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八年级数学期末模拟卷01（北师大版，一~六章）-2023-2024学年初中下学期末模拟卷01（北师大版）（全解全析）A4版
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这是一份八年级数学期末模拟卷01（北师大版，一~六章）-2023-2024学年初中下学期末模拟卷01（北师大版）（全解全析）A4版，共25页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章~第六章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题
1．做好“垃圾分类”，倡导绿色健康的生活方式，是我们做为公民应尽的义务，如图所示垃圾分类标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠 ，直线两旁的部分能够完全重合的图形，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，本项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，本项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本项不符合题意；
故答案为：C．
2．若x、y的值均扩大为原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．x+yxyB．x+yx−yC．x+yy+1D．xy+1
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的性质，逐项判断即可．
【详解】解：A、5x+y25xy=15·x+yxy≠x+yxy，不符合题意；
B、5x+y5x−y=x+yx−y，符合题意；
C、5x+y5y+1≠x+yy+1，不符合题意；
D、5x5y+1≠xy+1，不符合题意；
故选：B．
3．下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．(x−a)(x+a)=x2−a2B．x2+2x+3=xx+2+3
C．2a2+4ay=2a(a+2y)D．x+22=x2+4x+4
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A．(x−a)(x+a)=x2−a2，从左边到右边的变形是整式乘法计算，故A不符合题意；
B．x2+2x+3=xx+2+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，故B不符合题意；
C．2a2+4ay=2a(a+2y)，从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意；
D．x+22=x2+4x+4，从左边到右边的变形是整式乘法计算，故D符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4．用下列一种正多边形瓷砖铺设地面，不能镶嵌整个平面的图形是（ ）
A．正六边形B．正五边形C．正四边形D．正三角形
【答案】B
【分析】看哪个正多边形的一个内角的度数不是360°的约数，就不能密铺平面．
【详解】解：A、正六边形的一个内角度数为180−360÷6=120°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
B、正九边形的一个内角度数为180−360÷5=108°，不是360°的约数，不能密铺平面，符合题意；
C、正四边形的一个内角度数为180−360÷4=90°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
D、正三角形的一个内角为60°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，用到的知识点为：一种正多边形能密铺平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180−360÷边数．
5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点E，AD=7，点F是CD的中点，则EF等于（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质得出点E是AC中点，可得到EF是△ADC中位线，进而利用三角形中位线性质定理计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点E是AC中点，
∵点F是CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF=12AD=12×7=3.5，
∴EF=3.5．
故选：A．
【点睛】此题考查平行四边形的性质和中位线性质，关键是根据平行四边形的对角线互相平分，然后借助中位线性质解答．
6．不等式组4x>3x+4①2x−33≤3②的解集是关于x的不等式x2>m−1解集的一部分，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m≥3C．m<3D．m>3
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再解出一元一次不等式的解集，然后列不等式求解可得答案．
【详解】解：4x>3x+4①2x−33≤3②，
解得：4∵x2>m−1，
解得：x>2m−2，
∵不等式组的解集为不等式解集的一部分，
∴2m−2≤4，
解得：m≤3，
故选：A．
7．如图，在正六边形ABCDEF内作正方形BCGH，连接AH，则∠FAH等于（ ）
A．75°B．72°C．60°D．45°
【答案】D
【分析】正六边形的每个内角为120°，正方形每个内角为90°，即可求∠HBA，根据BH＝BA即可求∠HAB的度数，然后结合图形求解即可．
【详解】解：正六边形的每个内角为(6−2)×180°6=120°，正方形每个内角为90°，
∴∠ABC＝∠FAB=120°，∠HBC＝∠BHG=90°，
∴∠HBA＝30°，
又∵HB＝AB，
∴∠HAB＝180°−30°2＝75°，
∴∠FAH=∠FAB-∠HAB=45°
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形内角和等腰三角形性质，解题关键是依据多边形内角和公式，求出正方形、正六边形内角度数，熟练运用等腰三角形性质求底角．
8．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+ac=b2+bc，则△ABC是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式及应用，等腰三角形的定义．根据已知条件：a2+ac=b2+bc，求出三角形三边关系，进而确定三角形的形状．
【详解】解：∵a2+ac=b2+bc，
∴a2−b2+ca−b=0，
∴a+ba−b+ca−b=0，
∴a−ba+b+c=0，
∵a、b、c为△ABC的三边长，
∴a+b+c≠0，
∴a−b=0，
即a=b，
∴△ABC为等腰三角形，
故答案为：D．
9．已知一次函数y=kx+bk>0的图象过点1,0，则不等式kx+2+b>0的解集是（ ）
A．x>−2B．x>−1C．x>0D．x>1
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式（组）的综合应用．把点1,0代入一次函数得到：b=−k，据此化简不等式，进而即可求出其解集
【详解】解：∵一次函数y=kx+bk>0的图象过点1,0，
∴b=−k，
∵kx+2+b>0，
∴kx+2−k>0，
∴kx+2−1>0，
∵k>0，
∴x+2−1>0，
解得：x>−1，
故选：B
10．如图，在平面直角坐标系中，射线OB是第一象限的角平分线，线段OB=22，将△OAB绕原点顺时针旋转，每次旋转45°，则第2023次旋转结束后，点B对应点的坐标为（ ）
A．−2，−2B．2，2C．(0，−22)D．(0,22)
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转及探索图形规律．
根据题意和角平分线的性质，即可得到B点的坐标，根据旋转的规律即可得到旋转后B的坐标，找到规律，即可求解．
找到旋转的规律是解题的关键．
【详解】∵射线OB是第一象限的角平分线，
∴B2，2，
由题意得：第一次旋转：B(22,0) ，
第二次旋转：B(2,−2)，
第三次旋转：B(0,−22)，
第四次旋转：B(−2,−2)，
⋯
以此类推知：第八次旋转后与原来点B重合，
∵2023÷8=252⋯7，
∴第2023次旋转结束后，点B对应点的坐标与第七次的坐标相同为(0,22)
故答案为：D．
11．已知关于x的分式方程xx−3−3a3−x=4的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥−4B．a>−4
C．a≥−4且a≠−1D．a>−4且a≠−1
【答案】C
【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围．
【详解】解：原分式方程可化为xx−3−3a3−x=4，
方程两边同乘x−3得，x+3a=4(x−3)，
去括号得，x+3a=4x−12，
移项得，x−4x=−12−3a，
合并同类项得，−3x=−12−3a，
系数化为1得x=a+4，
∵原分式方程的解为非负数，
∴x≥0，x≠3，
即a+4≥0，a+4≠3，
解得a≥−4且a≠−1，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意x≠3这个隐含条件．
12．如图，∠ABC的平分线BD与∠ACB邻补角的平分线CD相交于点D，CE平分∠ACB于点E，CD∥BA，DE=5，CE=3，则AB的长度为（ ）
A．2825B．5625C．125D．52
【答案】B
【分析】延长CE交AB于F，过点E作EH⊥BG于H，利用角平分线的定义和角的数量关系并利用"HL"证明△BEF≌△BEH，得到BF=BH，设EF=x，BF=y，则BH=BF=y，EH=EF=x，在Rt△CEH和Rt△CBF中根据勾股定理列关于x和y的方程组，解出y，即可得到AB的长．
【详解】解：延长CE交AB于F，过点E作EH⊥BG于H，如图：
∵CD平分∠ACG，
∴∠ACD=∠GCD，
∵CD∥BA，
∴∠A=∠ACD，∠ABC=∠GCD，
∴∠A=∠ABC，
∴BC=AC，
∵CE平分∠ACB，
∴BF=AF， ∠ACF=∠BCF，
∴∠DCF=∠ACF+∠ACD=90°，
∴CF⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵CD∥BA，
∴∠ABD=∠D，
∴∠CBD=∠D，
∴CD=BC，
在Rt△ECD中，CD=DE2−CE2=4，
∴BC=CD=4，
∵EF⊥AB，EH⊥BC， BD平分∠ABC，
∴EF=EH，
∵BE=BE，
∴Rt△BEF≌Rt△BEHHL，
∴BF=BH，
设EF=x，BF=y，则BH=BF=y，EH=EF=x，
∴3+x2+y2=42x2+4−y2=32
解得：y=2825，
∴AB=2BF=5625，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．因式分解：x2−4xy+4y2= ．
【答案】(x−2y)2
【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可.
