山西省大同市灵丘县豪洋中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份山西省大同市灵丘县豪洋中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．采用简单随机抽样的方法，从含有8个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．某部门为了了解一批树苗的生长情况，在4000棵树苗中随机抽取400棵，统计这400棵树苗的高度（单位：），将所得数据分成7组：，，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图，那么根据该图可推测，在这4000棵树苗中高度小于的树苗棵数约是（ ）
A．1680B．1760C．1840D．1920
4．袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（ ）
A．0.64B．0.72C．0.76D．0.82
5．在正四棱锥中，，，点是棱的中点，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量，，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．已知三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上，平面，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知事件，，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若与互斥，则
C．若与相互独立，则D．若与相互独立，则
10．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则符合条件的恰有两个
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是直角三角形
11．如图，在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，点是棱上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．二面角的余弦值为
C．三棱锥的内切球的体积为
D．的周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积，且，则外接圆的面积为________．
13．现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时________分钟．
14．在中，，点是所在平面内的一点，且，，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分：
经计算得，其中为抽取的第件产品的评分，．
（1）求这组样本的平均数和方差；
（2）若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.3．根据以上随机抽取的10件产品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差．
16．（本小题满分15分）
如图，在矩形中，，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点．
（1）若，且，求的值；
（2）求的取值范围．
17．（本小题满分15分）
在中，点是边上一点，且，，记，．
（1）若，且，求的长；
（2）若，，求的面积．
18．（本小题满分17分）
为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．
（1）若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；
（2）若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；
（3）假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率．
19．（本小题满分17分）
如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
2023∼2024学年高一期末质量检测卷・数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是．故选C．
2．D 因为，所以，所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选D．
3．B 由频率分布直方图可得，小于的树苗的频率，所以可推测，4000棵树苗中高度小于的树苗棵数约为．故选B．
4．C 设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，所以，，且，所以，，所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76．故选C．
5．D 记，连接，所以平面，又，，所以，，因为点是棱的中点，所以．．故选D．
6．C 因为，所以，所以，即，所以，解得．又，所以，所以，即，所以，解得，所以，所以向量在向量上的投影向量为．故选C．
7．B 设球的半径为，所以，解得．设的外接圆的半径为，所以，解得，又平面，所以，即，解得．取，，的中点，，，连接，，，，因为平面，又，平面，所以，，所以，，又，，分别为，，的中点，所以，，，，所以为直线与所成的角或其补角，由余弦定理得，即直线与所成角的余弦值为．故选B．
8．A 因为，由正弦定理得，由余弦定理得，即，由正弦定理得，又，所以，所以，又，，则，所以或，即或（舍去），则，所以解得，则．所以，即的取值范围是．故选A．
9．BC 若，则，故A错误；若与互斥，则，故B正确；若与相互独立，则与相互独立，所以，故C正确；若与相互独立，则，故D错误．故选BC．
10．ABD 因为，所以符合条件的恰有两个，故A正确；若，由正弦定理得，所以，所以，所以是等腰三角形，故B正确；若，由正弦定理得，即，所以或，即或，即是等腰三角形或直角三角形，故C错误；若，所以．所以，所以．所以或，即或，故D正确．故选ABD．
11．ACD 当点是棱的中点时，平面．因为在正方形中，点是棱的中点，点是棱的中点，所以．在正方体中，平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又，平面，所以平面，故A正确；取的中点，连接，，，在中，，，所以，．在中，，，所以，，所以是二面角的平面角．在中，，，，由余弦定理得，即二面角的余弦值为，故B错误；设三棱锥的内切球半径为，，又，又，解得，所以三棱锥的内切球的体积为，故C正确；将平面沿展开到与平面共面，此时当，，三点共线时，取得最小值，所以，又，所以的周长的最小值为，故D正确．故选ACD．
12． 的面积，又，所以，所以，又，所以，设外接圆的半径为，所以，解得，所以外接圆的面积为．
13．37 设正四棱台的高为，所以，即，解得．因为，，所以截面（图中阴影部分）是边长为6的正方形，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时，甲容器内水的体积为，设注水的速度为，则，解得．当乙容器中水的高度恰好是正四棱台高度的一半时，水的体积为，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时为分钟．
14． 因为，，所以，所以．设，在中，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
15．解：（1）样本平均数为．3分
样本方差为．7分
（2）因为改进后随机抽取的10件产品的评分是改进前抽取的10件产品的评分每个提高0.3分，
所以改进后生产的产品评分的平均数，10分
方差为．13分
16．解：（1）由题意知，
因为点是线段的中点，所以，
又点是线段上的一点，且，所以，3分
又，
所以，
所以．4分
解得，，5分
所以．6分
（2）设，所以，
，
所以
，10分
所以当时，取得最小值，最小值为；12分
当时，取得最大值，最大值为6．14分
所以的取值范围是．15分
17．解：（1）因为，所以，，2分
又，所以，所以，5分
解得．7分
（2）因为，所以，所以，即，又，所以，所以．9分
在中，由余弦定理得，即．10分
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又，所以，即，13分
又，解得，14分
所以的面积．15分
18．解：（1）记“乙至少有1个回答正确”为事件，
所以，
即乙至少有1个回答正确的概率是．5分
（2）记“甲答对第个问题”为事件，“乙答对第个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件，
所以
，
即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是．11分
（3）记“甲答对第个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，
所以，
即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是．17分
19．（1）证明：在中，，，所以，所以，
又点，分别为边，的中点，所以，，所以，，所以，，
又，平面，所以平面，3分
又平面，所以平面平面．5分
（2）解：因为，，所以二面角的平面角为，所以，7分又，所以是等边三角形，取的中点，连接，如图所示，所以，．
由（1）知平面，又平面，所以，又，所以，又，平面，所以平面．8分
因为，平面，平面，所以平面，
所以．9分
因为平面，平面，所以，所以．
在中，，，，所以，
设点到平面的距离为，又，所以，10分
解得，即点到平面的距离为．11分
（3）解：由（2）知平面，所以与平面所成的角为．13分
在中，，，设，
由余弦定理得．
因为平面，又平面，所以，所以，
即，所以，15分
整理得，解得或，即的长为或．17分9.5
10.2
9.7
9.8
10.0
9.6
10.1
9.7
10.1
10.3