高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀课后复习题

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TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc123582695" 【考点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】 PAGEREF _Tc123582695 \h 1
\l "_Tc123582696" 【考点2：二倍角公式】 PAGEREF _Tc123582696 \h 7
\l "_Tc123582697" 【考点3：三角函数式的化简求值】 PAGEREF _Tc123582697 \h 13
\l "_Tc123582698" 【考点4：三角恒等变换的综合问题】 PAGEREF _Tc123582698 \h 18
【考点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】
【知识点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】
1．（2023上·全国·高一专题练习）的值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式和和差公式求解可得.
【详解】
.
故选：D
2．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将所求角通过拆角、变角，利用两角和的余弦公式求解即可.
【详解】，所以，，
因为，所以，
因为，所以，
，
故选：B．
3．（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两角和的正弦公式和辅助角公式可得，即可求解.
【详解】由题意知，，
.
故选：D
4．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）已知实数，满足，则，可能是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】利用正切的两角和差公式求解即可.
【详解】由，得，
类比，
.
故选：A.
5．（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式求出，再由及两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以.
故选：D
6．（2023上·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知角，且，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据两角差的正弦、余弦、正切公式化简求解即可.
【详解】因为，
所以，，，
又，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
7．（多选）（2023上·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）在中，，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】讨论分别为钝角、锐角的情况，然后根据同角的三角函数关系式以及两角差的正弦公式求解出的可能值.
【详解】当均为锐角时，
所以，
所以；
当为钝角，为锐角时，
此时，且，
所以，即，符合要求，
所以，
；
当为锐角，为钝角时，
此时，且，
所以，即，不符合要求；
显然不可能同为钝角，
综上可知的值可能是，，
故选：BD.
8．（多选）（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）下列化简结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据题意，由三角函数的和差角公式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】，所以A正确；，所以B正确；
，所以C错误；
，所以D错误．
故选：AB．
9．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知，则的值为 ．
【答案】/0.6
【分析】根据两角和的正切公式求出，再利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系求出.
【详解】，解得，
，
故答案为：.
10．（2023上·全国·高一专题练习） .
【答案】
【分析】利用余弦的两角差公式可得.
【详解】.
故答案为：
11．（2023上·全国·高一专题练习）化简
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用两角和与差的三角函数公式求解.
【详解】（1）解：，
，
（2），
，
，
（3），
，
，
（4），
，
，
.
12．（2023上·全国·高一专题练习）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据题意，逆用余弦的和差角公式，结合诱导公式即可得解.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
【考点2：二倍角公式】
【知识点：二倍角公式】
1．（2024上·云南昭通·高三校考阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合正弦、余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解.
【详解】由，则
.
故选：A.
2．（江西省部分学校2024届高三上学期12月联考数学试题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式和二倍角公式求解值.
【详解】.
故选:B
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式，结合角的范围，即可求得答案.
【详解】由题意，
则，
所以，即，
又因为，
所以，
则，
所以.
故选：C
4．（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）已知函数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的恒等变换化简，从而得解.
【详解】，
因为，所以，
则的最大值为.
故选：C.
5．（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式及同角三角函数的商数关系结合二倍角公式计算即可.
【详解】因为，所以，
可得，
所以．
故选：D
6．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知函数，若在区间上的值域是，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据三角恒等变换化简，即可根据整体法求解.
【详解】由可得，
当时，，
要使在区间上的值域是，
则，解得，
故选：A
7．（多选）（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】利用三角恒等变换与三角诱导公式即可得解.
【详解】对于A，，故A错误.
对于B，，故B错误，
对于C，
，故C正确.
对于D，，故D正确.
故选：CD.
8．（2023上·福建泉州·高二统考阶段练习）若，且，则 .
【答案】/0.96
【分析】利用二倍角公式求得后，再利用诱导公式求解即可.
【详解】因为，则，
又，
所以，
则，
则，
故答案为：
9．（2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知，则 ．
【答案】/
【分析】首先求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为，所以，
所以
.
故答案为：
10．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）若，则 .
【答案】/
【分析】根据辅助角公式可得，再结合诱导公式和二倍角公式即可得结果.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：.
11．（2022上·云南文山·高一校考期末）已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据平方关系求出，再根据二倍角的正弦公式即可得解；
（2）根据二倍角的余弦公式计算即可.
【详解】（1）因为，，所以，
所以；
（2）.