【详解】x2−4xy+4y2
=x2-2•x•2y+(2y)2
=(x-2y)2，
故答案为(x-2y)2.
【点睛】本题考查了因式分解——公式法，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键.
14．若分式2−xx+2的值为零，则x的值为 ．
【答案】2
【详解】解：根据分式值为0的条件，则
2−x=0x+2≠0,
解得：x=2.
故答案为2．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BC=33，则点D到AB的距离为 ．
【答案】3
【分析】如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，则DE为点D到AB的距离，在Rt△ABC中，根据含有30°角的直角三角形的性质可求出∠ABC的度数，BD是∠ABC的角平分线，可求出∠CBD=∠DAB=12∠ABC=12×60°=30°，在Rt△CBD，Rt△CBD中，根据含有30°角的直角三角形的性质可求出BD的长，由此可求出DE的值．
【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，则DE为点D到AB的距离，
∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，且BC=33，
在Rt△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，
∴∠CBD=∠DAB=12∠ABC=12×60°=30°，
在Rt△CBD中，BC=3CD，则CD=33BC=33×33=3，BD=2CD，则BD=2×3=6，
∵DE⊥AB，
∴在Rt△BDE中，BD=6，BE=33，∠DBE=30°，
∴DE=12BD=12×6=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查含有30°角的直角三角形的性质，掌握含有30°角的直角三角形边的计算方法是解的关键．
16．某商家以400元/件的价格购进一批玩具套装礼品，以高出进价60%标价进行出售，“双十一”搞打折促销，为了保证利润率不低于20%，则每件套装礼品最多可打 折.
【答案】7.5/七五
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设每件套装礼品最多可以打x折，根据题干为了保证利润率不低于20%，列不等式即可求解．
【详解】解：设每件套装礼品最多可以打x折，
∴400×1+60%×0.1x−400400≥20%，
解得：x≥7.5
∴每件套装礼品最多可打7.5折，
故答案为：7.5．
17．如图，∠ABC=30°，AB=43，点D是射线BC上的任意一点，连接AD，以AD，BD为邻边作平行四边形ADBE，连DE，则线段DE的最小值为 ．
【答案】23
【分析】本题考查垂线段最短，平行四边形的性质，直角三角形的性质．根据垂线段最短得：当DE⊥BC时，DE最短，利用平行四边形性质和直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：设平行四边形ADBE的对角线AB、DE相交于O，如图，
当OD⊥BC时，OD最短，
∵平行四边形ADBE
∴DE=2OD，AB=2OB，
∴此时，DE最短，
∵∠ABC=30°，AB=43， OD⊥BC，
∴OD=12OB=12×12AB=3，
∴DE=2OD=23
故答案为：23．
18．如图，▱ABCD中，AD=22，AB=6，∠BCD=135°，对角线AC，BD相交于点O，过点O的线段EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，以下说法中：①AE=AF；②∠DAE=2∠CAE；③EF=5；④△DOE的面积与△AOD的面积比为7:12．其中，正确的序号有 ．
【答案】①③④
【分析】
过点A作AG⊥CD于点G，连接CF，易通过AAS证明△COE≌△AOF，得到OE=OF，再证四边形AECF为菱形，进而判断①；根据平行四边形及菱形的性质，易证△AGD为等腰直角三角形，得到AG=DG=2，则CG=4，设AE=CE=a，则GE=4−a，在Rt△AGE中，利用勾股定理建立方程，解得a=52，进而求得DE=72，由平行线的性质得∠DEA=∠EAF=2∠CAE，由DE≠AD可得∠DAE≠∠DEA=2∠CAE，以此判断②；在Rt△ACG中，利用勾股定理求得AC=25，在Rt△COE中，利用勾股定理求得OE=52，以此判断③；易得O到CD的距离为1，O到AB的距离为1，则S△DOE=12×72×1=74，S△AOD=S△ABD−S△AOB=12×6×2−12×6×1=3，再进一步计算即可判断④．
【详解】
解：如图，过点A作AG⊥CD于点G，连接CF，
∵四边形ABCD为平行四边形，AB=6，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD=6，OA=OC，
∴∠CEO=∠AFO，∠OCE=∠OAF，
在△COE和△AOF中，∠CEO=∠AFO∠OCE=∠OAFOC=OA，
∴△COE≌△AOFAAS，
∴OE=OF，
又∵OC=OA，EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形，
∴AE=AF，故①正确；
∵四边形AECF为菱形，
∴AE=CE，∠EAF=2∠CAE，
∵∠BCD=135°，AD∥BC，
∴∠ADC=45°，
∵AG⊥CD，
∴∠AGD=90°，
∴△AGD为等腰直角三角形，
∴AG=DG=AD2=222=2，
∴CG=CD−DG=6−2=4，
设AE=CE=a，则GE=CG−CE=4−a，
在Rt△AGE中，GE2+AG2=AE2，则4−a2+22=a2，
解得：a=52，
∴AE=CE=52=AF，GE=4−a=32，
∴DE=DG+GE=2+32=72，
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAF=2∠CAE，
∵DE=72≠AD=22，
∴∠DAE≠∠DEA=2∠CAE，故②错误；
在Rt△ACG中，AC=AG2+CG2=22+42=25，
∴OC=OA=5，
在Rt△COE中，OE=CE2−OC2=522−52=52，
∴EF=2OE=5，故③正确；
∵AG=2，
∴O到CD的距离为1，O到AB的距离为1，
∴S△DOE=12×72×1=74，
S△AOD=S△ABD−S△AOB=12×6×2−12×6×1=3，
∴S△DOES△AOD=743=712，故④正确．
综上，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
三、解答题
19．解不等式组：2x−1<3x+1①2x−12−x+13≤1②，在如图所示的数轴上表示它的解集，并写出它的最大整数解．
【答案】−4【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集．正确的解一元一次不等式组是解题的关键．
分别解出两个一元一次不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后在数轴上表示解集，最后作答即可．
【详解】解：2x−1<3x+1，
2x−1<3x+3，
−x<4，
解得，x>−4，
2x−12−x+13≤1，
32x−1−2x+1≤6，
6x−3−2x−2≤6，
4x≤11，
解得x≤114，
∴不等式组的解集为−4在数轴上表示解集为：
∴不等式组的最大整数解为2．
20．先化简，再求值：(x2x+1−x+1)÷xx2−1，已知x是满足−2【答案】x−1x，当x=2时，值为12
【分析】本题考查分式的化简求值，利用分式的通分和约分、平方差公式对所求值式子进行化简，最后根据 x是−2【详解】解：(x2x+1−x+1)÷xx2−1
=x2−(x−1)(x+1)x+1⋅(x+1)(x−1)x
=x2−x2+1x+1⋅(x+1)(x−1)x
=1x+1⋅(x+1)(x−1)x
=x−1x，
∵当x=0或±1时，原分式无意义，x是满足−2∴x=2，
当x=2时，原式=2−12=12．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−2，2)，B(−3，−2)，C(−1，0)．
