，所以，，从而二面角的正切值就是.
而由于，，
故.
所以二面角的正切值为.
19. 作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度假的“新风尚”.我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：区域为自由活动区，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏.已知，，，.
（1）若时，求护栏的长度（的周长）；
（2）若鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍，求；
（3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在中求出，，再在中，利用余弦定理求出，进而由得，从而求，可得护栏的长度（的周长）；
（2）设（），利用三角形的面积公式可得，又在中，由正弦定理得，从而由可求；
（3）设，在中，利用正弦定理求出，再利用三角形的面积公式和三角恒等变换即可求解.
小问1详解】
由，，，
得，又，则，，
所以，
在中，
由余弦定理可得
，则，
因为，所以，
∵，∴，
∴，
∴护栏的长度（的周长）为.
【小问2详解】
设，
因为鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍
所以，即，
在中，，
由，得，
从而，即，而，
由，得，所以，即.
【小问3详解】
设，由（2）知，
又在中，由，得，
所以
，
所以当且仅当，
即时，的面积取最小值为.
【点睛】思路点睛：本题考查余弦定理、正弦定理的应用与三角恒等变换的综合问题，在解题此类问题时，认真观察转化为解三角形问题，在应用正弦定理和余弦定理时候要注意具体在用哪一个三角形，要善于结合三角恒等变换化简求解.