精品解析：重庆市第一中学校2024届高三下学期5月月考测试数学试题

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注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知是实数集内的等比数列，满足，，则（ ）
A. 3B. 或C. 9D. 或
3. 已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，则该圆锥的底面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知定义在R上函数是奇函数，且当时，，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
5. 如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（ ）种.
A. 10B. 20C. 60D. 120
6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
7. 已知直线与函数的图象相切（），则（e为自然对数的底数）的最小值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. e
8. “四二一广场”是重庆第一中学校文化地标（如图1），广场中心的建筑形似火炬宛若花开，三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带（如图2）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号“∞”.在平面直角坐标系中，设线段AB长度为2a（），坐标原点O为AB中点且点A，B均在x轴上，若动点P满足，那么点P的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”（如图3）.若，点P在第一象限且，则（ ）

A. B. C. D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量X和Y，下列说法正确是（ ）
A. X和Y是分类变量，则值越大，则判断“X与Y独立”的把握越大
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线两个焦点分别为，，过作斜率为的直线，与双曲线相交于点P，若，则双曲线的离心率可能是（ ）
A. B.
C. D.
11. 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法.其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素（，2，，）比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列，最终完成了冒泡排序.同样地，序列需要依次交换，完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含n个不等实数的序列进行冒泡排序（），设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数z的共轭复数是，若，则___________.
13. 已知的最大值为3，则___________.
14. 如图，已知棱长均为4正四棱锥P-ABCD中，M和N分别为棱AB、PC的中点，过M和N可以作平面使得，则平面截正四棱锥P-ABCD所得的截面面积为___________.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A的大小；
（2）若，BC边上的中线AD长为，求的面积.
16. 在一种新能源产品的客户调查活动中发现，某小区10位客户有4人是该产品的潜在用户，小刘负责这10人的联系工作，他先随机选择其中5人安排在上午联系，剩余5人下午联系.
（1）设上午联系的这5人中有个潜在用户，求的分布列与期望；
（2）小刘逐一依次联系，直至确定所有潜在用户为止，求小刘6次内即可确定所有潜在用户的概率.
17. 如图，直三棱柱侧棱长为2，，，D，E，F分别为，，BC的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若直线DE与平面ABC所成的角大小为，求二面角的余弦值.
18. 已知，，直线l：，动点P到l的距离为d，满足，设点P的轨迹为C，过点F作直线，交C于G，H两点，过点F作与垂直的直线，直线l与交于点K，连接AG，AH，分别交直线l于M，N两点.
（1）求C的方程；
（2）证明：；
（3）记，的面积分别为，，四边形AGKH的面积为，求的范围.
19. 函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数在处的极限定义如下：，存在正数，当时，均有，则称在处的极限为A，记为，例如：在处的极限为2，理由是：，存在正数，当时，均有，所以.已知函数，，（，为自然对数的底数）.
（1）证明：在处的极限为；
（2）若，，，求的最大值；
（3）若，用函数极限的定义证明：.