(1)△ABC经过平移变换后得到的图形为△A1B1C1，若点A1的坐标为(3，0)，请在直角坐标系中画出变换后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，点P的坐标为(1，−1)，画出△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°后，得到的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
【答案】(1)作图见解析，C1的坐标为(4，−2)
(2)作图见解析，B2的坐标为(2，−5)
【分析】（1）根据点A、点A1这组对应点的坐标判断出三角形平移的方向与距离即可；
（2）按照旋转的性质，圆心角相等，对应线段相等操作即可．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1为所求，此时点C1的坐标为(4，−2)；
（2）如图，△A2B2C2为所求，此时点B2的坐标为(2，−5)．
【点睛】本题考查图形的平移与旋转，熟记平移、旋转的性质是关键．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)连接BE，若∠BAD=100°，∠EBD=2∠ABE，求∠AEB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠AEB=64°
【分析】（1）证明△AOD≌△COBASA，得到AD=CB，又由AD∥BC，即可证明四边形ABCD为平行四边形；
（2）四边形ABCD为平行四边形，则OB=OD，由EF⊥BD得到EO是BD的垂直平分线，BE=DE，则∠EBD=∠EDB，由三角形外角性质得到∠AEB=2∠EBD，根据∠BAD=100°，∠EBD=2∠ABE，∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，设∠ABE=x，则∠EBD=2x，∠AEB=4x，则100+x+4x=180°，解得x=16°，即可得到∠AEB的度数．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OCB，
在△AOD和△COB中，
∠OAD=∠OCBAO=CO∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COBASA，
∴AD=CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，
∵EF⊥BD，
∴EO是BD的垂直平分线，BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∴∠AEB=∠EBD+∠EDB=2∠EBD，
∵∠BAD=100°，∠EBD=2∠ABE，∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，
设∠ABE=x，则∠EBD=2x，∠AEB=4x
∴100+x+4x=180°，
解得：x=16°，
即∠AEB=64°．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用、线段垂直平分线的定义和性质等知识，证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．
23．利用完全平方公式进行因式分解，是我们常用的一种公式法，我们有些时候也会应用完全平方公式进行二次根式的因式分解．
例如：7+43=4+43+3=22+2×2×3+(3)2=(2+3)2；仿照例子完成下面的问题(参考例题要把结果进行化简)．
(1)若a2=9−45，求a的值；
(2)如图，△ABC中，∠B=90°，∠C=15°，点D为BC上的点，满足AD=CD=4，求AC的长．
【答案】(1)a=2−5或a=−2+5
(2)26+22
【分析】（1）根据题目已给的因式分解方法，对所求式子因式分解，即可求出a的值；
（2）先根据已知条件得到∠ADB=30°，根据直角三角形中含30°的性质求出AB和BD的长度，然后根据线段间的数量关系求出BC的长，最后根据勾股定理即可求出AC的长．
【详解】（1）解：9−45=4−45+5=22−2×2×5+(5)2=(2−5)2，
∵a2=9−45，
∴a=2−5或a=−2+5
（2）解：∵AD=CD=4，
∴∠C=∠CAD=15°，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=30°，
在直角△ABD中，∵∠B=90°，
∴AB=12AD=2，BD=3AB=23，
∴BC=CD+BD=4+23，
∴AC=AB2+BC2=22+(4+23)2=4+16+163+12=32+163
∵32+163=262+163+222=26+222．
∴AC=26+22；
【点睛】本题考查了勾股定理；二次根式的性质，因式分解；直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
24．如图，已知函数y1=−x+b，y2=mx−1，其中y1的图象经过点3,0．
(1)当y1>0时，x的取值范围是_______；
(2)当x>2时，对于x的每一个值，都有y1(3)若m=1，3x+1(3−x)(x−1)=Ay1+By2，求A、B的值．
【答案】(1)x<3
(2)m≥1
(3)A=5，B=2
【分析】（1）数形结合可知，当y1>0时，x的取值范围是x<3；
（2）将3,0代入y1=−x+b得0=−3+b，解得b=3，可得y1=−x+3，当x=2，y1=−2+3=1，即2,1，在一次函数y1=−x+3的图象上，由当x>2时，对于x的每一个值，都有y1（3）当m=1时，y2=x−1，则3x+1(3−x)(x−1)=Ay1+By2=A−Bx−A+3B(3−x)(x−1)，A−B=3−A+3B=1，解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：由图象可知，当y1>0时，x的取值范围是x<3，
故答案为：x<3；
（2）解：将3,0代入y1=−x+b得0=−3+b，解得b=3，
∴y1=−x+3，
当x=2，y1=−2+3=1，
∴2,1，在一次函数y1=−x+3的图象上，
∵当x>2时，对于x的每一个值，都有y1∴当x=2时，y2≥1，即2m−1≥1，解得m≥1，
∴m的取值范围为m≥1；
（3）解：当m=1时，y2=x−1，
∵y1=−x+3，
∴3x+1(3−x)(x−1)=Ay1+By2=A−x+3+Bx−1=A(x−1)+B(3−x)(3−x)(x−1)=A−Bx−A+3B(3−x)(x−1)，
∴A−B=3−A+3B=1，解得A=5B=2，
∴A=5，B=2．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，直线与坐标轴的交点求不等式的解集，根据两条直线的交点求不等式的解集，分式的加法运算，解二元一次方程组等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25．某果园实验基地推广甲、乙两种芒果苗，已知乙种芒果苗比甲种芒果苗每株贵2元，且用240元钱购买甲种芒果苗的株数与用360元钱购买乙种芒果苗的株数刚好相同．
(1)求甲、乙两种芒果苗每株的价格；
(2)果农A准备从甲、乙两种芒果苗中选购一种，已知购买数量相同且数量不少于500株，该果园实验基地负责人可给予以下优惠：购买甲种芒果苗每株按原售价九折优惠；购买乙种芒果苗，不多于500株按原售价付款不优惠，超过500株每株按原售价五折优惠.请帮助果农A判断购买哪种芒果苗更省钱．
(3)果农B计划购买甲、乙两种芒果苗共300株.调查统计发现，甲、乙两种芒果苗的成活率分别为90%、95%，要使这批芒果苗的成活率不低于93%，且使购买芒果苗的费用最低，应如何选购芒果苗？最低费用是多少？
【答案】(1)甲果苗的单价为4元，乙果苗的单价为6元
(2)当购买果苗数量超过2500株时，买乙果苗省钱；当购买果苗数量少于2500株时，买甲果苗省钱；当购买果苗数量等于2500株时，买甲或乙果苗一样钱；
(3)购买甲果苗120株．乙果苗180株时费用最低为1560元
【分析】本题考查分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题．
（1）设甲种芒果苗每株x元，则乙种芒果苗每株x+2，根据题干：用240元钱购买甲种芒果苗的株数与用360元钱购买乙种芒果苗的株数刚好相同，列分式方程，解方程即可；
