福建省龙岩市上杭县东南片区十八校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份福建省龙岩市上杭县东南片区十八校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2. 下列一元二次方程没有实数根的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：A．方程中，此方程有两个不相等的实数根；
B．方程中，此方程有两个相等的实数根；
C．方程中，此方程有两个不相等的实数根；
D．方程中，此方程没有实数根；
故选D．
3. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为．
故选：B．
4. 已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一个解，则m的值是（ ）
A. 1B. 0C. 0或1D. 0或﹣1
答案：A
解析：解：把x=1代入方程x2-2mx+1=0，可得1-2m+1=0，得m=1，
故选：A．
5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两不相等实数根B. 有两相等实数根
C. 无实数根D. 不能确定
答案：A
解析：，
△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8，
∵(k+1)2≥0，
∴(k+1)2+8>0，
即△>0，
∴方程有两个不相等实数根，
故选A.
6. 点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：二次函数中，，开口向下，对称轴为直线，
则二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越小，
到对称轴的距离分别为、、
∵，
∴
故选：B．
7. 如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是（ ）

A. （1，0）B. （0，0）C. （-1，2）D. （-1，1）
答案：C
解析：解：如图所示，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，只有（-1，2）点到三角形的三顶点距离相等，故（-1，2）是图形的旋转中心，
故选：C．
8. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，由题意所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：依题意得：，
故选：A
9. 四位同学在研究函数（是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
答案：B
解析：解：A．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确
由乙、丁同学的结论可得
解得：
∴二次函数的解析式为：
∴当x=时，y的最小值为，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；
B．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为
当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0
∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；
C． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确
由甲乙的结论可得
解得：
∴
当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；
D． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为
当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意．
故选B．
10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：B
解析：∵抛物线开口向下，则 a＜0．
对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b＞0．
抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴是直线 x=1，则=1，b=﹣2a，
∴2a+b=0，故②正确；
由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，在 x=﹣1 时，y＜0，故③错误；
当 x=﹣1 时，有 y=a﹣b+c＜0，故④正确；
由 2a+b=0，得 a=﹣，代入a﹣b+c＜0得﹣+c＜0，两边乘以 2 得 2c﹣3b＜0，故⑤错误．
综上，正确的选项有：①②④．
所以正确结论的个数是3个．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11. 若y与x的函数+3x是二次函数，则m=______．
答案：-1
解析：∵+3x 是二次函数，
∴m2+1=2且m-1≠0，
解得：m=-1，
故答案为-1．
12. 已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝_______．
答案：1
解析：∵物线 与x轴交点的横坐标为-1，
∴a-1+c=0，
∴a+c=1，
故答案为1.
13. 已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m的值为 ___．
答案：-3
解析：解：将一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9整理得：
（m﹣3）x2﹣3x+m2-9=0，
∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为：-3
14. 如图，在平面直角坐标系中，将点P（4，6）绕坐标原点O顺时针旋转90°得到点Q，则点Q的坐标为_____．
答案：（6，﹣4）
解析：解：作图如下，
∵∠MPO+∠POM＝90°，∠QON+∠POM＝90°，
∴∠MPO＝∠QON，
在△PMO和△ONQ中，
，
∴△PMO≌△ONQ（AAS），
∴PM＝ON，OM＝QN，
∵P点坐标为（4，6），
∴Q点坐标为（6，﹣4），
故答案为（6，﹣4）．
15. 已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是_____．
答案：4．
解析：∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，
∴n＝﹣m2﹣3m+3，
∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．
故答案为4．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°至AD'，连接BD'．若AB＝2cm，则BD'的最小值为_____．
