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人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制优秀随堂练习题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制优秀随堂练习题，文件包含专题51任意角与弧度制4类必考点人教A版2019必修第一册原卷版docx、专题51任意角与弧度制4类必考点人教A版2019必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc120545927" 【考点1：任意角的概念与终边相同角】 PAGEREF _Tc120545927 \h 1
\l "_Tc120545928" 【考点2：象限角】 PAGEREF _Tc120545928 \h 4
\l "_Tc120545929" 【考点3：弧度制】 PAGEREF _Tc120545929 \h 8
\l "_Tc120545930" 【考点4：弧长公式与扇形的面积公式】 PAGEREF _Tc120545930 \h 11
【考点1：任意角的概念与终边相同角】
【知识点：任意角的概念与终边相同角】
1．角的分类
角的分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(按旋转方向,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(正角：按逆时针方向旋转形成的角,负角：按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线没有旋转)),\a\vs4\al(按终边位置,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(象限角：角的终边在第几象限，这, 个角就是第几象限角,轴线角：角的终边落在坐标轴上))))
2．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
1．（2023上·安徽·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.
【详解】由题意可知，所以与 终边相同.
故选：B
2．（2023·全国·高一课堂例题）下列所示图形中，的是 ；的是 ．
【答案】 ①④ ②③
【分析】根据角的终边与始边的位置依次去判断即可.
【详解】在①中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以；
在②中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以；
在③中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以；
在④中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以.
的是①④；的是②③.
故答案为：①④；②③.
3．（2023上·高一课时练习）若角α＝30°，把角α逆时针旋转20°得到角β，则β＝ .
【答案】50°
【分析】根据任意角的概念计算可得到结果.
【详解】因为由逆时针旋转得到，所以.
故答案为：
4．（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 .
【答案】
【分析】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为，计算得到答案.
【详解】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.
故答案为：.
5
5．（2023·全国·高一随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】（1）（2）（3）（4）根据终边相同角的定义可写出满足条件的角的集合，然后解不等式，求出满足条件的整数的值，即可得出满足条件的元素.
【详解】（1）解：与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（2）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（3）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得、、，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（4）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，.
所以，适合不等式的元素为、、.
【考点2：象限角】
【知识点：象限角】
[方法技巧] 确定eq \f(α,n)(n≥2，n∈N*)终边位置的方法步骤
1．（2023上·甘肃天水·高一秦安县第一中学校考期末）若是第二象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】由象限角的定义即可求解.
【详解】由题意是第二象限角，
所以不妨设，
所以，
由象限角的定义可知是第四象限角.
故选：D.
2．（2023上·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】应用终边相同的角即可求解.
【详解】的终边与相同，则终边在第一象限.
故选：A．
3．（2024上·广东·高二校考学业考试）下列叙述正确的是（ ）
A．的角是第二象限的角
B．第二象限的角必大于第一象限的角
C．终边相同的角必相等
D．终边相同的角的同一个三角函数的值相等
【答案】D
【分析】ABC可举出反例，D选项，根据三角函数定义得到D正确.
【详解】A选项，的角是轴线角，不是象限角，A错误；
B选项，是第一象限角，是第二象限角，显然，B错误；
C选项，与是终边相同的角，说明C错误；
D选项，由三角函数定义可知，终边相同的角的同一个三角函数的值相等，D相等.
故选：D.
4．（多选）（2023下·湖南株洲·高一统考开学考试）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】CD
【分析】求出给定的各个角与到间终边相同的角，即可作答.
【详解】对于①，，而是第三象限角，①不是；
对于②，角的终边为x轴非正半轴，②不是；
对于③，，是第二象限角，③是；
对于④，，是第二象限角，④是.
故选：CD
5．（2023·全国·高一随堂练习）在范围内，与角终边相同的是 ，是第 象限角．
【答案】 一
【分析】根据终边相同的角的定义以及象限角的定义可得出结果.