（2）设果农A购买芒果苗m株，买甲果苗费用为y甲，乙果苗费用为y乙，由题意写出y甲，y乙的解析式，分情况讨论：①当y甲>y乙时，②当y甲（3）设果农B计划购买甲芒果苗共n株，则买乙果苗(300−n)株，总费用为W元，写出W的解析式，根据题干：甲、乙两种芒果苗的成活率分别为90%、95%，要使这批芒果苗的成活率不低于93%，列不等式，得到n的取值范围，最后根据一次函数的增减性，即可得到适合题目的n值，进而即可求解．
【详解】（1）解：设甲种芒果苗每株x元，则乙种芒果苗每株x+2，
根据题意可得：240x=360x+2，
解得：x=4，
检验：当x=4时，xx+2≠0，
∴x=4是原方程的解，
则x+2=6(元)，
∴甲果苗的单价为4元，乙果苗的单价为6元；
（2）解：设果农A购买芒果苗m株，买甲果苗费用为y甲，乙果苗费用为y乙，
∵m≥500，
则y甲=4×0.9×m=3.6m，
y乙=500×6+6×0.5(m−500)=3m+1500，
即y甲=3.6m，y乙=3m+1500，
当y甲>y乙时，则3.6m>3m+1500，
解得：m>2500，
∴当购买果苗数量超过2500株时，买乙果苗省钱；
当y甲解得：m<2500，
∴当购买果苗数量少于2500株时，买甲果苗省钱；
当y甲=y乙时，则3.6m=3m+1500，
解得：m=2500，
∴当购买果苗数量等于2500株时，买甲或乙果苗一样钱；
（3）解：设果农B计划购买甲芒果苗共n株，则买乙果苗(300−n)株，总费用为W元，
由于没有超过500株，
则W=4n+6(300−n)=−2n+1800，
即W=−2n+1800，
∵甲、乙两种芒果苗的成活率分别为90%、95%，要使这批芒果苗的成活率不低于93%，
∴90%n+95%(300−n)≥93%×300，
解得：n≤120，
∴0≤n≤120，
∵k=−2<0，
∴W随n的增大而减小，
当n=120时，W取最小值为−2×120+1800=1560元，
∴购买甲果苗120株．乙果苗180株时费用最低为1560元．
26．已知，在△ABC中，∠B=45°，点M为BC边上一点，连接AM，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转α得到AN，连接MN．
(1)如图1，当∠BAC=α=90°时，
①求证：MN2=CM2+BM2；
②当△AMN的周长取最小值为4+22时，求△ABC的周长；
(2)如图2，当∠ACB=30°，α=120°时，若CN=AN，求BMBC的值．
【答案】(1)①详见解析；②42+4
(2)23−33
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得：AC=AB，根据旋转的性质得∠MAN=90°，AM=AN，利用"SAS"证明△CAN≌△BAM，得到：CN=BM，∠ACN=∠B=45°，根据勾股定理即可求解；
②由①知△AMN为等腰直角三角形，进而得到：MN=2AM=2AN，易知当AM有最小值时，△AMN的周长最小，即当AM⊥BC时，△AMN的周长最小，求出AB、BC、AC的长度，即可求解；
（2）根据旋转的性质得：AN=AM，∠MAN=120°，根据SAS证明△ACM≌△NMC得∠ACM=∠CMN=30°，从而∠AMH=60°，过点A作AH⊥BC于点H，设HM=x，根据30度角的性质和勾股定理分别求出AM=2HM=2x，CH=3x，进一步表示出BM=3x−x，BC=3x+3x，进而可求出BMBC的值．
【详解】（1）解：①连接CN．
∵∠B=45°，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴AC=AB，
∵将线段AM绕点A按顺时针方向旋转90°得到AN，
∴∠MAN=90°，AM=AN，
∵∠BAC=α=90°，
∴∠CAN=∠BAM，
∴△CAN≌△BAMSAS，
∴CN=BM，∠ACN=∠B=45°，
∴∠NCM=∠ACN+∠ACB=90°，
∴MN2=CM2+CN2，
∴MN2=CM2+BM2；
②解：由①知△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=2AM=2AN，
∴△AMN的周长为2AM+2AM，
∴AM有最小值时，△AMN的周长最小，
∴2AM+2AM=4+22，
∴AM=2，
当AM⊥BC时，△AMN的周长最小，
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴BC=2AM=4，
∴AB=AC=22BC=22，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=22+22+4=42+4；
（2）解：∵将线段AM绕点A按顺时针方向旋转120°得到AN，
∴AN=AM，∠MAN=120°，
∴∠ANM=∠AMN=30°，
∵∠ACB=30°，
∴∠ACB=∠ANM=∠AMN=30°．
∵∠CAN=∠CMN，
∴∠ACM+∠ACN=∠AMN+∠CMN，
∴∠MCN=∠CMA，
∵AM=AN,AN=CN，
∴AM=CN，
∵CM=MC，
∴△ACM≌△NMCSAS，
∴∠ACM=∠CMN=30°，
∴∠AMH=60°，
过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠BAH=45°，∠HAM=30°．
设HM=x，
∴AM=2HM=2x，
∴AH=3x，
∴BH=3x，
∵∠ACB=30°，
∴AC=2AH=23x，
∴CH=3x，
∴BM=BH−HM=3x−x，
∴BC=3x+3x，
∴BMBC=3x−x3x+3x=23−33．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章~第六章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题
1．做好“垃圾分类”，倡导绿色健康的生活方式，是我们做为公民应尽的义务，如图所示垃圾分类标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠 ，直线两旁的部分能够完全重合的图形，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，本项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，本项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本项不符合题意；
故答案为：C．
2．若x、y的值均扩大为原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．x+yxyB．x+yx−yC．x+yy+1D．xy+1
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的性质，逐项判断即可．
【详解】解：A、5x+y25xy=15·x+yxy≠x+yxy，不符合题意；
B、5x+y5x−y=x+yx−y，符合题意；
C、5x+y5y+1≠x+yy+1，不符合题意；
D、5x5y+1≠xy+1，不符合题意；
故选：B．
3．下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．(x−a)(x+a)=x2−a2B．x2+2x+3=xx+2+3
C．2a2+4ay=2a(a+2y)D．x+22=x2+4x+4
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A．(x−a)(x+a)=x2−a2，从左边到右边的变形是整式乘法计算，故A不符合题意；
B．x2+2x+3=xx+2+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，故B不符合题意；
C．2a2+4ay=2a(a+2y)，从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意；
D．x+22=x2+4x+4，从左边到右边的变形是整式乘法计算，故D符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4．用下列一种正多边形瓷砖铺设地面，不能镶嵌整个平面的图形是（ ）
A．正六边形B．正五边形C．正四边形D．正三角形