12．（2023上·广东汕头·高二校考期中）已知，．
(1)求的值．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把看作一个整体，将化为，用两角和的正弦公式求解；
（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得的值，结合二倍角公式求得、的值，再利用两角和的正弦公式，计算求得的值．
【详解】（1）∵，∴，
又∵，∴，∴
∴，
∴
.
∴.
（2）由第（1）问，，，∴
所以，.
所以.
【考点3：三角函数式的化简求值】
【知识点：三角函数式的化简求值】
1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．
[方法技巧] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
1．（2022春·安徽六安·高三六安二中校考阶段练习）化简cs40°1+3tan10°的结果是（ ）
A．1B．32C．2D．12
【答案】A
【分析】先利用“切化弦”思想，进行通分运算，根据辅助角公式结合二倍角公式化简即可得结果.
【详解】cs40∘1+3tan10∘=cs40∘1+3sin10∘cs10∘
=cs40∘cs10∘+3sin10∘cs10∘
=cs40∘×2sin10∘+30∘cs10∘
=2cs40∘sin40∘sin80∘
=sin80∘sin80∘=1.
故选：A.
2．（河北省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知3sin2θ+5sinθ−2=0，则cs2θ=（ ）
A．79B．89C．23D．13
【答案】A
【分析】解方程得到sinθ=13，再利用二倍角公式计算得到答案.
【详解】3sin2θ+5sinθ−2=sinθ+23sinθ−1=0，sinθ∈−1,1，sinθ+2≠0，
故3sinθ−1=0，sinθ=13，cs2θ=1−2sin2θ=1−29=79
故选：A
3．（2022春·江苏南京·高三期末）若sinα=2sinβ,sinα+β⋅tanα−β=1，则tanαtanβ=（ ）
A．2B．32C．1D．12
【答案】A
【分析】由三角恒等变换化简结合已知条件求解即可
【详解】因为csα+β=csαcsβ−sinαsinβcsα−β=csαcsβ+sinαsinβ，
所以sinαsinβ=12csα−β−csα+β，
所以sinα+βsinα−β=12cs2β−cs2α，
又sinα+β⋅tanα−β=1，
所以sinα+β⋅sinα−βcsα−β=1即sinα+βsinα−β=csα−β，
所以12cs2β−cs2α=csα−β，
所以121−2sin2β−1+2sin2α=csα−β即sin2α−sin2β=csα−β，
又sinα=2sinβ，
所以4sin2β−sin2β=csαcsβ+sinαsinβ，
所以4sin2β−sin2β=csαcsβ+2sin2β，
所以sin2β=csαcsβ，
所以12sinαsinβ=csαcsβ即sinαsinβ=2csαcsβ，
又易知csαcsβ≠0，
所以sinαsinβcsαcsβ=2，即tanαtanβ=2，
故选：A
4．（2022·广东广州·统考一模）若α,β∈π2,π，且1−cs2α1+sinβ=sin2αcsβ，则下列结论正确的是（ ）
A．2α+β=5π2B．2α−β=3π4
C．α+β=7π4D．α−β=π2
【答案】A
【分析】由α∈π2,π及二倍角的余弦公式可得sinα1+sinβ=csαcsβ，根据两角和的余弦公式可得sinα=csα+β，由诱导公式及α,β的范围即可求解.
【详解】∵α,β∈π2,π，∴sinα≠0.
由1−cs2α1+sinβ=sin2αcsβ，可得2sin2α1+sinβ=2sinαcsαcsβ，
即sinα1+sinβ=csαcsβ.
∴sinα=csαcsβ−sinαsinβ=csα+β，
∴csα+β=csπ2−α，
∵α,β∈π2,π，∴π<α+β<2π，且−π2<π2−α<0，
根据函数y=csx易知：α+β=π2−α+2π，即得：2α+β=5π2.
故选：A
5．（2022秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知θ∈0,π2，tanθ+π4=−23tanθ，则sinθcs2θsinθ+csθ=__．
【答案】−35
【分析】利用和差公式计算得到tanθ=3，再化简得到原式为tanθ−tan2θtan2θ+1，代入计算得到答案.
【详解】θ∈0,π2，tanθ+π4=−23tanθ，所以1+tanθ1−tanθ=−23tanθ，
所以2tan2θ−5tanθ−3=0，所以tanθ=3或tanθ=−12（舍去），
所以sinθcs2θsinθ+csθ=sinθ(cs2θ−sin2θ)sinθ+csθ=sinθ(csθ−sinθ)
=sinθ(csθ−sinθ)sin2θ+cs2θ=tanθ−tan2θtan2θ+1=−35．
故答案为：−35
6．（2022春·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考期中）已知cs(α−π6)=34，则sin(2α+π6)+cs2(α2−π12)的值为__.