【详解】因为，
所以，在范围内，与角终边相同的是，它是第一象限角.
故答案为：；一.
6．（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）若是第二象限角，则是 象限
【答案】第一或第三
【分析】先求出在第二象限时的表示，再求出的表示，最后讨论偶数和奇数的情况，即可得出结论.
【详解】由题可知，第二象限角，
所以，
所以，
当为偶数时，在第一象限；
当为奇数时，在第三象限.
故答案为：第一或第三
7．（2023·全国·高一课堂例题）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)280°，第四象限角
(2)160°，第二象限角
(3)，第三象限角
【分析】通过角的终边所成角为，分别对各个小问进行化简，并在区间内找出与之终边相同的角，并判定它是第几象限角．
【详解】（1）因为，所以在区间内，与角终边相同的角是280°，它是第四象限角．
（2）因为，所以在区间内，与1600°角终边相同的角是160°，它是第二象限角．
（3）因为，所以在区间内，与角终边相同的角是，它是第三象限角．
8．（2023·全国·高一随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)的终边在第二或第四象限
(2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上
(3)的终边在第二､第三或第四象限
(4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上
【分析】由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得，，，角终边所在区域，对分类讨论可得角终边所在的位置.
【详解】（1）由于为第四象限角，所以，
所以，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二或第四象限；
（2）由（1）得，
所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
（3）由（1）得，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第三象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二､第三或第四象限；
（4）由（1）得，即，
所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
【考点3：弧度制】
【知识点：弧度制】
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．角度制与弧度制的转化：①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
1．（2023·全国·高三专题练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据角度的表示方法分析判断AB，根据终边相同的角的定义分析判断CD.
【详解】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．
与终边相同的角可以写成的形式，
时，，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确．
故选：D．
2．（2023下·贵州遵义·高一遵义市南白中学校考阶段练习）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】选取不同的值，求出交集.
【详解】对于集合，当时，，
当取其他整数时，均不在内.
故.
故选：A.
3．（2023下·高一单元测试）已知集合，则M N
【答案】
【分析】根据集合的表达式可知表示的奇数倍的角的集合，表示的整数倍的角的集合，即.
【详解】根据可知，
集合表示的奇数倍的角的集合；
而，
即集合表示的整数倍的角的集合，所以.
故答案为：
4．（2023·全国·高一随堂练习）用弧度制表示终边在x轴上的角的集合．
【答案】
【分析】先写出内，终边落在x轴上的角有，然后根据终边相同的角的集合写出，即可得出答案.
【详解】内，终边落在x轴上的角有，
所以，终边在x轴上的角的集合为.
5．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，，，其中
【答案】图形见详解
【分析】角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线.
【详解】如图，由已知得角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线.
6．（2023·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的转化公式解即可得出答案.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
（7）.
（8）.
（9）
（10）.
【考点4：弧长公式与扇形的面积公式】
【知识点：弧长公式与扇形的面积公式】
1．（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】因为扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为.
故选：D.
2．（2023下·河北张家口·高一统考期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出、，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长.
【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则，，
由可得，
所以，扇形的面积为，
当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时．
因为，则扇形的圆心角，
取线段的中点，由垂径定理可知，
因为，则，
所以，.
故选：A.
3．（2023上·上海松江·高三校考期中）若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为 .
【答案】/
【分析】直接根据扇形的弧长公式求解即可．
【详解】，，
故答案为：.
4．（2023上·上海·高三上海市进才中学校考期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为 ．
【答案】
【分析】设扇形的半径为，利用扇形的面积公式求出的值，然后利用扇形的面积减去三角形的面积可得出弧田的面积.
【详解】设扇形的半径为，则扇形的面积为，解得，
取的中点，连接，如下图所示：
因为，则，
又因为，则，
所以，，，则，
所以，，
因此，弧田的面积为.
故答案为：.
5．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是 .
【答案】/
【分析】由大扇形面积减去小扇形面积即可得．
【详解】，
由题意可得，扇形的面积是，扇形的面积是.则扇面（曲边四边形）的面积是.