【答案】B
【分析】看哪个正多边形的一个内角的度数不是360°的约数，就不能密铺平面．
【详解】解：A、正六边形的一个内角度数为180−360÷6=120°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
B、正九边形的一个内角度数为180−360÷5=108°，不是360°的约数，不能密铺平面，符合题意；
C、正四边形的一个内角度数为180−360÷4=90°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
D、正三角形的一个内角为60°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，用到的知识点为：一种正多边形能密铺平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180−360÷边数．
5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点E，AD=7，点F是CD的中点，则EF等于（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质得出点E是AC中点，可得到EF是△ADC中位线，进而利用三角形中位线性质定理计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点E是AC中点，
∵点F是CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF=12AD=12×7=3.5，
∴EF=3.5．
故选：A．
【点睛】此题考查平行四边形的性质和中位线性质，关键是根据平行四边形的对角线互相平分，然后借助中位线性质解答．
6．不等式组4x>3x+4①2x−33≤3②的解集是关于x的不等式x2>m−1解集的一部分，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m≥3C．m<3D．m>3
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再解出一元一次不等式的解集，然后列不等式求解可得答案．
【详解】解：4x>3x+4①2x−33≤3②，
解得：4
解得：x>2m−2，
∵不等式组的解集为不等式解集的一部分，
∴2m−2≤4，
解得：m≤3，
故选：A．
7．如图，在正六边形ABCDEF内作正方形BCGH，连接AH，则∠FAH等于（ ）
A．75°B．72°C．60°D．45°
【答案】D
【分析】正六边形的每个内角为120°，正方形每个内角为90°，即可求∠HBA，根据BH＝BA即可求∠HAB的度数，然后结合图形求解即可．
【详解】解：正六边形的每个内角为(6−2)×180°6=120°，正方形每个内角为90°，
∴∠ABC＝∠FAB=120°，∠HBC＝∠BHG=90°，
∴∠HBA＝30°，
又∵HB＝AB，
∴∠HAB＝180°−30°2＝75°，
∴∠FAH=∠FAB-∠HAB=45°
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形内角和等腰三角形性质，解题关键是依据多边形内角和公式，求出正方形、正六边形内角度数，熟练运用等腰三角形性质求底角．
8．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+ac=b2+bc，则△ABC是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式及应用，等腰三角形的定义．根据已知条件：a2+ac=b2+bc，求出三角形三边关系，进而确定三角形的形状．
【详解】解：∵a2+ac=b2+bc，
∴a2−b2+ca−b=0，
∴a+ba−b+ca−b=0，
∴a−ba+b+c=0，
∵a、b、c为△ABC的三边长，
∴a+b+c≠0，
∴a−b=0，
即a=b，
∴△ABC为等腰三角形，
故答案为：D．
9．已知一次函数y=kx+bk>0的图象过点1,0，则不等式kx+2+b>0的解集是（ ）
A．x>−2B．x>−1C．x>0D．x>1
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式（组）的综合应用．把点1,0代入一次函数得到：b=−k，据此化简不等式，进而即可求出其解集
【详解】解：∵一次函数y=kx+bk>0的图象过点1,0，
∴b=−k，
∵kx+2+b>0，
∴kx+2−k>0，
∴kx+2−1>0，
∵k>0，
∴x+2−1>0，
解得：x>−1，
故选：B
10．如图，在平面直角坐标系中，射线OB是第一象限的角平分线，线段OB=22，将△OAB绕原点顺时针旋转，每次旋转45°，则第2023次旋转结束后，点B对应点的坐标为（ ）
A．−2，−2B．2，2C．(0，−22)D．(0,22)
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转及探索图形规律．
根据题意和角平分线的性质，即可得到B点的坐标，根据旋转的规律即可得到旋转后B的坐标，找到规律，即可求解．
找到旋转的规律是解题的关键．
【详解】∵射线OB是第一象限的角平分线，
∴B2，2，
由题意得：第一次旋转：B(22,0) ，
第二次旋转：B(2,−2)，
第三次旋转：B(0,−22)，
第四次旋转：B(−2,−2)，
⋯
以此类推知：第八次旋转后与原来点B重合，
∵2023÷8=252⋯7，
∴第2023次旋转结束后，点B对应点的坐标与第七次的坐标相同为(0,22)
故答案为：D．
11．已知关于x的分式方程xx−3−3a3−x=4的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥−4B．a>−4
C．a≥−4且a≠−1D．a>−4且a≠−1
【答案】C
【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围．
【详解】解：原分式方程可化为xx−3−3a3−x=4，
方程两边同乘x−3得，x+3a=4(x−3)，
去括号得，x+3a=4x−12，
移项得，x−4x=−12−3a，
合并同类项得，−3x=−12−3a，
系数化为1得x=a+4，
∵原分式方程的解为非负数，
∴x≥0，x≠3，
即a+4≥0，a+4≠3，
解得a≥−4且a≠−1，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意x≠3这个隐含条件．
12．如图，∠ABC的平分线BD与∠ACB邻补角的平分线CD相交于点D，CE平分∠ACB于点E，CD∥BA，DE=5，CE=3，则AB的长度为（ ）
A．2825B．5625C．125D．52
【答案】B
【分析】延长CE交AB于F，过点E作EH⊥BG于H，利用角平分线的定义和角的数量关系并利用"HL"证明△BEF≌△BEH，得到BF=BH，设EF=x，BF=y，则BH=BF=y，EH=EF=x，在Rt△CEH和Rt△CBF中根据勾股定理列关于x和y的方程组，解出y，即可得到AB的长．
【详解】解：延长CE交AB于F，过点E作EH⊥BG于H，如图：
∵CD平分∠ACG，
∴∠ACD=∠GCD，
∵CD∥BA，
∴∠A=∠ACD，∠ABC=∠GCD，
∴∠A=∠ABC，
∴BC=AC，
∵CE平分∠ACB，
∴BF=AF， ∠ACF=∠BCF，
∴∠DCF=∠ACF+∠ACD=90°，
∴CF⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵CD∥BA，
∴∠ABD=∠D，
∴∠CBD=∠D，
∴CD=BC，
在Rt△ECD中，CD=DE2−CE2=4，
∴BC=CD=4，
∵EF⊥AB，EH⊥BC， BD平分∠ABC，
∴EF=EH，
∵BE=BE，
∴Rt△BEF≌Rt△BEHHL，
∴BF=BH，
设EF=x，BF=y，则BH=BF=y，EH=EF=x，
∴3+x2+y2=42x2+4−y2=32
解得：y=2825，
∴AB=2BF=5625，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．因式分解：x2−4xy+4y2= ．
【答案】(x−2y)2
【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可.
