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2024-2025 学年高中数学人教A版必修一专题2.6 基本不等式专题中的15个经典题型和方法
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这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版必修一专题2.6 基本不等式专题中的15个经典题型和方法，文件包含专题26基本不等式专题中的15个经典题型和方法人教A版2019必修第一册原卷版docx、专题26基本不等式专题中的15个经典题型和方法人教A版2019必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
专题2.6 基本不等式专题中的15个经典题型和方法TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc5671" 【基础知识】 PAGEREF _Toc5671 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc20352" 【考点1：公式法】 PAGEREF _Toc20352 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc19593" 【考点2：配凑常数和配凑系数法】 PAGEREF _Toc19593 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc28963" 【考点3：分离常数构造“对构型”】 PAGEREF _Toc28963 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc14118" 【考点4：“1”的代换】 PAGEREF _Toc14118 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc29912" 【考点5：“有和有积”型】 PAGEREF _Toc29912 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc19196" 【考点6：单分母构造型】 PAGEREF _Toc19196 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc8084" 【考点7：双分母构造型】 PAGEREF _Toc8084 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc20146" 【考点8：分离常数再构造型】 PAGEREF _Toc20146 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc25817" 【考点9：因式分解型】 PAGEREF _Toc25817 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc31056" 【考点10：反解代入型】 PAGEREF _Toc31056 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13016" 【考点11：同除消去型】 PAGEREF _Toc13016 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc28261" 【考点12：代换构造对构型】 PAGEREF _Toc28261 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc23680" 【考点13：换元法】 PAGEREF _Toc23680 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc25689" 【考点14：三元型】 PAGEREF _Toc25689 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc30980" 【考点15：裂项型】 PAGEREF _Toc30980 \h 9【基础知识】1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)；(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2eq \r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤a+b22，常用于求积的最大值；2．常用不等式：(1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)； (2)重要不等式链：eq \r(,eq \f(a2＋b2,2))≥ eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)；3.已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(q2,4)(简记：和定积最大)．注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．4基本不等式求最值常用方法：“1”字代换法； 配凑法：即配凑积或和为定值的形式； (3)解不等式法；5.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．6对勾型，；容易出问题的地方，在于能否“取等”,如，7对勾添加常数型对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化；8.“1”的代换利用常数代换法，多称之为“1”的代换；9.几个重要不等式（1）_（）；（2） （）；（3）2（）；（4）_或（）；（5） 【考点1：公式法】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.1．（2023·安徽·高二学业考试）若a，b都为正实数，且a+b=1，则ab的最大值是（ ）A．29 B．18 C．14 D．122．（2023春·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）已知正实数m，n满足m+n=1，则m+n的最大值是（ ）A．2 B．2 C．22 D．123．（多选）（2023秋·安徽六安·高一安徽省舒城中学校考期中）已知Rt△ABC的斜边长为2．则下列关于△ABC的说法中，错误的是（ ）A．周长的最大值为2+22 B．周长的最小值为2+22C．面积的最大值为2 D．面积的最小值为1【考点2：配凑常数和配凑系数法】1.“对勾”型凑配分母的倍数型。2.给和求积和给积求和最值型，要注意字母对应系数是否需要凑配，凑配原则是均值定值时字母的系数。1．（2023秋·安徽合肥·高一校联考期末）设a>0，b>2，且a+b=3，则2a+1b−2的最小值是 .2．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知非负数x,y满足x+y=1，则1x+1+9y+2的最小值是 .3．