故答案为：．
6．（2022下·高一单元测试）若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 .
【答案】225
【分析】设扇形的半径为，弧长为，根据扇形的周长、面积和半径、弧长的关系建立二次函数关系，从而求出最大值即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的面积为：
，
当时，取得最大值，最大值为，
所以扇形面积的最大值为.
故答案为：225.
7．（2023·全国·高三专题练习）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 .
【答案】2
【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即，
所以扇形面积，
所以当时，取得最大值为，此时，
所以圆心角为（弧度）.
故答案为：2
8．（2023·全国·高一随堂练习）已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，该扇形的周长为4R，则该扇形中所含弓形的面积是多少？（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．）
【答案】
【分析】根据扇形周长可得扇形的弧长，进而可得扇形的圆心角弧度，从而求得弓形面积.
【详解】由题意，扇形的弧长，故，
则扇形的面积，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为，底为，该三角形面积为，
故扇形中所含弓形面积为
9．（2023下·上海宝山·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．
(1)若，，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．
【答案】(1)
(2)扇形周长的最小值为，此时
【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解；
（2）根据扇形的面积公式求得的关系，再利用基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）因为，，
所以扇形的弧长；
（2）由扇形面积，得，
则扇形周长为，
当且仅当，即时，取等号，
此时，，所以，
所以扇形周长的最小值为，此时.
10．（2023下·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．
(1)若，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由扇形弧长公式计算；
（2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可.
【详解】（1）设扇形的弧长为l．
因为，即，
所以．
（2）由题设条件，知，则，
所以扇形的面积．
当时，S有最大值36，
此时，
所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36．讨论法
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；
(2)写出eq \f(α,n)的范围；
(3)根据k的可能取值讨论确定eq \f(α,n)的终边所在位置
等分象
限角法
已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求eq \f(α,n)是第几象限角．
(1)等分：将每个象限分成n等份；
(2)标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴；
(3)选答：出现数字m的区域，即为eq \f(α,n)的终边所在的象限
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc120545927" 【考点1：任意角的概念与终边相同角】 PAGEREF _Tc120545927 \h 1
\l "_Tc120545928" 【考点2：象限角】 PAGEREF _Tc120545928 \h 4
\l "_Tc120545929" 【考点3：弧度制】 PAGEREF _Tc120545929 \h 8
\l "_Tc120545930" 【考点4：弧长公式与扇形的面积公式】 PAGEREF _Tc120545930 \h 11
【考点1：任意角的概念与终边相同角】
【知识点：任意角的概念与终边相同角】
1．角的分类
角的分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(按旋转方向,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(正角：按逆时针方向旋转形成的角,负角：按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线没有旋转)),\a\vs4\al(按终边位置,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(象限角：角的终边在第几象限，这, 个角就是第几象限角,轴线角：角的终边落在坐标轴上))))
2．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
1．（2023上·安徽·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.
【详解】由题意可知，所以与 终边相同.
故选：B
2．（2023·全国·高一课堂例题）下列所示图形中，的是 ；的是 ．
【答案】 ①④ ②③
【分析】根据角的终边与始边的位置依次去判断即可.
【详解】在①中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以；
在②中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以；
在③中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以；
在④中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以.
的是①④；的是②③.
故答案为：①④；②③.
3．（2023上·高一课时练习）若角α＝30°，把角α逆时针旋转20°得到角β，则β＝ .
【答案】50°
【分析】根据任意角的概念计算可得到结果.
【详解】因为由逆时针旋转得到，所以.
故答案为：
4．（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 .
【答案】
【分析】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为，计算得到答案.
【详解】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.
故答案为：.
5
5．（2023·全国·高一随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】（1）（2）（3）（4）根据终边相同角的定义可写出满足条件的角的集合，然后解不等式，求出满足条件的整数的值，即可得出满足条件的元素.
