数学第四章 指数函数与对数函数4.1 指数精品习题

这是一份数学第四章 指数函数与对数函数4.1 指数精品习题，文件包含专题41指数4类必考点人教A版2019必修第一册原卷版docx、专题41指数4类必考点人教A版2019必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc117709645" 【考点1：根式的化简求值】 PAGEREF _Tc117709645 \h 1
\l "_Tc117709646" 【考点2：指数幂的计算】 PAGEREF _Tc117709646 \h 5
\l "_Tc117709647" 【考点3：分数指数幂与根式的互化】 PAGEREF _Tc117709647 \h 9
\l "_Tc117709648" 【考点4：指数幂的化简求值与证明】 PAGEREF _Tc117709648 \h 12
【考点1：根式的化简求值】
【知识点：根式的概念】
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
1．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）化简：(π−4)2+3(π−3)3=（ ）
A．1B．−1C．7−2πD．2π−7
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出.
【详解】π−42+3π−33=π−4+π−3=4−π+π−3=1.
故选：A.
2．（2023秋·安徽·高一安徽省五河第一中学校联考阶段练习）已知a是11的小数部分，则aa+6的值为（ ）
A．2B．4C．11‒2D．4‒11
【答案】A
【分析】先计算出a=11−3，代入求解即可.
【详解】因为3<11<4，故a=11−3，
所以aa+6=11−311−3+6=11−9=2.
故选：A
3．（2023秋·江苏南通·高一江苏省如东高级中学校考阶段练习）2,5,m是某三角形三边的长，则(m−3)2+(m−7)2等于（ ）
A．2m−10B．10−2mC．10D．4
【答案】D
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得出m的取值范围，进一步计算即可.
【详解】因为2，5，m是某三角形三边的长，所以5−2所以m−32+m−72=m−3+m−7=m−3+7−m=4 .
故选：D.
4．（多选）（2023·全国·高一专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．3−27=3B．16的4次方根是±2
C．481=±3D．(x+y)2=x+y
【答案】BD
【分析】利用根式的定义即可求解.
【详解】负数的3次方根是一个负数，3−27=3−33=−3，故A错误；
16的4次方根有两个，为±2，故B正确；
481=434=3=3，故C错误；
(x+y)2是非负数，所以(x+y)2=x+y，故D正确．
故选：BD.
5．（2023秋·四川成都·高一校考开学考试）求值：4−434= .
【答案】43
【分析】根据n次方根的意义，可求得结果.
【详解】根据n次方根的意义，4−434=4434=43.
故答案为：43.
6．（2023·全国·高一专题练习）若a<2，则6a−26= .
【答案】2−a
【分析】根据根式的运算求得正确答案.
【详解】由题意可知，a<2，所以a−2<0，则6a−26=a−2=2−a.
故答案为：2−a
7．（2023·江苏·高一专题练习）计算下列各式．
（1）5−a5＝ ；
（2）63−π6＝ ；
（3）614−3338−30.125＝ .
【答案】−a ；π−3 ； 12
【分析】（1）根据根式的运算性质直接求解即可；
（2）根据根式的运算性质直接求解即可；
（3）先化带分数为假分数、小数化分数，再根据根式的运算性质直接求解即可；
【详解】（1）5−a5=−a.
（2）63−π6=3−π=π−3.
（3）614−3338−30.125=522−3323−3123=52−32−12=12.
故答案为：（1）−a；（2）π−3；（3）12
8．（2023秋·高一课时练习）化简下列各式．
（1）5x−π5＝ ；
（2）a−12+1−a2+31−a3＝ .
【答案】 x−π；a−1
【分析】（1）根据根式的运算性质直接求解即可；
（2）根据已知条件判断a的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果.
【详解】（1）5x−π5=x−π.
（2）由题意，首先a−1≥0，即a≥1，从而a−12=a−1，
1−a2=1−a=a−1，31−a3=1−a，
所以原式=a−1+a−1+1−a=a−1.
故答案为：x−π；a−1
9．（2023·全国·高一课堂例题）化简下列各式：
(1)3−23；
(2)4−24；
(3)33−a3；
(4)a−b2a(5)3−a2．
【答案】(1)−2；
(2)2；
(3)3−a；
(4)b−a；
(5)3−a,a≤3a−3,a>3；
【分析】根据根式的含义及化简，一一解答各小题，即可求得答案,
【详解】（1）由题意得3−23=−2；
（2）4−24=424=2
（3）33−a3=3−a
（4）由于a（5）3−a2=3−a=3−a,a≤3a−3,a>3.