（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考开学考试）设实数x满足x>−1，函数y=2+3x+4x+1的最小值为 .4．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数a>0>b，且a−b=5，则1a+1+12−b的最小值为 .【考点3：分离常数构造“对构型”】对勾型：，容易出问题的地方，在于能否“取等”,如.1．（2021秋·安徽合肥·高一合肥市第六中学校考阶段练习）函数f(x)=x2+x+1x−1（x>1）的最小值为（ ）A．23 B．3+23 C．2+22 D．52．（2020秋·安徽六安·高二六安一中校考开学考试）若函数fx=x2−2x+4x−2x>2在x=a处取最小值，则a=（ ）A．1+5 B．2 C．4 D．63．（2022秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知x>−1，则函数y=x2+x+4x+1的最小值是 ．4．（2021秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）求解下列各题：（1）求y=x2+3x+42xx<0的最大值；（2）求y=x2+8x−1x>1的最小值.【考点4：“1”的代换】主要是利用.利用常数代换法。多称之为“1”的代换条件和结论有“分子分母”特征；可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件1．（2022秋·安徽芜湖·高二校考阶段练习）已知实数x≥0>y，且1x+2+11−y=1，则x−y的最小值是（ ）A．0 B．1 C．2 D．42．（2023秋·安徽合肥·高一校联考期末）设a>0，b>2，且a+b=3，则2a+1b−2的最小值是 .3．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数a>0>b，且a−b=5，则1a+1+12−b的最小值为 .【考点5：“有和有积”型】（1）有和有积无常数形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解（2）有和有积有常数形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：.1．（2023秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）若x>0，y>0且x+y=xy，则xx−1+2yy−1的最小值为（ ）A．3 B．52+6 C．3+6 D．3+222．（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知正数m,n满足3m+n−2mn=0，则m+n的最小值为 .3．（2023春·安徽·高一校联考开学考试）已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：(1)xy的最小值；(2)x+y的最小值..4．（2023秋·安徽安庆·高一安庆一中校考期中）已知实数x>0，y>0，且2xy=x+y+a(x2+y2)(a∈R).(1)当a=0时，求2x+4y的最小值，并指出取最小值时x,y的值；(2)当a=12时，求x+y的最小值，并指出取最小值时x,y的值.【考点6：单分母构造型】形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。1.（2023春·湖南·高三校联考期中）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）A．1 B． C． D．2.（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）A． B． C．3 D．13.（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）A． B． C．3 D．14.（2023秋·高三课时练习）已知，且，则的最小值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【考点7：双分母构造型】形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。1．（2023·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学模拟）若，，且，则的最小值为（ ）A．4 B． C． D．2．（2023春·内蒙古通辽·高三校联考开学考试）设，则的最小值为（ ）A． B． C．1 D．23．（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）设a>b>0 ，则2a+4a+b+1a−b最小值为（ ）A．2 B．4 C．6 D．84．（多选）（2023秋·安徽黄山·高一屯溪一中校考期中）若实数m，n>0，满足2m+n=1，以下选项中正确的有（ ）A．mn的最大值为18 B．1m+1n的最小值为42C．2m+1+9n+2的最小值为5 D．4m2+n2的最小值为12【考点8：分离常数再构造型】1．（2023秋·安徽合肥·高一校考期末）已知x>1，则x2+3x−1的最小值为（ ）A．6 B．8 C．10 D．122．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1+b2+1b的最小值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知非负实数a,b满足a+b=2，则a2+3a+ba+1+b2+4b的最小值为 .【考点9：因式分解型】（1）特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理；（2）最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）。1．（2023·全国·高三专题练习）设，为正实数，若，则的最小值是（ ）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023·河南·高三校联考）已知，，，，则的最小值为A．8 B．10 C． D．3．（2023·安徽马鞍山·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（ ）A．6 B． C． D．【考点10：反解代入型】条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（ ）．A．4 B．6 C．8 D．122．（多选）（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知x>0，y>0，2x+y=1，则下列说法正确的是（ ）A．xy的最大值是18 B．2x+1y的最小值是8C．4x2+y2的最小值是12 D．x2+y2的最小值是153．