【详解】（1）解：与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（2）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（3）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得、、，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（4）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，.
所以，适合不等式的元素为、、.
【考点2：象限角】
【知识点：象限角】
[方法技巧] 确定eq \f(α,n)(n≥2，n∈N*)终边位置的方法步骤
1．（2023上·甘肃天水·高一秦安县第一中学校考期末）若是第二象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】由象限角的定义即可求解.
【详解】由题意是第二象限角，
所以不妨设，
所以，
由象限角的定义可知是第四象限角.
故选：D.
2．（2023上·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】应用终边相同的角即可求解.
【详解】的终边与相同，则终边在第一象限.
故选：A．
3．（2024上·广东·高二校考学业考试）下列叙述正确的是（ ）
A．的角是第二象限的角
B．第二象限的角必大于第一象限的角
C．终边相同的角必相等
D．终边相同的角的同一个三角函数的值相等
【答案】D
【分析】ABC可举出反例，D选项，根据三角函数定义得到D正确.
【详解】A选项，的角是轴线角，不是象限角，A错误；
B选项，是第一象限角，是第二象限角，显然，B错误；
C选项，与是终边相同的角，说明C错误；
D选项，由三角函数定义可知，终边相同的角的同一个三角函数的值相等，D相等.
故选：D.
4．（多选）（2023下·湖南株洲·高一统考开学考试）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】CD
【分析】求出给定的各个角与到间终边相同的角，即可作答.
【详解】对于①，，而是第三象限角，①不是；
对于②，角的终边为x轴非正半轴，②不是；
对于③，，是第二象限角，③是；
对于④，，是第二象限角，④是.
故选：CD
5．（2023·全国·高一随堂练习）在范围内，与角终边相同的是 ，是第 象限角．
【答案】 一
【分析】根据终边相同的角的定义以及象限角的定义可得出结果.
【详解】因为，
所以，在范围内，与角终边相同的是，它是第一象限角.
故答案为：；一.
6．（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）若是第二象限角，则是 象限
【答案】第一或第三
【分析】先求出在第二象限时的表示，再求出的表示，最后讨论偶数和奇数的情况，即可得出结论.
【详解】由题可知，第二象限角，
所以，
所以，
当为偶数时，在第一象限；
当为奇数时，在第三象限.
故答案为：第一或第三
7．（2023·全国·高一课堂例题）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)280°，第四象限角
(2)160°，第二象限角
(3)，第三象限角
【分析】通过角的终边所成角为，分别对各个小问进行化简，并在区间内找出与之终边相同的角，并判定它是第几象限角．
【详解】（1）因为，所以在区间内，与角终边相同的角是280°，它是第四象限角．
（2）因为，所以在区间内，与1600°角终边相同的角是160°，它是第二象限角．
（3）因为，所以在区间内，与角终边相同的角是，它是第三象限角．
8．（2023·全国·高一随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)的终边在第二或第四象限
(2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上
(3)的终边在第二､第三或第四象限
(4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上
【分析】由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得，，，角终边所在区域，对分类讨论可得角终边所在的位置.
【详解】（1）由于为第四象限角，所以，
所以，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二或第四象限；
（2）由（1）得，
所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
（3）由（1）得，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第三象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二､第三或第四象限；
（4）由（1）得，即，
所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
【考点3：弧度制】
【知识点：弧度制】
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．角度制与弧度制的转化：①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
1．（2023·全国·高三专题练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据角度的表示方法分析判断AB，根据终边相同的角的定义分析判断CD.
【详解】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．
与终边相同的角可以写成的形式，
时，，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确．
故选：D．
2．（2023下·贵州遵义·高一遵义市南白中学校考阶段练习）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】选取不同的值，求出交集.
【详解】对于集合，当时，，
当取其他整数时，均不在内.
故.
故选：A.
3．（2023下·高一单元测试）已知集合，则M N
【答案】
【分析】根据集合的表达式可知表示的奇数倍的角的集合，表示的整数倍的角的集合，即.