答案：1．
解析：解：在AC上截取AE＝AB＝2，作EF⊥BC于F，如图，
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝4，BC＝AB＝2，∠BAC＝60°，
∴CE＝AC﹣AE＝2，
在Rt△CEF中，EF＝CE＝1，FC＝EF＝，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°至AD'，
∴AD＝AD′，∠DAD′＝60°，
∴∠BAD′＝∠EAD，
在△ABD′和△ADE中
，
∴△ABD′≌△ADE，
∴DE＝BE′，
在Rt△DEF中，DE2＝DF2+EF2＝（﹣BD）2+12＝（BD﹣）2+1，
∴当BD＝时，DE2有最小值1，
∴BD'的最小值为1．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解方程：
（1）；
（2）
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：，
∴，
∴或，
解得：；
小问2解析：
解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：．
18. 已知二次函数的图象经过点(1，10)，顶点坐标为(－1，－2)，则此二次函数的解析式并写出y随x值的增大而增大的x取值范围？
答案：；当x>-1时，y随x的增大而增大
解析：解：设此二次函数的解析式为且经过点（1,10）
∴
解得：，
∴ 二次函数的解析式为：，
∵对称轴为：，且抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大.
19. 图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
答案：（1）见解析；（2）见解析．
解析：解：（1）如图1，△DCE即为所求；
（2）如图2，△DCE即为所求．
20. 已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根
（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围
答案：（1）证明见解析；（2）
解析：（1）证明：
∴方程总有两个实数根
（2）
∴
∴
∵方程有一个小于1的正根
∴
∴
21. 如图①，等腰直角三角形的直角顶点O为正方形的中心，点C，D分别在和上，现将绕点O逆时针旋转α角，连接，（如图②）．
（1）在图②中，＝ ；（用含α的式子表示）
（2）在图②中猜想与的数量关系，并证明你的结论．
答案：（1）
（2），见解析
小问1解析：
解：绕点O逆时针旋转α角，
，
四边形为正方形，
，
，
故答案为：；
小问2解析：
，理由如下，
如图②，∵四边形为正方形，
，，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
在和中
，
，
∴．
22. 如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE．
（1）求证：△ABC≌△ABE；
（2）连接AD，求AD的长．
答案：（1）见解析；（2）.
解析：（1）证明：∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，
∴∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC，
∵∠DBC＝90°，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝30°，
在△ABC与△ABE中，，
∴△ABC≌△ABE（SAS）；
（2）解：连接AD，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，
∴DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC＝2，
∵△ABC≌△ABE，
∴∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2，
∵∠C＝45°，
∴∠BED＝∠BEA＝∠C＝45°，
∴∠AED＝90°，DE＝AE，
∴AD＝AE＝2．
23. “互联网”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条元，当售价为每条元时，每月可销售条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每月可多销售条．设每条裤子的售价为元为正整数，每月的销售量为条．
（1）求与的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
答案：（1）
（2）当销售单价降低元时，每月获得最大利润为元
小问1解析：
解：由题意得：，
与的函数关系式为，
故答案为：；
小问2解析：
由题意得：，
，抛物线开口向下，
当时，有最大值，最大值为，
此时元，
当销售单价降低元时，每月获得最大利润元；
24. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为且．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为轴上一点， 点为抛物线顶点，连接，若为等腰三角形，求点的坐标；
（3）点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，求点的坐标．
答案：（1）抛物线解析式
（2）点坐标为，，
（3）或
小问1解析：
解：与轴交于点和点，对称轴为，
点为，，
设：，
，，
点为，
，解得：，
，
故答案为： 抛物线的解析式，
小问2解析：
解：，
顶点为，，
设，
①当时，，解得：，
，
②当时，，解得：，
，
③当时，，解得：，
，
故答案为：点坐标为，，，
小问3解析：
解：设点为，作对称轴于，
①如图点在轴上方时，

，，
，
，，
，
，代入
得：解得：（舍），，
，，
②如图点在轴下方时，

同①可得：，
，，
，
，代入
得：解得：，（舍），
，，
故答案为：或．
25. 如图，在等边三角形内有一点．

（1）若，，，求的度数；
（2）若等边三角形边长为，求的最小值；
（3）如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长．

答案：（1），
（2）
（3）
小问1解析：
解： 如图所示，

将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，
，
，，，，
是等边三角形，
，，
，
是直角三角形，，
，
，
小问2解析：
解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，

则，，，则是等边三角形，
，
再将绕点顺时针旋转得到，则
，，，
当四点共线时，取得最小值，即的长，
设，交于点，
，，
，
，
在中，
，
即的最小值为；
小问3解析：
如图，将绕点逆时针旋转，得到，

，
，，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
是直角三角形，，
如图，延长，过点作于，则，

，，
，
，
，
，即正方形的边长为．