（多选）（2023秋·安徽合肥·高一合肥一中校考期中）若x>0，y>0，x+2y=1，则（ ）A．xy的最大值是18 B．2x+1y的最小值是8C．4x2+y2的最小值为12 D．x+12y+1xy的最小值是4【考点11：同除消去型】一般是齐次型分式，可以考虑同除，构造单变量型，或者构造对勾型。1.（2022·四川·成都外国语学校高三阶段练习（文））设，，且，则的最大值为（ ）．A． B． C． D．2．（2023·安徽宣城·高一泾县中学校考阶段练习）设正实数x、y、z满足4x2−3xy+y2−z=0，则xyz的最大值为（ ）A．0 B．2 C．1 D．34．（2023秋·安徽合肥·高一合肥一中校考期中）若x>0，y>0，x+2y=1，则（ ）A．xy的最大值是18 B．2x+1y的最小值是8C．4x2+y2的最小值为12 D．x+12y+1xy的最小值是4【考点12：代换构造对构型】1．（2023秋·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考开学考试）若实数a，b满足a2+2ab=1，则a2+b2的最小值是 .2．（2022·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知x>0，y>0，满足x2+2xy−1=0，则3x+2y的最小值是（ ）A．2 B．3 C．23 D．223．（2023秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）若x>0，y>0且x+y=xy，则xx−1+2yy−1的最小值为（ ）A．3 B．52+6 C．3+6 D．3+224．（2023春·安徽安庆·高一安徽省宿松中学校考开学考试）已知实数x>0>y，且1x+2+11−y=16，则x−y的最小值是（ ）A．21 B．25 C．29 D．33【考点13：换元法】换元型：（1）二次配方型，可以三角换元（学完三角函数才能使用）；（2）和前边分母构造换元型一样，可以代数换元；（3）齐次分式同除型，可以代数换元。1．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）已知实数x>0,y>0，则3x3x+2y+y2x+y的最小值为 ．2．（2023秋·安徽六安·高一校考阶段练习）已知正实数a，b满足a+ab+2b=4，则a−1b的最大值为（ ）A．26−2 B．1C．12 D．5−263．（2023秋·安徽六安·高一校考阶段练习）已知实数x，y满足x>y>0，且x+y≤2，则2x+3y+1x−y的值最小时，实数x=（ ）A．22−1 B．2−2C．3−22 D．14．（2023秋·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）设正实数x,y满足x>12,y>1，不等式4x2y−1+y22x−1≥m恒成立，则m的最大值为 （ ）A．8 B．16 C．22 D．42【考点14：三元型】1．（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）若x，y，z均为正实数，则xy+yzx2+2y2+z2的最大值为（ ）A．32 B．22 C．12 D．142．（2023·安徽马鞍山·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足a2+3ab+3ac+9bc=18，则2a+3b+3c的最小值是（ ）A．6 B．46 C．62 D．633．（2022春·安徽六安·高一安徽省舒城中学校考阶段练习）已知x>0,y>0,z>0且x2+y2+z2=2，则3−2xyz的最小值为 ．4．（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）已知a，b，c均为正实数，且a+b=1，则3acb+cab+24c+1的最小值为 ．【考点15：裂项型】1.（2023·安徽蚌埠·高三统考）若均为正实数，则的最大值为（ ）A． B． C． D．
专题2.6 基本不等式专题中的15个经典题型和方法TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc5671" 【基础知识】 PAGEREF _Toc5671 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc20352" 【考点1：公式法】 PAGEREF _Toc20352 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc19593" 【考点2：配凑常数和配凑系数法】 PAGEREF _Toc19593 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc28963" 【考点3：分离常数构造“对构型”】 PAGEREF _Toc28963 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc14118" 【考点4：“1”的代换】 PAGEREF _Toc14118 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc29912" 【考点5：“有和有积”型】 PAGEREF _Toc29912 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc19196" 【考点6：单分母构造型】 PAGEREF _Toc19196 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc8084" 【考点7：双分母构造型】 PAGEREF _Toc8084 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc20146" 【考点8：分离常数再构造型】 PAGEREF _Toc20146 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc25817" 【考点9：因式分解型】 PAGEREF _Toc25817 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc31056" 【考点10：反解代入型】 PAGEREF _Toc31056 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13016" 【考点11：同除消去型】 PAGEREF _Toc13016 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc28261" 【考点12：代换构造对构型】 PAGEREF _Toc28261 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc23680" 【考点13：换元法】 PAGEREF _Toc23680 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc25689" 【考点14：三元型】 PAGEREF _Toc25689 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc30980" 【考点15：裂项型】 PAGEREF _Toc30980 \h 9【基础知识】1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)；(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2eq \r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤a+b22，常用于求积的最大值；2．