10．（2023·全国·高一课堂例题）化简下列各式：
(1)n(3−π)n（n>1，且n∈N+）；
(2)x−y2．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】利用根式的性质求解.
【详解】（1）解：当n为奇数时，n3−πn=3−π；
当n为偶数时，n3−πn=3−π=π−3．
（2）x−y2=x−y．
当x≥y时，x−y2=x−y；
当x【考点2：指数幂的计算】
【知识点：指数幂的计算】
1．（2023·全国·高一专题练习）计算a−2b−3−3a−1b26a−3b−2的结果为（ ）
A．−2bB．−b2C．1D．b2
【答案】B
【分析】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，原式=−3a−3b−16a−3b−2=−12b−1=−b2.
故选：B
2．（2023·山东·校联考模拟预测）若3x=5，3y=6，则32x+y的值为 ．
【答案】150
【分析】应用指数幂的运算性质求目标式的值即可.
【详解】因为3x=5，3y=6，所以32x+y=32x⋅3y=(3x)2⋅3y=52⋅6=150，
故答案为：150．
3．（2023·全国·高一专题练习）若2m=3，4n=8，则23m−2n−4的值是 .
【答案】27128
【分析】根据幂的乘方逆运算和同底数幂的除法逆运算法则解答即可.
【详解】23m−2n−4 =23m÷22n÷24 =2m3÷4n÷16 =33÷8÷16 =27128；
故答案为：27128.
4．（2023·全国·高一随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）：
(1)a⋅a12⋅a13；
(2)xy−1z213
(3)16s2t−625r4−12
【答案】(1)a116
(2)x13y−13z23
(3)54t3r2s−1
【分析】（1）根据有理指数幂的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解；
（2）根据有理指数幂的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解；
（3）根据有理指数幂的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解；
【详解】（1）解：由指数幂的运算法则，可得a⋅a12⋅a13=a1+12+13=a116.
（2）解：由指数幂的运算法则，可得xy−1z213=x13y−13z23.
（3）解：由指数幂的运算法则，可得16s2t−625r4−12=42×(−12)⋅s2×(−12)t−6×(−12)52×(−12)⋅r4×(−12)=4−1⋅s−1t35−1⋅r−2=54t3r2s−1.
5．（2023·全国·高一随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）：
(1)32×312×3−3；
(2)(xy−1)12⋅(2x−12)⋅(3y12)．
【答案】(1)3−12；
(2)6.
【分析】（1）（2）利用指数运算法则计算得解.
【详解】（1）32×312×3−3=32+12+(−3)=3−12.
（2）(xy−1)12⋅(2x−12)⋅(3y12)=x12(y−1)12⋅6x−12y12=x12y−12⋅6x−12y12=6x12−12y−12+12=6.
6．（2023·全国·高一随堂练习）计算：
(1)2−3；
(2)130
(3)42512
(4)813；
(5)1632；
(6)0.01−0.5；
(7)164912；
(8)1−23
【答案】(1)18
(2)1
(3)25
(4)2
(5)64
(6)10
(7)47
(8)1
【分析】根据指数幂的运算法则计算即可.
【详解】（1）2−3=18
（2）130=1
（3）42512=25212=25
（4）813=2313=2
（5）1632=4232=43=64
（6）0.01−0.5=1102−0.5=110−1=10
（7）164912=47212=47
（8）1−23=1
7．（2023·全国·高一随堂练习）求x的值：
(1)22x−3=12x2
(2)0.32x=0.095−x
【答案】(1)x=−3或x=1
(2)x=52
【分析】利用指数函数的性质得到关于x的方程，从而得解.
【详解】（1）因为22x−3=12x2=2−x2，
所以2x−3=−x2，即x2+2x−3=0，解得x=−3或x=1，
所以x=−3或x=1.
（2）因为0.32x=0.095−x=0.325−x=0.310−2x，
所以2x=10−2x，解得x=52，
所以x=52.
8．（2023·全国·高一随堂练习）已知10α=2，10β=3，把下面的数写成底数是10的幂的形式：（如6=2×3=10α×10β=10α+β）
(1)23；
(2)8；
(3)24；
(4)32
【答案】(1)10α−β；
(2)103α；
(3)103α+β；
(4)1012β−α.