【答案】1
【分析】根据诱导公式及二倍角公式可得sin(2α+π6)= 2cs2(α−π6)−1，然后根据降幂公式可得cs2(α2−π12)=78，进而即得.
【详解】由cs(α−π6)=34，得sin(2α+π6)=sin[2(α−π6)+π2] =cs2(α−π6)=2cs2(α−π6)−1=2×916−1=18，
再由cs(α−π6)=34，得2cs2(α2−π12)−1=34，可得cs2(α2−π12)=78，
∴sin(2α+π6)+cs2(α2−π12)=18+78=1．
故答案为：1.
7．（2022春·陕西西安·高一高新一中校考期末）设函数fx=sinx+3csx+1，若实数a,b,c使得afx+bfx−c=1对任意x∈R恒成立，求bcsca的值.
【答案】−1
【分析】整理得，fx=sinx+3csx+1=212sinx+32csx+1=2sinx+π3+1，
则afx+bfx−c=1可整理得，
2a+2bcscsinx+π3−2bsinccsx+π3=1−a−b，据此，列出方程组，
2a+2bcsc=02bsinc=01−a−b=0，解方程组，可得答案.
【详解】解：∵fx=sinx+3csx+1=212sinx+32csx+1=2sinx+π3+1，
∴afx+bfx−c=a2sinx+π3+1+b2sinx+π3−c+1=1，
即2asinx+π3+2bsinx+π3−c=1−a−b，
即2asinx+π3+2bsinx+π3csc−2bcsx+π3sinc=1−a−b，
化为：2a+2bcscsinx+π3−2bsinccsx+π3=1−a−b，
依题意，2a+2bcscsinx+π3−2bsinccsx+π3=1−a−b对任意x∈R恒成立，
∴2a+2bcsc=02bsinc=01−a−b=0，
由2a+2bcsc=0得：bcsca=−1，
故答案为：−1
8．（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）（1）求4cs40∘−3tan50∘的值；
（2）已知2tanθ=−3tanθ+π4，求cs2θ−π4的值.
【答案】（1）1；（2）−210.
【分析】（1）切化弦，通分后利用二倍角正弦公式可得2sin80∘−3sin50∘cs50∘，利用两角和差正弦公式展开sin50∘+30∘，整理化简即可得到结果；
（2）利用两角和差正切公式可化简已知等式求得tanθ；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可化简所求式子为正余弦齐次式的形式，代入tanθ即可求得结果.
【详解】（1）4cs40∘−3tan50∘=4cs40∘−3sin50∘cs50∘=4cs40∘cs50∘−3sin50∘cs50∘ 4sin40∘cs40∘−3sin50∘cs50∘=2sin80∘−3sin50∘cs50∘=2sin50∘+30∘−3sin50∘cs50∘ =2sin50∘cs30∘+2cs50∘sin30∘−3sin50∘cs50∘=3sin50∘+cs50∘−3sin50∘cs50∘ =cs50∘cs50∘=1；
（2）∵2tanθ=−3tanθ+π4=−3⋅tanθ+11−tanθ，
∴2tanθ−2tan2θ=−3tanθ−3，即2tan2θ−5tanθ−3=2tanθ+1tanθ−3=0，
解得：tanθ=−12或tanθ=3；
cs2θ−π4=cs2θcsπ4+sin2θsinπ4=22cs2θ+sin2θ =22⋅cs2θ−sin2θ+2sinθcsθsin2θ+cs2θ=22⋅1−tan2θ+2tanθtan2θ+1；
当tanθ=−12时，cs2θ−π4=22×−1454=−210；
当tanθ=3时，cs2θ−π4=22×−210=−210；
综上所述：cs2θ−π4=−210.
【考点4：三角恒等变换的综合问题】
【知识点：三角恒等变换的综合问题】
[方法技巧]
三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用
(1)图象变换问题
先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acs(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图象变换．
(2)函数性质问题
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acs(ωx＋φ)＋t的形式；
②利用公式T＝eq \f(2π,ω)(ω>0)求周期；
③根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acs(ωx＋φ)＋t的单调区间．
1．（2022春·陕西西安·高一高新一中校考期末）已知函数fx=2cs2x−1sin2x+12cs4x.