常用不等式：(1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)； (2)重要不等式链：eq \r(,eq \f(a2＋b2,2))≥ eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)；3.已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(q2,4)(简记：和定积最大)．注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．4基本不等式求最值常用方法：“1”字代换法； 配凑法：即配凑积或和为定值的形式； (3)解不等式法；5.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．6对勾型，；容易出问题的地方，在于能否“取等”,如，7对勾添加常数型对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化；8.“1”的代换利用常数代换法，多称之为“1”的代换；9.几个重要不等式（1）_（）；（2） （）；（3）2（）；（4）_或（）；（5） 【考点1：公式法】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.1．（2023·安徽·高二学业考试）若a，b都为正实数，且a+b=1，则ab的最大值是（ ）A．29 B．18 C．14 D．122．（2023春·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）已知正实数m，n满足m+n=1，则m+n的最大值是（ ）A．2 B．2 C．22 D．123．（多选）（2023秋·安徽六安·高一安徽省舒城中学校考期中）已知Rt△ABC的斜边长为2．则下列关于△ABC的说法中，错误的是（ ）A．周长的最大值为2+22 B．周长的最小值为2+22C．面积的最大值为2 D．面积的最小值为1【考点2：配凑常数和配凑系数法】1.“对勾”型凑配分母的倍数型。2.给和求积和给积求和最值型，要注意字母对应系数是否需要凑配，凑配原则是均值定值时字母的系数。1．（2023秋·安徽合肥·高一校联考期末）设a>0，b>2，且a+b=3，则2a+1b−2的最小值是 .2．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知非负数x,y满足x+y=1，则1x+1+9y+2的最小值是 .3．（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考开学考试）设实数x满足x>−1，函数y=2+3x+4x+1的最小值为 .4．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数a>0>b，且a−b=5，则1a+1+12−b的最小值为 .【考点3：分离常数构造“对构型”】对勾型：，容易出问题的地方，在于能否“取等”,如.1．（2021秋·安徽合肥·高一合肥市第六中学校考阶段练习）函数f(x)=x2+x+1x−1（x>1）的最小值为（ ）A．23 B．3+23 C．2+22 D．52．（2020秋·安徽六安·高二六安一中校考开学考试）若函数fx=x2−2x+4x−2x>2在x=a处取最小值，则a=（ ）A．1+5 B．2 C．4 D．63．（2022秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知x>−1，则函数y=x2+x+4x+1的最小值是 ．4．（2021秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）求解下列各题：（1）求y=x2+3x+42xx<0的最大值；（2）求y=x2+8x−1x>1的最小值.【考点4：“1”的代换】主要是利用.利用常数代换法。多称之为“1”的代换条件和结论有“分子分母”特征；可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件1．（2022秋·安徽芜湖·高二校考阶段练习）已知实数x≥0>y，且1x+2+11−y=1，则x−y的最小值是（ ）A．0 B．1 C．2 D．42．（2023秋·安徽合肥·高一校联考期末）设a>0，b>2，且a+b=3，则2a+1b−2的最小值是 .3．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数a>0>b，且a−b=5，则1a+1+12−b的最小值为 .【考点5：“有和有积”型】（1）有和有积无常数形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解（2）有和有积有常数形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：.1．（2023秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）若x>0，y>0且x+y=xy，则xx−1+2yy−1的最小值为（ ）A．3 B．52+6 C．3+6 D．3+222．（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知正数m,n满足3m+n−2mn=0，则m+n的最小值为 .3．（2023春·安徽·高一校联考开学考试）已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：(1)xy的最小值；(2)x+y的最小值..4．（2023秋·安徽安庆·高一安庆一中校考期中）已知实数x>0，y>0，且2xy=x+y+a(x2+y2)(a∈R).(1)当a=0时，求2x+4y的最小值，并指出取最小值时x,y的值；(2)当a=12时，求x+y的最小值，并指出取最小值时x,y的值.【考点6：单分母构造型】形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。1.（2023春·湖南·高三校联考期中）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）A．1 B． C． D．2.（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）A． B． C．3 D．13.（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）A． B． C．