人教A版 (2019)2.1 等式性质与不等式性质优秀课后作业题

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这是一份人教A版 (2019)2.1 等式性质与不等式性质优秀课后作业题，文件包含专题21等式性质与不等式性质4类必考点人教A版2019必修第一册原卷版docx、专题21等式性质与不等式性质4类必考点人教A版2019必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc72" 【考点1：利用不等式的性质判断不等关系】 PAGEREF _Tc72 \h 1
\l "_Tc12498" 【考点2：作差法比较大小】 PAGEREF _Tc12498 \h 4
\l "_Tc17439" 【考点3：作商法比较大小】 PAGEREF _Tc17439 \h 8
\l "_Tc5708" 【考点4：利用不等式的性质求取值范围】 PAGEREF _Tc5708 \h 10
【考点1：利用不等式的性质判断不等关系】
【知识点：不等式的性质】
【知识点：倒数的性质】
①a>b，ab>0⇒eq \f(1,a)b>0,0eq \f(b,d).④0【知识点：有关分数的性质】
若a>b>0，m>0，则：①eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0)．②eq \f(a,b)>eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)0)．
1．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知0A．b−a>1B．ab>1C．ba<1D．a+b>1
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断C、D，利用特殊值判断A、B.
【详解】因为01+a>1，故D正确；
对于A：若b=1.1，a=0.9，满足0对于B：若b=1.1，a=0.1，满足0对于C：因为01，故C错误；
故选：D
2．（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（）
A．若a>b，则a2>b2
B．若a>bab≠0，则1a<1b
C．若a>b，则ac2>bc2
D．若ac2>bc2，则a>b
【答案】D
【分析】由特殊值判断选项A,B,C错误，由不等式的基本性质判断D正确.
【详解】对于A，由a>b，取a=2，b=−3，，则a2>b2不成立，故A错误；
对于B，由a>b(ab≠0)，取a=1，b=−1，则1a<1b不成立，故B错误；
对于C，当c=0时，ac2>bc2不成立，故C错误；
对于D，因为ac2>bc2，所以c2>0，故ac2×1c2>bc2×1c2，则a>b，故D正确．
故选：D．
3．（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）已知a,b,c,m∈R，则下列说法正确的是（）
A．若a>b，则am2>bm2B．若ac>bc，则a>b
C．若ac2>bc2，则a>bD．若a2>b2,ab>0，则1a<1b
【答案】C
【分析】根据题意，由不等式的性质，分别举出反例，即可得到结果.
【详解】对于A，若m=0，则不成立，故A错误；
对于B，若c<0，则不成立，故B错误；
对于C，将ac2>bc2两边同时除c2，可得a>b，故C正确；
对于D，取a=−2,b=−1，可得1a<1b不成立，故D错误；
故选：C
4．（2023·江西景德镇·高一统考期中）下列结论正确的是（）
A．若a>b，则acb，则1a<1b
C．若ac2>bc2，则a>bD．若a>b，则a2>b2
【答案】C
【分析】利用不等式的性质一一判定即可.
【详解】对于A项，举反例即可，若c>0，则a>b⇒ac>bc，故A错误；
对于B项，举反例即可，若a>0>b，则1a>0>1b，故B错误；
对于C项，∵ac2>bc2，∴c2>0，则a>b，故C正确；
对于D项，举反例即可，若a=0>b=−1，则a2>b2不成立，故D错误.
故选：C
5．（多选）（2023·江西·校联考模拟预测）已知aA．a+b【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案.
【详解】对于A，因为a对于B，因为a0，所以ac对于C，当a=−3，b=−2，c=1，d=2时，ab>cd，故C不正确；
对于D，因为01d，又a<0，所以ac故选：ABD.
6．（多选）（2023春·贵州贵阳·高二统考期末）下列说法正确的是（）
A．若a>b,c>d，则a+c>b+d
B．若a>b,c>d，则ac>bd
C．若aD．若a>b>0,c<0，则ca>cb
【答案】AD
【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解.
【详解】对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确；
对于B选项，例如：0>−1，0>−1，但是0×0<−1×−1，所以B错误；
对于C选项，当c=0时，ac2=bc2，所以C错误；
对于D选项，因为a>b>0，所以0<1a<1b，又c<0，所以ca>cb，所以D正确.
