数学人教A版 (2019)2.2 基本不等式精品课后测评

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\l "_Tc24404" 【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 PAGEREF _Tc24404 \h 1
\l "_Tc3482" 【考点2：由基本不等式证明不等式】3
\l "_Tc28925" 【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 PAGEREF _Tc28925 \h 4
\l "_Tc18045" 【考点4：利用基本不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc18045 \h 5
【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】
【知识点：基本不等式】
一．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
二．几个重要的不等式：
（1）a2+b2≥2ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；
（2）ba+ab≥2，ab>0，当且仅当a＝b时取等号；
（3）ab≤a+b22，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；
（4）a2+b22≥a+b22，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；
三. 利用基本不等式求最值问题：
已知x>0，y>0，则：
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).（简记：积定和最小）
（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).（简记：和定积最大）
1．（多选）（江西省赣州市2023年期末考试数学试题）已知实数a,b∈R+，且2a+b=1，则下列结论正确的是（ ）
A．ab的最小值为18B．a2+b2的最小值为15
C．1a+1b的最小值为6D．02．（多选）（2023春·河北承德·高二统考期末）已知a>0,b>0，且2a+b=2，则（ ）
A．ab的最小值是12
B．1a+2b的最小值是4
C．1a2+4b2的最小值是8
D．2a+1b+1ab的最小值是26
3．（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知a>0,b>0，若2a+b=4，则ab的最大值为 ．
4．（2022秋·内蒙古通辽·高一校考期中）已知x>1，则x+4x−1的最小值是 .
5．（2023春·广东广州·高一校考期中）若a>0，b>0，ab=4a+b+12，则ab的取值范围是 .
6．（2023·新疆喀什·高一校联考期末）若x>0,y>0，且x+2y=5，则9x+2y的最小值为 ．
7．（2023春·云南昭通·高二校考期末）已知正数x，y满足x+2y=3，则xyx+8y的最大值为 .
8．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知a+b+c=1，其中a，b，c>0，则1a+9b+c的最小值为 ．
9．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知正实数a,b满足2a+b=ab．
(1)求a+2b的最小值；
(2)求ab的最小值．
【方法技巧1】
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
【方法技巧2】
通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：
（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
（2）把确定的定值(常数)变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
（4）利用基本不等式求解最值．
【考点2：由基本不等式证明不等式】
1．（2022秋·高一课时练习）若a>0,b>0，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．a2+b2≥2abB．a+b≥2ab
C．a2+b2≥12(a+b)2D．1a+1b<1a−b(a≠b)
2．（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，A=a+b2,2H=1a+1b,G=ab，则（ ）
A．G≤H≤AB．H≤G≤A
C．G≤A≤HD．H≤A≤G
3．（多选）（2022秋·河北保定·高一校考期中）设a>0，b>0，给出下列不等式恒成立的是（ ）
A．a2+1>aB．a+b≥2ab
C．(a+b)1a+1b≥4D．a+1ab+1b≥4
4．（多选）（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十八中学校考阶段练习）下列结论中正确的是（ ）
A．若a,b∈R，则ba+ab≥2B．若x<0，则x+4x≥−2x⋅4x=−4
C．x2+1x2+1≥1D．若a>0,b>0，则a+b≥2ab
5．（2023·全国·高一假期作业）已知a>0，b>0，且a+b=1，求证：1+1a1+1b≥9.
【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】
1．（2023·江苏·高一假期作业）若对x>0，y>0，有(x+2y)⋅(2x+1y)≥m恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m≤4B．m>4
C．m<0D．m≤8
2．（2022秋·宁夏中卫·高二统考期末）若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4≤m2−3m有解，则实数m的取值范围（ ）
A．−1C．−43．（2022秋·湖北·高一校联考阶段练习）已知不等式x+ay1x+1y≥16对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．9
4．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知正实数x，y满足2x+3y−xy=0，若3x+2y≥t恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．t≤25B．t<25C．t≤24D．t≥24
5．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）已知a2+b2=k，若4a2+9b2+1≥1恒成立，则k的最大值为（ ）
A．4B．5C．24D．25
6．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 x、y满足x+y−xy=0， 且xy>0， 若不等式4x+9y−t≥0恒成立， 则实数t的最大值为 （ ）
A．9B．12C．16D．25
7．（多选）（2023春·云南临沧·高二云南省凤庆县第一中学校考期中）已知a>0,b>0，且2a+b=1，若不等式2a+1b≥mm∈Z恒成立，则m的值可以为（ ）
A．10B．9C．8D．7.5
8．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足3a+4b=1，若对于∀a,b∈R+，1a+3b>m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
9．（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知x>0，y>0且x+y=3，若12x−y+22y−x≥a恒成立，则实数a的范围是 ．
10．（2022秋·上海松江·高一统考期末）对任意的正实数x、y，不等式x+y≤mx+y恒成立，则实数m的取值范围是 ．
11．（2022秋·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．
(1)求1x+9y的最小值；
(2)若4x + 1﹣mxy ≥ 0恒成立，求实数m的最大值．
【考点4：利用基本不等式解决实际问题】
【知识点：利用基本不等式解决实际问题】
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.
1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算，如果在距离货运枢纽10km处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为（ ）
A．5kmB．6kmC．7kmD．8km
2．（2023春·江西新余·高二统考期末）在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值为（ ）
A．62+6B．12C．52+5D．63+6
3．（2022秋·高一课时练习）经观测，某公路段在某时段内的车流量y（单位:千辆/时）与汽车的平均速度v（单位:千米/时）之间有如下关系y=920vv2+3v+1600v>0.在该时段内，当汽车的平均速度为 千米/时时车流量最大，最大车流量为 千辆/时（精确到0.01）.
4．（2023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知A,B两城市的距离是100km､根据交通法规，两城市之间的公路车速应限制在50~100km/h，假设油价是6元/L，以xkm/h的速度行驶时，汽车的耗油率为3+x2360L/h，其它费用是36元/h.为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是 kmh（精确到1km/h，参考数据10=3.162）
5．（2022秋·江苏扬州·高一统考期中）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为400cm2，它的两边都留有宽为acm的空白，顶部和底部都留有宽为bcm的空白，若a=1,b=4，则纸张的用纸面积最少为 cm2．

6．（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1 (单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2 (单位：万元)与x成正比．若在距离车站4 km处建仓库，则y1和y2分别为5万元和3.2万元，这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处，才能使两项费用之和最小.
7．（2023·高一课时练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单价为每平方米80元.（隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖）试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低造价；

8．（2023·全国·高一假期作业）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供x(x∈0,20)（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府x（万元）补贴后，产量将增加到t=(x+3)（万件）．同时波司登制衣有限公司生产t（万件）产品需要投入成本为(7t+81t+3x)（万元），并以每件(8+42t)元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴−成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益y（万元）关于政府补贴x（万元）的表达式；
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