【详解】x2−4xy+4y2
=x2-2•x•2y+(2y)2
=(x-2y)2，
故答案为(x-2y)2.
【点睛】本题考查了因式分解——公式法，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键.
14．若分式2−xx+2的值为零，则x的值为 ．
【答案】2
【详解】解：根据分式值为0的条件，则
2−x=0x+2≠0,
解得：x=2.
故答案为2．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BC=33，则点D到AB的距离为 ．
【答案】3
【分析】如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，则DE为点D到AB的距离，在Rt△ABC中，根据含有30°角的直角三角形的性质可求出∠ABC的度数，BD是∠ABC的角平分线，可求出∠CBD=∠DAB=12∠ABC=12×60°=30°，在Rt△CBD，Rt△CBD中，根据含有30°角的直角三角形的性质可求出BD的长，由此可求出DE的值．
【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，则DE为点D到AB的距离，
∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，且BC=33，
在Rt△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，
∴∠CBD=∠DAB=12∠ABC=12×60°=30°，
在Rt△CBD中，BC=3CD，则CD=33BC=33×33=3，BD=2CD，则BD=2×3=6，
∵DE⊥AB，
∴在Rt△BDE中，BD=6，BE=33，∠DBE=30°，
∴DE=12BD=12×6=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查含有30°角的直角三角形的性质，掌握含有30°角的直角三角形边的计算方法是解的关键．
16．某商家以400元/件的价格购进一批玩具套装礼品，以高出进价60%标价进行出售，“双十一”搞打折促销，为了保证利润率不低于20%，则每件套装礼品最多可打 折.
【答案】7.5/七五
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设每件套装礼品最多可以打x折，根据题干为了保证利润率不低于20%，列不等式即可求解．
【详解】解：设每件套装礼品最多可以打x折，
∴400×1+60%×0.1x−400400≥20%，
解得：x≥7.5
∴每件套装礼品最多可打7.5折，
故答案为：7.5．
17．如图，∠ABC=30°，AB=43，点D是射线BC上的任意一点，连接AD，以AD，BD为邻边作平行四边形ADBE，连DE，则线段DE的最小值为 ．
【答案】23
【分析】本题考查垂线段最短，平行四边形的性质，直角三角形的性质．根据垂线段最短得：当DE⊥BC时，DE最短，利用平行四边形性质和直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：设平行四边形ADBE的对角线AB、DE相交于O，如图，
当OD⊥BC时，OD最短，
∵平行四边形ADBE
∴DE=2OD，AB=2OB，
∴此时，DE最短，
∵∠ABC=30°，AB=43， OD⊥BC，
∴OD=12OB=12×12AB=3，
∴DE=2OD=23
故答案为：23．
18．如图，▱ABCD中，AD=22，AB=6，∠BCD=135°，对角线AC，BD相交于点O，过点O的线段EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，以下说法中：①AE=AF；②∠DAE=2∠CAE；③EF=5；④△DOE的面积与△AOD的面积比为7:12．其中，正确的序号有 ．
【答案】①③④
【分析】
过点A作AG⊥CD于点G，连接CF，易通过AAS证明△COE≌△AOF，得到OE=OF，再证四边形AECF为菱形，进而判断①；根据平行四边形及菱形的性质，易证△AGD为等腰直角三角形，得到AG=DG=2，则CG=4，设AE=CE=a，则GE=4−a，在Rt△AGE中，利用勾股定理建立方程，解得a=52，进而求得DE=72，由平行线的性质得∠DEA=∠EAF=2∠CAE，由DE≠AD可得∠DAE≠∠DEA=2∠CAE，以此判断②；在Rt△ACG中，利用勾股定理求得AC=25，在Rt△COE中，利用勾股定理求得OE=52，以此判断③；易得O到CD的距离为1，O到AB的距离为1，则S△DOE=12×72×1=74，S△AOD=S△ABD−S△AOB=12×6×2−12×6×1=3，再进一步计算即可判断④．
【详解】
解：如图，过点A作AG⊥CD于点G，连接CF，
∵四边形ABCD为平行四边形，AB=6，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD=6，OA=OC，
∴∠CEO=∠AFO，∠OCE=∠OAF，
在△COE和△AOF中，∠CEO=∠AFO∠OCE=∠OAFOC=OA，
∴△COE≌△AOFAAS，
∴OE=OF，
又∵OC=OA，EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形，
∴AE=AF，故①正确；
∵四边形AECF为菱形，
∴AE=CE，∠EAF=2∠CAE，
∵∠BCD=135°，AD∥BC，
∴∠ADC=45°，
∵AG⊥CD，
∴∠AGD=90°，
∴△AGD为等腰直角三角形，
∴AG=DG=AD2=222=2，
∴CG=CD−DG=6−2=4，
设AE=CE=a，则GE=CG−CE=4−a，
在Rt△AGE中，GE2+AG2=AE2，则4−a2+22=a2，
解得：a=52，
∴AE=CE=52=AF，GE=4−a=32，
∴DE=DG+GE=2+32=72，
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAF=2∠CAE，
∵DE=72≠AD=22，
∴∠DAE≠∠DEA=2∠CAE，故②错误；
在Rt△ACG中，AC=AG2+CG2=22+42=25，
∴OC=OA=5，
在Rt△COE中，OE=CE2−OC2=522−52=52，
∴EF=2OE=5，故③正确；
∵AG=2，
∴O到CD的距离为1，O到AB的距离为1，
∴S△DOE=12×72×1=74，
S△AOD=S△ABD−S△AOB=12×6×2−12×6×1=3，
∴S△DOES△AOD=743=712，故④正确．
综上，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
三、解答题
19．解不等式组：2x−1<3x+1①2x−12−x+13≤1②，在如图所示的数轴上表示它的解集，并写出它的最大整数解．
【答案】−4
分别解出两个一元一次不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后在数轴上表示解集，最后作答即可．
【详解】解：2x−1<3x+1，
2x−1<3x+3，
−x<4，
解得，x>−4，
2x−12−x+13≤1，