故选：AD．
7．（多选）（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）已知实数a，b，c，若a>b，则下列不等式不成立的是（）
A．1a>1bB．a2>b2
C．ac2+1>bc2+1D．ac>bc
【答案】ABD
【分析】举特例即可否定选项A，B，D，利用不等式的性质判断C，从而得解.
【详解】当a=2，b=1时，满足a>b，但1a<1b，故A错误；
当a=1，b=−2时，满足a>b，但a2因1c2+1>0，a>b，由不等式性质得ac2+1>bc2+1，故C正确；
当c=0时，ac>bc不成立，故D错误.
故选：ABD.
【考点2：作差法比较大小】
【知识点：作差法比较大小】
作差法：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>ba，b∈R，,a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，,a－b<0⇔a1．（2022秋·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）已知a为实数，M=2a(a−2)，N=(a+1)(a−3)，则M，N的大小关系是（）
A．M>NB．M≥N
C．M【答案】A
【分析】用作差法结合配方法比较大小．
【详解】M−N=2aa−2−a+1a−3=a2−2a+3=a−12+2>0，所以M>N．
故选：A．
2．（2023春·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知x>y>1>z>0,a=1+xzz,b=1+xyx,c=1+yzy，则必有（）
A．a>c>bB．b>c且a>c
C．b>c>aD．a>b且a>c
【答案】D
【分析】由x>y>1>z>0，得1x<1y<1z，x−y>0,x−z>0,y−z>0，再根据作差法变形两两判断即可.
【详解】因为x>y>1>z>0，所以1x<1y<1z，x−y>0,x−z>0,y−z>0
所以a=x+1z>b=y+1x,a=x+1z>c=z+1y
a−b=x+1z−y−1x=x−y+x−zxz>0，所以a>b，
a−c=x+1z−z−1y=x−z+y−zyz>0，所以a>c，
c−b=z+1y−y−1x=z−y+x−yyx符号不能确定，所以b,c的大小不能确定
所以a>b且a>c.
故选：D.
3．（多选）（2023春·广西玉林·高二统考期末）下列命题为真命题的是（）
A．若ac2≥bc2，则a≥bB．若aab>b2
C．若a>b，c>d，则a−d>b−cD．若a>b，则1a<1b
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,由ac2≥bc2,若c=0时，不一定a≥b，故A错误，
对于B，若a0,ab−b2=ba−b>0，所以a2>ab>b2，故B正确，
对于C,由c>d得−d>−c，又a>b，所以a−d>b−c，故C正确，
对于D，由于a>b，无法确定ab的正负，所以1a−1b=b−aab的正负无法确定，故1a与1b的大小无法确定，故D错误，
故选：BC
4．（多选）（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）若a,b,c∈R,c>0>a>b，下列不等式一定成立的有（）
A．ab3>a3bB．1a>1b
C．ba−c>ab−cD．ba【答案】AC
【分析】利用作差法逐项判断.
【详解】A项，ab3−a3b=abb2−a2=abb−ab+a>0，故正确；
B项，1a−1b=b−aab<0，故错误；
C项．ba−c−ab−c=bb−c−aa−cb−c⋅a−c=b−ab+a−cb−c⋅a−c>0，故正确；
D项．ba−b+1a+1=ba+1−ab+1aa+1=b−aaa+1，分母正负号不确定，故错误；
故选：AC
5．（多选）（2023春·福建三明·高二统考期末）已知a>b>0，c<0，则下列四个不等式中，一定成立的是（）
A．ca>cbB．acC．a>b−cD．ab−c>ba−c
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质,结合作差法逐个判断各个选项即可．
【详解】对于A，∵a>b>0，c<0，∴b−a<0，ab>0，
∴ ca−cb=bc−acab=c(b−a)ab>0，即ca>cb，故A正确；
对于B，∵a>b>0，c<0，∴ac对于C，取a=2，b=1，c=−3，则a=2对于D，∵a>b>0，c<0，∴b−a<0，
∴a(b−c)−b(a−c)=ab−ac−ab+bc=c(b−a)>0，即a(b−c)>b(a−c)，故D正确．
故选：ABD．
6．（多选）（2023春·河北保定·高二校联考期末）下列命题为真命题的是（）
A．若aB．若a>b>0,c0，则ea−c>eb−d
C．若c>a>b>0，则ac−a>bc−b
D．若a>b>c>0，则ab>a+cb+c
【答案】ACD
【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由a对于B中，若a>b>0,c0，
则ea−c−eb−d=eb−d−ea−ca−cb−d=eb−a+c−da−cb−d<0，
所以ea−c对于C中，若c>a>b>0，则ac−a−bc−b=ac−b−bc−ac−ac−b=ca−bc−ac−b>0，
所以C正确；
对于D中，若a>b>c>0，则ab−a+cb+c=ab+c−ba+cbb+c=ca−bbb+c>0，
所以D正确．
故选：ACD.