(1)求函数fx的对称中心；
(2)若α∈0,π，且fα4−π8=22，求tanα+π3的值.
【答案】(1)kπ4−π16,0,k∈Z
(2)2−3
【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为f(x)=22sin4x+π4，根据正弦函数的对称中心，令4x+π4=kπ,k∈Z，解之即可求解；
(2)结合（1）的结论，将fα4−π8=22化简整理可得：sinα−π4=1，进而求出α=3π4，代入tanα+π3即可求解.
【详解】（1）因为fx=2cs2x−1sin2x+12cs4x=cs2xsin2x+12cs4x
=12sin4x+12cs4x=22sin4x+π4，
令4x+π4=kπ,k∈Z，则x=kπ4−π16,k∈Z，
所以函数的对称中心为kπ4−π16,0,k∈Z；
（2）fα4−π8=22sin4×α4−π8+π4=22sinα−π4=22，
所以sinα−π4=1，又α∈0,π，所以α=3π4，
则tanα+π3=tan3π4+π3=tan3π4+tanπ31−tan3π4tanπ3=−1+31+3=2−3.
2．（2022春·河南郑州·高一校考期末）已知函数f(x)=2cs2ωx+23sinωxcsωx+a(ω>0,a∈R)的最大值为1，且f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，求：
(1)ω和a的值；
(2)当x∈−π2,π2，求函数f(x)的单调递增区间．
【答案】(1)ω=1,a=−2
(2)−π3,π6
【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出ω和a的值；
（2）由题意可知，利用整体代入即可得出正弦函数的单调性，进而求出函数的单调递增区间.
【详解】（1）由f(x)=2cs2ωx+23sinωxcsωx+a(ω>0,a∈R)得
f(x)=1+cs2ωx+3sin2ωx+a=1+a+2sin2ωx+π6
所以，函数f(x)的最大值为1+a+2=1，得a=−2；
即函数f(x)=2sin2ωx+π6−1；
又因为f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为12×2π2ω=π2，
所以，ω=1，即f(x)=2sin2x+π6−1.
（2）对于函数f(x)=2sin2x+π6−1，
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，
得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，
可得函数f(x)的增区间为kπ−π3,kπ+π6,k∈Z ；
故当x∈−π2,π2时，函数的增区间为−π3,π6 .
3．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知函数fx=sin2x−cs2x+23sinxcsx，x∈R.
(1)求fx的最小正周期；
(2)若x∈0,π2，求fx的最大值和最小值.
【答案】(1)T=π
(2)fxmin=−1，fxmax=2
【分析】（1）将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利周期公式求解．
（2）先求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即可求解.
【详解】（1）fx=sin2x−cs2x+23sinxcsx=3sin2x−cs2x=2sin2x−π6
所以最小正周期T=2π2=π.
（2）由0≤x≤π2，则−π6≤2x−π6≤5π6，
所以sin2x−π6∈−12,1，所以2sin2x−π6∈−1,2
当2x−π6=π2，即x=π3时，fxmax=fπ3=2.
当2x−π6=−π6，即x=0时，fxmin=f0=−1.
4．（2022春·广东深圳·高一统考期末）已知函数f(x)=sinxcs(π2+x)+3sinxcsx．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若不等式f(x)−m<2在x∈0,π2上恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)[π6+kπ,2π3+kπ]（k∈Z）
(2)(−32,1)
【分析】（1）利用诱导公式以及三角恒等变换公式化简函数f(x)的解析式，根据正弦函数的递减区间列式可得结果；
（2）根据函数f(x)在0,π2上的单调性求出函数f(x)在0,π2上的值域，将不等式f(x)−m<2在x∈0,π2上恒成立，化为m−2【详解】（1）因为f(x)=−sin2x+3sinxcsx=cs2x−12+32sin2x，
所以f(x)=sin(2x+π6)−12，
令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，
即f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]（k∈Z）.
（2）当x∈[0,π6]时，2x+π6∈[π6,π2]，所以f(x)在0,π6上单调递增；
当x∈[π6,π2]时，2x+π6∈[π2,7π6]，所以f(x)在π6,π2上单调递减；
因为f(0)=0，f(π6)=12，f(π2)=−1，
所以f(x)的值域是[−1,12]，
又由f(x)−m<2在x∈0,π2上恒成立，得m−2得m−2<−1m+2>12，解得−32所以实数m的取值范围是(−32,1).
C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
C(α＋β)
cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
S2α
sin 2α＝2sin_αcs_α；
变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
变形：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，
sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)