初中数学沪科版九年级下册24.3.1 圆周角定理优质ppt课件

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本节在学习了圆心角的基础上，继续学习了圆周角的概念，以及同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，并学习了两个推论：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等；半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
1.理解圆周角的概念，理解和运用圆周角定理解几何问题；（重点） 2.掌握半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”.（重难点）
本节要求掌握圆周角的概念，理解和运用圆周角定理 ，推导出2个推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”，利用圆周角定理求角和线段等元素，培养了学生推理和计算的能力，同时锻炼了学生几何直观的素养。
不在同一直线上的三个点确定一个圆.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，即OA=OB=OC
经过三点A,B ,C,可以确定一个圆吗?
如图24-33,△ABC内接于⊙O，这时∠A的顶点在圆上，∠A的两边AB, AC分别与圆还有另一个公共点。
顶点在圆上,并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角。
圆O中圆周角有哪几个？∠A、∠B和∠C
两个条件必须同时具备，缺一不可
下列图中哪个是圆周角？
如图24-34 ,若△ABC是等边三角形,⊙O是其外接圆，∠BAC 与∠BOC有什么关系呢？
证明：∵△ABC是等边三角形∴∠BAC =∠ABC =∠BCA = 60°,又∵∠BOC =∠AOC =∠AOB =120°,∴∠BAC = ∠BOC
任意画一个⊙O及其内接△ABC，用量角器量，∠BAC及∠BOC有什么样关系?一个圆周角的大小与它所对弧上的圆心角有关；前者是后者的二分之一。
以⊙O上任一点A为顶点的圆周角有无数多个，按圆心与圆周角的位置关系,存在下面三种情况,如图24-35.
证明：连接OC,∵△OAC是等腰三角形,∴∠A=∠OCA.∴∠BOC=∠A+∠OCA =2∠A即∠A= ∠BOC.
(1)圆心在角的一边上
(2)圆心在角的内部证明：连接AO并延长，交⊙O于点D， 连接OB, OC,∵∠BAC =∠DAC+∠DAB∴∠BAC= ∠DOC+ ∠DOB = ∠BOC.
(3)圆心在角的外部证明：连接AO并延长,交⊙O于点D, 连接OB, OC 有∠BAC= ∠DAC -∠DAB = ∠DOC- ∠DOB = ∠COB .
圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
变式 如图，点A、B、C在⊙O上，∠CAB=70°，则∠BOC等于( ) A. 100°B. 110°C. 130°D. 140°
解：∵∠CAB=70°，∴∠BOC=2∠CAB=140°，故选：D．
推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等(图24-36).
证明：如图，连接AO，BO，∵∠C₁，∠C₂，∠C₃所对弧上的圆心角均为∠AOB.由圆周角定理可得∠C₁=∠C₂=∠C₃= ∠AOB.
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径(图24-37).
证明：∵A、O、B在一条直线上，∴∠AOB=180°由圆周角定理得 ∠C₁=∠C₂=∠C₃=180°÷2 = 90°.即直径所对的圆周角是直角，同理，90°的圆周角所对的弦AB是直径。
例1 如图24-38,AB为⊙O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD =60°,∠ADC =70° ,求∠APC的度数.
分析:∠APC等于圆周角∠BAD与∠ADC之和.
解:连接BC,则∠ACB =90°，∠DCB = ∠ACB -∠ACD = 90°-60° =30°又∵∠BAD =∠DCB = 30°，∴∠APC = ∠BAD +∠ADC =30° +70°=100°.
1、如图，△ABC的顶点A，B在⊙O上，点C在⊙O外(O,C在AB同侧)，∠AOB=98°，则∠C的度数可能是( )A. 48° B. 49° C. 50° D. 51°
解：设AC与⊙O相交于点D，连接BD，∵∠AOB=98°，∴∠ADB= ∠AOB=49°，∵∠ADB是△BCD的一个外角，∴∠C<∠ADB，∴∠C的度数可能是：48°，故选：A．
2.如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E.设∠AED=α，∠AOD=β，则( )A. 3α+β=180°B. 2α+β=180°C. 3α-β=90°D. 2α-β=90°
解:∵OA⊥BC，∴∠AOB=∠AOC=90°，∴∠DBC=90°-∠BEO=90°-∠AED=90°-α，∴∠COD=2∠DBC=180°-2α，∵∠AOD+∠COD=90°，∴β+180°-2α=90°，∴2α-β=90°，故选：D．
3.已知：如图，AB和CD交于⊙O内一点P，求证：PA⋅PB=PC⋅PD．
解：证明：连接AC、BD，如图所示：∵∠CAB、∠CDB所对应圆弧都为弧BC，∴∠CAB=∠CDB，∵∠APC=∠DPB，∴△APC∽△DPB，∴ ∴PA▪PB=PC▪PD．
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
24.3.1 圆周角定理
1.圆周角定理及其推论2.例1
必做题:课本P29的第1~3题选做题:练习册本课时的习题