7．（2022秋·内蒙古通辽·高一校考期中）（1）设P=2aa−2+3，Q=a−1a−3，a∈R.试比较P与Q的大小.
（2）已知a>b>0，ceb−d；
【答案】（1）P≥Q，（2）证明见解析
【分析】（1）由作差法证明即可；
（2）由不等式的性质证明即可.
【详解】（1）解：P−Q=2aa−2+3−a−1a−3
=2a2−4a+3−a2−4a+3=a2
∵a2≥0，∴P−Q≥0，∴P≥Q．
（2）∵a>b>0，−c>−d>0，∴a−c>b−d>0
∴1a−c<1b−d，又e<0，ea−c>eb−d.
8．（2022秋·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）求解或证明下列各组中两个代数式的大小：
(1)已知a,b均为正实数，比较a3+b3与a2b+ab2﹔
(2)已知c＞a＞b＞0，证明：ac−a＞bc−b．
【答案】(1)a3+b3≥a2b+ab2
(2)证明见解析
【分析】（1）利用作差法比较即可；（2）利用作差法并结合c＞a＞b＞0即可证明.
【详解】（1）由题意得，a3+b3−a2b+ab2=a3−a2b+b3−ab2=a2a−b+b2b−a
=a2−b2a−b=a−b2a+b，
因为a,b均为正实数，所以a−b2≥0，a+b＞0，
所以a−b2a+b≥0，即a3+b3≥a2b+ab2
（2）由题意得，ac−a−bc−b=ac−b−bc−ac−ac−b=ca−bc−ac−b，
因为c＞a＞b＞0，所以a−b＞0，c−a＞0，c−b＞0，
所以ca−bc−ac−b＞0，即ac−a＞bc−b
【考点3：作商法比较大小】
【知识点：作商法比较大小】
作商法：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,b)>1⇔a>ba∈R，b>0，,\f(a,b)＝1⇔a＝ba∈R，b>0，,\f(a,b)<1⇔a0.))
1．（2023·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c−1，则x，y之间的大小关系是（）
A．x＞yB．x＝y
C．x＜yD．x，y的关系随c而定
【答案】C
【分析】应用作商法比较xy,1的大小关系即可.
【详解】由题设，易知x，y＞0，又xy=c+1−cc−c−1=c+c−1c+1+c<1，
∴x＜y.
故选：C.
2．（多选）（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）对于实数a，b，c，正确的命题是（）
A．若a>b，则a>a+b2>bB．若a>b>0，则a>ab>b
C．若1a>1b，则a>0，b<0D．若a>b>0，c>0，则ab>a+cb+c
【答案】ABD
【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.
【详解】对选项A，因为a>b，所以a−a+b2=a−b2>0，a+b2−b=a−b2>0，
所以a>a+b2>b，故A正确；
对选项B，a>b>0，aab=ab>1，所以a>ab，
因为abb=ab>1，所以ab>b，即a>ab>b，故B正确；
对选项C，令a=2，b=3，满足1a>1b，不满足a>0，b<0.
对选项D，因为a>b>0，c>0，
所以ab−a+cb+c=ab+c−ba+cbb+c=ca−bbb+c>0，故D正确.
故选：ABD
3．（2023·全国·高一专题练习）P=a2+a+1,Q=1a2−a+1,(a∈R)，则P,Q的大小关系为．
【答案】≥
【分析】用作商法比较P,Q的大小关系，化简即可得结果.
【详解】因为P=a2+a+1=a+122+34>0，a2−a+1=a−122+34>0 则Q>0
由PQ=a2+a+1a2−a+1=a2+12−a2=a4+a2+1≥1
所以P≥Q
故答案为：≥
4．（2023·全国·高三专题练习）设a>b>0，比较a2−b2a2+b2与a−ba+b的大小
【答案】a2−b2a2+b2>a−ba+b
【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.