3 D．14.（2023秋·高三课时练习）已知，且，则的最小值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【考点7：双分母构造型】形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。1．（2023·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学模拟）若，，且，则的最小值为（ ）A．4 B． C． D．2．（2023春·内蒙古通辽·高三校联考开学考试）设，则的最小值为（ ）A． B． C．1 D．23．（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）设a>b>0 ，则2a+4a+b+1a−b最小值为（ ）A．2 B．4 C．6 D．84．（多选）（2023秋·安徽黄山·高一屯溪一中校考期中）若实数m，n>0，满足2m+n=1，以下选项中正确的有（ ）A．mn的最大值为18 B．1m+1n的最小值为42C．2m+1+9n+2的最小值为5 D．4m2+n2的最小值为12【考点8：分离常数再构造型】1．（2023秋·安徽合肥·高一校考期末）已知x>1，则x2+3x−1的最小值为（ ）A．6 B．8 C．10 D．122．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1+b2+1b的最小值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知非负实数a,b满足a+b=2，则a2+3a+ba+1+b2+4b的最小值为 .【考点9：因式分解型】（1）特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理；（2）最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）。1．（2023·全国·高三专题练习）设，为正实数，若，则的最小值是（ ）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023·河南·高三校联考）已知，，，，则的最小值为A．8 B．10 C． D．3．（2023·安徽马鞍山·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（ ）A．6 B． C． D．【考点10：反解代入型】条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（ ）．A．4 B．6 C．8 D．122．（多选）（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知x>0，y>0，2x+y=1，则下列说法正确的是（ ）A．xy的最大值是18 B．2x+1y的最小值是8C．4x2+y2的最小值是12 D．x2+y2的最小值是153．（多选）（2023秋·安徽合肥·高一合肥一中校考期中）若x>0，y>0，x+2y=1，则（ ）A．xy的最大值是18 B．2x+1y的最小值是8C．4x2+y2的最小值为12 D．x+12y+1xy的最小值是4【考点11：同除消去型】一般是齐次型分式，可以考虑同除，构造单变量型，或者构造对勾型。1.（2022·四川·成都外国语学校高三阶段练习（文））设，，且，则的最大值为（ ）．A． B． C． D．2．（2023·安徽宣城·高一泾县中学校考阶段练习）设正实数x、y、z满足4x2−3xy+y2−z=0，则xyz的最大值为（ ）A．0 B．2 C．1 D．34．（2023秋·安徽合肥·高一合肥一中校考期中）若x>0，y>0，x+2y=1，则（ ）A．xy的最大值是18 B．2x+1y的最小值是8C．4x2+y2的最小值为12 D．x+12y+1xy的最小值是4【考点12：代换构造对构型】1．（2023秋·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考开学考试）若实数a，b满足a2+2ab=1，则a2+b2的最小值是 .2．（2022·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知x>0，y>0，满足x2+2xy−1=0，则3x+2y的最小值是（ ）A．2 B．3 C．23 D．223．（2023秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）若x>0，y>0且x+y=xy，则xx−1+2yy−1的最小值为（ ）A．3 B．52+6 C．3+6 D．3+224．（2023春·安徽安庆·高一安徽省宿松中学校考开学考试）已知实数x>0>y，且1x+2+11−y=16，则x−y的最小值是（ ）A．21 B．25 C．29 D．33【考点13：换元法】换元型：（1）二次配方型，可以三角换元（学完三角函数才能使用）；（2）和前边分母构造换元型一样，可以代数换元；（3）齐次分式同除型，可以代数换元。1．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）已知实数x>0,y>0，则3x3x+2y+y2x+y的最小值为 ．2．（2023秋·安徽六安·高一校考阶段练习）已知正实数a，b满足a+ab+2b=4，则a−1b的最大值为（ ）A．26−2 B．1C．12 D．5−263．（2023秋·安徽六安·高一校考阶段练习）已知实数x，y满足x>y>0，且x+y≤2，则2x+3y+1x−y的值最小时，实数x=（ ）A．22−1 B．2−2C．3−22 D．14．（2023秋·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）设正实数x,y满足x>12,y>1，不等式4x2y−1+y22x−1≥m恒成立，则m的最大值为 （ ）A．8 B．16 C．22 D．42【考点14：三元型】1．（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）若x，y，z均为正实数，则xy+yzx2+2y2+z2的最大值为（ ）A．32 B．22 C．12 D．142．（2023·安徽马鞍山·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足a2+3ab+3ac+9bc=18，则2a+3b+3c的最小值是（ ）A．6 B．46 C．62 D．633．（2022春·安徽六安·高一安徽省舒城中学校考阶段练习）已知x>0,y>0,z>0且x2+y2+z2=2，则3−2xyz的最小值为 ．4．（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）已知a，b，c均为正实数，且a+b=1，则3acb+cab+24c+1的最小值为 ．【考点15：裂项型】1.（2023·安徽蚌埠·高三统考）若均为正实数，则的最大值为（ ）A． B． C． D．
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