【分析】（1）（2）（3）（4）根据给定条件，利用指数运算法则求解即可.
【详解】（1）由10α=2，10β=3，得23=10α10β=10α−β.
（2）由10α=2，得8=23=(10α)3=103α.
（3）由10α=2，10β=3，得24=23×3=(10α)3×10β=103α×10β=103α+β.
（4）由10α=2，10β=3，得32=3122=(10β)1210α=1012β10α=1012β−α.
【考点3：分数指数幂与根式的互化】
【知识点：分数指数幂与根式的互化】
xn＝a⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(n,a)当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))
1．（多选）（2023秋·福建福州·高一闽侯县第一中学校考阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．6y2=y13B．x−34=41x3x>0
C．x−13=−3xx≠0D．3−x234=x12x>0
【答案】BD
【分析】根据根指数的性质逐个选项化简即可.
【详解】对A，当y<0时，6y2=y26=−y13，故A错误；
对B，x−34=1x34=41x3x>0，故B正确；
对C，x−13=1x13=31xx≠0，故C错误；
对D，3−x234=3x234=x2334=x12x>0，故D正确.
故选：BD
2．（2023秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考开学考试）已知正数a、b满足a125×b625=5，则a+3b的最小值为 .
【答案】27
【分析】利用指数运算可得出3a+4b=1，将代数式a+3b与3a+4b相乘，展开后利用基本不等式可求得a+3b的最小值.
【详解】因为5=a125×b625=53a+4b，所以3a+4b=1.
因为a、b均为正数，所以，a+3b=a+3b3a+4b=15+4ab+9ba≥15+24ab⋅9ba=27，
当且仅当a=9b=6时，等号成立，
因此，a+3b的最小值为27.
故答案为:27.
3．（2023·全国·高一课堂例题）用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0）：
(1)a⋅3a；
(2)a2⋅4a3；
(3)a⋅3a．
【答案】(1)a43
(2)a114
(3)a23
【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式，结合指数幂的运算法则对（1）（2）（3）进行求解即可.
【详解】（1）a⋅3a=a⋅a13=a1+13=a43；
（2）a2⋅4a3=a2⋅a34=a2+34=a114
（3）a⋅3a=a⋅a1312=a4312=a43×12=a23．
4．（2023秋·高一单元测试）计算：32×36+2243−4×1649−12−42×80.25−−20200.
【答案】100
【分析】利用指数幂运算公式计算即可.
【详解】原式＝213×3126+23443−4×74−214×234−1=22×33+2−7−2−1=100.
5．（2023·山东·校联考模拟预测）计算：
(1)(−π)0+(1.5)−2×32782−10.01+92；
(2)5a−3b2÷5a2÷5b3
【答案】(1)1
(2)a−1b−15
【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果；
（2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案.
【详解】（1）原式=1+32−2×27823−10.1+9=1+49×32323−10+9=1+49×94−10+9
=1+1−10+9=1
（2）由根式与分数指数幂互化运算可得，
5a−3b2÷5a2÷5b3=a−35b25÷a25÷b35=a−35⋅a−25⋅b25⋅b−35=a−1b−15.
6．（2023·江苏·高一专题练习）化简：3a72a−3÷3a−8⋅3a12a>0.
【答案】1
【分析】根据根式与分数指数幂的互化、指数运算的性质直接求解即可.
【详解】3a72a−3÷3a−8⋅3a12=a72⋅a−3213÷a−83⋅a412=a23÷a23=1.
7．（2023秋·新疆喀什·高一校考期中）计算下列各式的值．
(1)23×31.5×612
(2)0.0081−0.25−3×780−1×81−0.25+338−13−0.5−10×0.02713
【答案】(1)6
(2)0
【分析】（1）根据指数幂运算法则进行计算即可；
（2）根据指数幂运算法则进行计算即可；
【详解】（1）原式=2×312×3213×22×316
=2×312×313×2−13×213×316
=2×3=6
（2）原式=34104−14−13×34−14+3323−13−12−10×0.3
=103−13−3=0
8．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）化简与求值：
(1)(235)0+2−2×(214)−12−(0.01)0.5；
(2)3a72a−3+3a−8⋅3a15+3a−3⋅a−1(a>0)．
【答案】(1)1615
(2)a23+a76+a−712
【分析】（1）根据指数幂运算即可得到答案；
（2）根据根式与指数转化计算即可.