【详解】∵a>b>0⇒a+b>0,a−b>0，
∴a2−b2a2+b2=a+ba−ba2+b2>0,a−ba+b>0，
∴a2−b2a2+b2a−ba+b=(a+b)2a2+b2=1+2aba2+b2>1，
∴a2−b2a2+b2>a−ba+b.
【考点4：利用不等式的性质求取值范围】
1．（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知−1【答案】−11<2a−3b<−4
【分析】由不等式的基本性质求解即可
【详解】解：−1则−2<2a<2，−9<−3b<−6，
故由不等式的可加性可知，−11<2a−3b<−4，
故答案为：−11<2a−3b<−4．
2．（2023·全国·高一假期作业）已知0≤a+b<1,2≤a−b<3，则b的取值范围是．
【答案】−32【分析】利用不等式的性质即可求出b的取值范围.
【详解】由题意，
在2≤a−b<3中，
−3∵0≤a+b<1，
∴−3<2b<−1，解得：−32故答案为：−323．（2023春·天津河西·高二统考期末）已知1【答案】14【分析】利用不等式的性质求解.
【详解】∵2又∵1∴ab的取值范围是14故答案为：144．（2022秋·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）已知实数x﹐y满足1≤x−y≤2，2≤x+y≤4，则4x−2y的取值范围是（）
A．3≤4x−2y≤12B．5≤4x−2y≤10
C．6≤4x−2y≤12D．3≤4x−2y≤10
【答案】B
【分析】设4x−2y=λx−y+μx+y=λ+μx+−λ+μy，解得λ=3μ=1，根据不等式性质求出5≤4x−2y≤10.
【详解】设4x−2y=λx−y+μx+y=λ+μx+−λ+μy，
则λ+μ=4−λ+μ=−2，解得λ=3μ=1，
因为1≤x−y≤2，2≤x+y≤4，
所以3≤3x−y≤6，
所以5≤3x−y+x+y≤10，即5≤4x−2y≤10.
故选：B
5．（2023·高一课时练习）下表是某次运动会三种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用1200元预订15张这三种球类比赛的各种门票，其中篮球比赛与乒乓球比赛的门票张数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用．则可预订的足球比赛门票的张数为（）
A．5B．6C．9D．10
【答案】A
【分析】设篮球比赛的门票数为x，足球比赛的门票数为y，结合题设条件可得关于两个变量的不等式组，故可求y=5.
【详解】设篮球比赛的门票数为x，足球比赛的门票数为y，
由题设有：2x+y=1580x≤100yx,y∈N*80x+100y+60x≤1200①，故2x+y=154x≤5yx,y∈N*7x+5y≤60，
故2(15−y)≤5y72(15−y)+5y≤60即307≤y≤5结合y为整数，故y=5，
此时x=5，检验符合不等式组①，
故选：A.
6．（多选）（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）若实数a，b满足1≤a+b≤5,−1≤a−b≤3，则下列说法正确的有（）
A．0≤a≤4B．−1≤b≤3
C．−2≤3a−2b≤10D．−6≤3a−2b≤14
【答案】ABC
【分析】利用不等式的性质判断AB；求得3a−2b=12(a+b)+52(a−b)，然后利用不等式的性质判断CD；
【详解】由1≤a+b≤5,−1≤a−b≤3，两式相加得0≤2a≤8，即0≤a≤4，故A正确；
由−1≤a−b≤3，得−3≤b−a≤1，又1≤a+b≤5，两式相加得−2≤2b≤6，即−1≤b≤3，故B正确；
设3a−2b=m(a+b)+n(a−b)=(m+n)a+(m−n)b，
所以m+n=3m−n=−2，解得m=12n=52，则3a−2b=12(a+b)+52(a−b)，
因为1≤a+b≤5，所以12≤12(a+b)≤52，
又因为−1≤a−b≤3，所以−52≤52(a−b)≤152，
所以−2≤12(a+b)+52(a−b)≤10，即−2≤3a−2b≤10，故C正确，D错误.
故选：ABC.性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b⇔
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>0))⇒ac>bc
注意c的符号
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c<0))⇒ac同向可加性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd>0
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n∈N，n≥2)
比赛项目
足球
篮球
乒乓球
门票价格（元）
100
80
60