2024届江苏省苏州市高三数学模拟信息卷2

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若的展开式中各项系数之和为-128，则展开式中的系数为（ ）
A．-2835B．945C．2835D．-945
4．碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失．已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡年后，碳14所剩质量，其中为活体组织中碳14的质量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代，2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的0．4倍，依据计算结果可推断该生物死亡的时间约为公元前（ ）（参考数据：）
A．5554年B．5546年C．7576年D．7577年
5．如图所示，西周瑞生盒（gui）是贵族瑞生为其祖先制作的宗庙祭祀时使用的青铜器．该青铜器可看成由上、下两部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作圆柱，且圆台和圆柱的高之比约为，圆台的上底面与圆柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为，则圆台与圆柱的体积之比约为（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
8．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．大数据时代为媒体带来了前所未有的丰富数据资源和先进的数据科学技术，在AI算法的驱动下，无论是图文编辑、视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易．已知某数据库有视频个，图片张．从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙人选”为事件，“视频甲人选”为事件，“图片乙人选”为事件，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点分别为，，则（ ）
A．直线恒过定点B．最小值为
C．的最小值为D．满足的点有且只有一个
11．定义在上的函数满足，且，均有，当时，，则（ ）
A．
B．时，数列是公比为2的等比数列
C．在上单调递增
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．向量在向量上的投影向量为，则 ．
13．如图所示，已知圆雉的轴截面为等边，，，分别为，的中点，
为底面圆周上一点．若与所成角的余弦值为．则 ．
14．已知实数，满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
16．（15分）如图所示，在四棱雉中，平面平面，底面为直角梯形，，，，．
（1）求证：；
（2）若直线与所成的角为，求四棱锥的体积．
17．（15分）某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝有硬翅风筝、软翅风筝、串式风筝、板式风筝、立体风筝共5种，将风筝装人盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝；摸取串式风筝、板式风筝、立体风筝均得2分并放飞风筝．每次摸取风等的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为，摸取其余3种风筝的概率为．
（1）若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为分，求的分布列与数学期望；
（2）假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为中的任意一个数，记乙累计得分的概率为，当时，求．
18．（17分）设双曲线的左、右焦点分别为，且焦距为8，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知是直线上一点，直线交双曲线于两点，其中在第一象限，为坐标原点．过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：点为线段的中点．
19．（17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．
根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
（1）证明：当时，；
（2）证明：对任意的正整数，；
（3）证明：e是无理数．