【详解】（1）(235)0+2−2×(214)−12−(0.01)0.5
=1+14×23−110=1+16−110=1615
（2）3a72a−3+3a−8⋅3a15+3a−3⋅a−1(a>0)
=a76⋅a−12+a−43⋅a52+a−12⋅a−112
=a23+a76+a−712
【考点4：指数幂的化简求值与证明】
【知识点：指数幂的化简求值与证明】
1．（2023·山东·校联考模拟预测）若a−1−a1=4， 则a−2+a2的值为（ ）
A．8B．16C．2D．18
【答案】D
【分析】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.
【详解】解：因为a−1−a1=4，
所以a−2+a2=(a−1−a1)2+2=42+2=18.
故选：D．
2．（2023·全国·高一随堂练习）已知x+y=12，xy=9，求x12−y12x12+y12的值．
【答案】±33
【分析】利用完全平方公式与指数的运算法则即可得解.
【详解】因为x+y=12,xy=9，
所以x12−y12x12+y122=x+y−2xyx+y+2xy=12−2×912+2×9=13，
故可得x12−y12x12+y12=±33.
3．（2023·全国·高一随堂练习）已知10α=2−12，10β=3213，求102α−34β的值．
【答案】2−94
【分析】利用对指数互换，结合对指数运算法则即可得解.
【详解】因为10α=2−12，所以α=lg2−12=−12lg2，
因为10β=3213，所以β=lg3213=lg25×13=53lg2，
故102α−34β=102×−12lg2−34×53lg2=10−lg2−54lg2=10−94lg2=10lg2−94=2−94.
4．（2023·江苏·高一专题练习）已知a12+a−12=5a>0，求下列各式的值：
(1)a+a−1；
(2)a2+a−2.
【答案】(1)3
(2)7
【分析】根据平方关系运算求解.
【详解】（1）因为a12+a−12=5，所以a+a−1=a12+a−122−2=52−2=3.
（2）因为a+a−1=3，所以a2+a−2=a+a−12−2=32−2=7.
5．（2023·全国·高一随堂练习）已知x+x−1=3x>0，求下列各式的值：
(1)x12+x−12；
(2)x12−x−12；
(3)x32+x−32；
(4)x32−x−32
【答案】(1)5
(2)±1
(3)25
(4)4或−4
【分析】根据有理指数幂的运算性质，结合完全平方式和立方和（差）的公式，准确运算，即可求解.
【详解】（1）因为x+x−1=3x>0，
由(x12+x−12)2=x1+x−1+2=3+2=5，所以x12+x−12=5.
（2）因为x+x−1=3x>0，
由(x12−x−12)2=x1+x−1−2=3−2=1，所以x12−x−12=±1.
（3）因为x+x−1=3，且x12+x−12=5，
由x32+x−32=(x12+x−12)(x1+x−1−1)=5×(3−1)=25.
（4）因为x+x−1=3，且x12−x−12=±1，由x32−x−32=(x12−x−12)(x1+x−1+1)，
当x12−x−12=1时，可得x32−x−32=1×(3+1)=4；
当x12−x−12=−1时，可得x32−x−32=−1×(3+1)=−4.
6．（2023秋·江苏南通·高一江苏省如东高级中学校考阶段练习）（1）计算：2140.5−0.752+6−2×827−13；
（2）已知a12+a−12=3，求a3+a−3+3a+a−1−2的值.
【答案】（1）4748；（2）65.
【分析】（1）由分数指数幂的运算求解即可；
（2）利用a⋅a−1=1，应用完全平方公式和立方和公式找到a12+a−12与a+a−1及a3+a−3的关系，整体代入求解即可.
【详解】（1）原式==3220.5−342+136×233−13
=322×0.5−342+136×233×−13
=32−916+136×32
=4748；
（2）由a12+a−12=3，
则a+a−1=a12+a−122−2=7，
则a2+a−2=a+a−12−2=47
则a3+a−3=a+a−1a2−1+a−2=7×46=322，
即a3+a−3+3a+a−1−2=322+37−2=65.幂的有
关概念
正分数指数幂：a＝eq \r(n,am) (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂：a＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义
有理数
指数幂
的性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)