【详解】根据可知，
集合表示的奇数倍的角的集合；
而，
即集合表示的整数倍的角的集合，所以.
故答案为：
4．（2023·全国·高一随堂练习）用弧度制表示终边在x轴上的角的集合．
【答案】
【分析】先写出内，终边落在x轴上的角有，然后根据终边相同的角的集合写出，即可得出答案.
【详解】内，终边落在x轴上的角有，
所以，终边在x轴上的角的集合为.
5．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，，，其中
【答案】图形见详解
【分析】角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线.
【详解】如图，由已知得角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线.
6．（2023·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的转化公式解即可得出答案.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
（7）.
（8）.
（9）
（10）.
【考点4：弧长公式与扇形的面积公式】
【知识点：弧长公式与扇形的面积公式】
1．（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】因为扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为.
故选：D.
2．（2023下·河北张家口·高一统考期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出、，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长.
【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则，，
由可得，
所以，扇形的面积为，
当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时．
因为，则扇形的圆心角，
取线段的中点，由垂径定理可知，
因为，则，
所以，.
故选：A.
3．（2023上·上海松江·高三校考期中）若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为 .
【答案】/
【分析】直接根据扇形的弧长公式求解即可．
【详解】，，
故答案为：.
4．（2023上·上海·高三上海市进才中学校考期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为 ．
【答案】
【分析】设扇形的半径为，利用扇形的面积公式求出的值，然后利用扇形的面积减去三角形的面积可得出弧田的面积.
【详解】设扇形的半径为，则扇形的面积为，解得，
取的中点，连接，如下图所示：
因为，则，
又因为，则，
所以，，，则，
所以，，
因此，弧田的面积为.
故答案为：.
5．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是 .
【答案】/
【分析】由大扇形面积减去小扇形面积即可得．
【详解】，
由题意可得，扇形的面积是，扇形的面积是.则扇面（曲边四边形）的面积是.
故答案为：．
6．（2022下·高一单元测试）若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 .
【答案】225
【分析】设扇形的半径为，弧长为，根据扇形的周长、面积和半径、弧长的关系建立二次函数关系，从而求出最大值即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的面积为：
，
当时，取得最大值，最大值为，
所以扇形面积的最大值为.
故答案为：225.
7．（2023·全国·高三专题练习）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 .
【答案】2
【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即，
所以扇形面积，
所以当时，取得最大值为，此时，
所以圆心角为（弧度）.
故答案为：2
8．（2023·全国·高一随堂练习）已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，该扇形的周长为4R，则该扇形中所含弓形的面积是多少？（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．）
【答案】
【分析】根据扇形周长可得扇形的弧长，进而可得扇形的圆心角弧度，从而求得弓形面积.
【详解】由题意，扇形的弧长，故，
则扇形的面积，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为，底为，该三角形面积为，
故扇形中所含弓形面积为
9．（2023下·上海宝山·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．
(1)若，，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．
【答案】(1)
(2)扇形周长的最小值为，此时
【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解；
（2）根据扇形的面积公式求得的关系，再利用基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）因为，，
所以扇形的弧长；
（2）由扇形面积，得，
则扇形周长为，
当且仅当，即时，取等号，
此时，，所以，
所以扇形周长的最小值为，此时.
10．（2023下·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．
(1)若，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由扇形弧长公式计算；
（2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可.
【详解】（1）设扇形的弧长为l．
因为，即，
所以．
（2）由题设条件，知，则，
所以扇形的面积．
当时，S有最大值36，
此时，
所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36．讨论法
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；
(2)写出eq \f(α,n)的范围；
(3)根据k的可能取值讨论确定eq \f(α,n)的终边所在位置
等分象
限角法
已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求eq \f(α,n)是第几象限角．
(1)等分：将每个象限分成n等份；
(2)标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴；
(3)选答：出现数字m的区域，即为eq \f(α,n)的终边所在的象限
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
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