32x−1−2x+1≤6，
6x−3−2x−2≤6，
4x≤11，
解得x≤114，
∴不等式组的解集为−4
∴不等式组的最大整数解为2．
20．先化简，再求值：(x2x+1−x+1)÷xx2−1，已知x是满足−2
【分析】本题考查分式的化简求值，利用分式的通分和约分、平方差公式对所求值式子进行化简，最后根据 x是−2
=x2−(x−1)(x+1)x+1⋅(x+1)(x−1)x
=x2−x2+1x+1⋅(x+1)(x−1)x
=1x+1⋅(x+1)(x−1)x
=x−1x，
∵当x=0或±1时，原分式无意义，x是满足−2
当x=2时，原式=2−12=12．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−2，2)，B(−3，−2)，C(−1，0)．
(1)△ABC经过平移变换后得到的图形为△A1B1C1，若点A1的坐标为(3，0)，请在直角坐标系中画出变换后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，点P的坐标为(1，−1)，画出△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°后，得到的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
【答案】(1)作图见解析，C1的坐标为(4，−2)
(2)作图见解析，B2的坐标为(2，−5)
【分析】（1）根据点A、点A1这组对应点的坐标判断出三角形平移的方向与距离即可；
（2）按照旋转的性质，圆心角相等，对应线段相等操作即可．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1为所求，此时点C1的坐标为(4，−2)；
（2）如图，△A2B2C2为所求，此时点B2的坐标为(2，−5)．
【点睛】本题考查图形的平移与旋转，熟记平移、旋转的性质是关键．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)连接BE，若∠BAD=100°，∠EBD=2∠ABE，求∠AEB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠AEB=64°
【分析】（1）证明△AOD≌△COBASA，得到AD=CB，又由AD∥BC，即可证明四边形ABCD为平行四边形；
（2）四边形ABCD为平行四边形，则OB=OD，由EF⊥BD得到EO是BD的垂直平分线，BE=DE，则∠EBD=∠EDB，由三角形外角性质得到∠AEB=2∠EBD，根据∠BAD=100°，∠EBD=2∠ABE，∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，设∠ABE=x，则∠EBD=2x，∠AEB=4x，则100+x+4x=180°，解得x=16°，即可得到∠AEB的度数．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OCB，
在△AOD和△COB中，
∠OAD=∠OCBAO=CO∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COBASA，
∴AD=CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，
∵EF⊥BD，
∴EO是BD的垂直平分线，BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∴∠AEB=∠EBD+∠EDB=2∠EBD，
∵∠BAD=100°，∠EBD=2∠ABE，∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，
设∠ABE=x，则∠EBD=2x，∠AEB=4x
∴100+x+4x=180°，
解得：x=16°，
即∠AEB=64°．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用、线段垂直平分线的定义和性质等知识，证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．
23．利用完全平方公式进行因式分解，是我们常用的一种公式法，我们有些时候也会应用完全平方公式进行二次根式的因式分解．
例如：7+43=4+43+3=22+2×2×3+(3)2=(2+3)2；仿照例子完成下面的问题(参考例题要把结果进行化简)．
(1)若a2=9−45，求a的值；
(2)如图，△ABC中，∠B=90°，∠C=15°，点D为BC上的点，满足AD=CD=4，求AC的长．
【答案】(1)a=2−5或a=−2+5
(2)26+22
【分析】（1）根据题目已给的因式分解方法，对所求式子因式分解，即可求出a的值；
（2）先根据已知条件得到∠ADB=30°，根据直角三角形中含30°的性质求出AB和BD的长度，然后根据线段间的数量关系求出BC的长，最后根据勾股定理即可求出AC的长．
【详解】（1）解：9−45=4−45+5=22−2×2×5+(5)2=(2−5)2，
∵a2=9−45，
∴a=2−5或a=−2+5
（2）解：∵AD=CD=4，
∴∠C=∠CAD=15°，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=30°，
在直角△ABD中，∵∠B=90°，
∴AB=12AD=2，BD=3AB=23，
∴BC=CD+BD=4+23，
∴AC=AB2+BC2=22+(4+23)2=4+16+163+12=32+163
∵32+163=262+163+222=26+222．
∴AC=26+22；
【点睛】本题考查了勾股定理；二次根式的性质，因式分解；直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
24．如图，已知函数y1=−x+b，y2=mx−1，其中y1的图象经过点3,0．
(1)当y1>0时，x的取值范围是_______；
(2)当x>2时，对于x的每一个值，都有y1
【答案】(1)x<3
(2)m≥1
(3)A=5，B=2
【分析】（1）数形结合可知，当y1>0时，x的取值范围是x<3；
（2）将3,0代入y1=−x+b得0=−3+b，解得b=3，可得y1=−x+3，当x=2，y1=−2+3=1，即2,1，在一次函数y1=−x+3的图象上，由当x>2时，对于x的每一个值，都有y1
【详解】（1）解：由图象可知，当y1>0时，x的取值范围是x<3，
故答案为：x<3；
（2）解：将3,0代入y1=−x+b得0=−3+b，解得b=3，
∴y1=−x+3，
当x=2，y1=−2+3=1，
∴2,1，在一次函数y1=−x+3的图象上，
∵当x>2时，对于x的每一个值，都有y1
∴m的取值范围为m≥1；
（3）解：当m=1时，y2=x−1，
∵y1=−x+3，
∴3x+1(3−x)(x−1)=Ay1+By2=A−x+3+Bx−1=A(x−1)+B(3−x)(3−x)(x−1)=A−Bx−A+3B(3−x)(x−1)，
∴A−B=3−A+3B=1，解得A=5B=2，
∴A=5，B=2．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，直线与坐标轴的交点求不等式的解集，根据两条直线的交点求不等式的解集，分式的加法运算，解二元一次方程组等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25．某果园实验基地推广甲、乙两种芒果苗，已知乙种芒果苗比甲种芒果苗每株贵2元，且用240元钱购买甲种芒果苗的株数与用360元钱购买乙种芒果苗的株数刚好相同．
(1)求甲、乙两种芒果苗每株的价格；
(2)果农A准备从甲、乙两种芒果苗中选购一种，已知购买数量相同且数量不少于500株，该果园实验基地负责人可给予以下优惠：购买甲种芒果苗每株按原售价九折优惠；购买乙种芒果苗，不多于500株按原售价付款不优惠，超过500株每株按原售价五折优惠.请帮助果农A判断购买哪种芒果苗更省钱．
(3)果农B计划购买甲、乙两种芒果苗共300株.调查统计发现，甲、乙两种芒果苗的成活率分别为90%、95%，要使这批芒果苗的成活率不低于93%，且使购买芒果苗的费用最低，应如何选购芒果苗？最低费用是多少？
【答案】(1)甲果苗的单价为4元，乙果苗的单价为6元
(2)当购买果苗数量超过2500株时，买乙果苗省钱；当购买果苗数量少于2500株时，买甲果苗省钱；当购买果苗数量等于2500株时，买甲或乙果苗一样钱；
(3)购买甲果苗120株．乙果苗180株时费用最低为1560元
【分析】本题考查分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题．
（1）设甲种芒果苗每株x元，则乙种芒果苗每株x+2，根据题干：用240元钱购买甲种芒果苗的株数与用360元钱购买乙种芒果苗的株数刚好相同，列分式方程，解方程即可；
（2）设果农A购买芒果苗m株，买甲果苗费用为y甲，乙果苗费用为y乙，由题意写出y甲，y乙的解析式，分情况讨论：①当y甲>y乙时，②当y甲
【详解】（1）解：设甲种芒果苗每株x元，则乙种芒果苗每株x+2，
根据题意可得：240x=360x+2，
解得：x=4，
检验：当x=4时，xx+2≠0，
∴x=4是原方程的解，
则x+2=6(元)，
∴甲果苗的单价为4元，乙果苗的单价为6元；
（2）解：设果农A购买芒果苗m株，买甲果苗费用为y甲，乙果苗费用为y乙，
∵m≥500，
则y甲=4×0.9×m=3.6m，
y乙=500×6+6×0.5(m−500)=3m+1500，
即y甲=3.6m，y乙=3m+1500，
当y甲>y乙时，则3.6m>3m+1500，
解得：m>2500，
∴当购买果苗数量超过2500株时，买乙果苗省钱；
当y甲
∴当购买果苗数量少于2500株时，买甲果苗省钱；
当y甲=y乙时，则3.6m=3m+1500，
解得：m=2500，
∴当购买果苗数量等于2500株时，买甲或乙果苗一样钱；
（3）解：设果农B计划购买甲芒果苗共n株，则买乙果苗(300−n)株，总费用为W元，
由于没有超过500株，
则W=4n+6(300−n)=−2n+1800，
即W=−2n+1800，
∵甲、乙两种芒果苗的成活率分别为90%、95%，要使这批芒果苗的成活率不低于93%，
∴90%n+95%(300−n)≥93%×300，
解得：n≤120，
∴0≤n≤120，
∵k=−2<0，
∴W随n的增大而减小，
当n=120时，W取最小值为−2×120+1800=1560元，
∴购买甲果苗120株．乙果苗180株时费用最低为1560元．
26．已知，在△ABC中，∠B=45°，点M为BC边上一点，连接AM，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转α得到AN，连接MN．
(1)如图1，当∠BAC=α=90°时，
①求证：MN2=CM2+BM2；
②当△AMN的周长取最小值为4+22时，求△ABC的周长；
(2)如图2，当∠ACB=30°，α=120°时，若CN=AN，求BMBC的值．
【答案】(1)①详见解析；②42+4
(2)23−33
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得：AC=AB，根据旋转的性质得∠MAN=90°，AM=AN，利用"SAS"证明△CAN≌△BAM，得到：CN=BM，∠ACN=∠B=45°，根据勾股定理即可求解；
②由①知△AMN为等腰直角三角形，进而得到：MN=2AM=2AN，易知当AM有最小值时，△AMN的周长最小，即当AM⊥BC时，△AMN的周长最小，求出AB、BC、AC的长度，即可求解；
（2）根据旋转的性质得：AN=AM，∠MAN=120°，根据SAS证明△ACM≌△NMC得∠ACM=∠CMN=30°，从而∠AMH=60°，过点A作AH⊥BC于点H，设HM=x，根据30度角的性质和勾股定理分别求出AM=2HM=2x，CH=3x，进一步表示出BM=3x−x，BC=3x+3x，进而可求出BMBC的值．
【详解】（1）解：①连接CN．
∵∠B=45°，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴AC=AB，
∵将线段AM绕点A按顺时针方向旋转90°得到AN，
∴∠MAN=90°，AM=AN，
∵∠BAC=α=90°，
∴∠CAN=∠BAM，
∴△CAN≌△BAMSAS，
∴CN=BM，∠ACN=∠B=45°，
∴∠NCM=∠ACN+∠ACB=90°，
∴MN2=CM2+CN2，
∴MN2=CM2+BM2；
②解：由①知△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=2AM=2AN，
∴△AMN的周长为2AM+2AM，
∴AM有最小值时，△AMN的周长最小，
∴2AM+2AM=4+22，
∴AM=2，
当AM⊥BC时，△AMN的周长最小，
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴BC=2AM=4，
∴AB=AC=22BC=22，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=22+22+4=42+4；
（2）解：∵将线段AM绕点A按顺时针方向旋转120°得到AN，
∴AN=AM，∠MAN=120°，
∴∠ANM=∠AMN=30°，
∵∠ACB=30°，
∴∠ACB=∠ANM=∠AMN=30°．
∵∠CAN=∠CMN，
∴∠ACM+∠ACN=∠AMN+∠CMN，
∴∠MCN=∠CMA，
∵AM=AN,AN=CN，
∴AM=CN，
∵CM=MC，
∴△ACM≌△NMCSAS，
∴∠ACM=∠CMN=30°，
∴∠AMH=60°，
过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠BAH=45°，∠HAM=30°．
设HM=x，
∴AM=2HM=2x，
∴AH=3x，
∴BH=3x，
∵∠ACB=30°，
∴AC=2AH=23x，
∴CH=3x，
∴BM=BH−HM=3x−x，
∴BC=3x+3x，
∴BMBC=3x−x3x+3x=23−33．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
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