2024-2025 学年高中数学人教A版必修一专题4.6 指数函数与对数函数（能力提升卷）

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专题4.6 指数函数与对数函数（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2023下·河南郑州·高一郑州一中开学考试）若，则等于(    )A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指对数互化求出即可求解．【详解】，∴．故选：D．2．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再判断出函数的单调性，从而求出函数的值域.【详解】由得，所以又因为函数在上单调递增，所以当时，．故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数，指数函数的性质，考查了函数单调性的判断，考查了学生的运算求解能力.3．（2023上·内蒙古·高一统考期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围【详解】解：令，∵ 在上单调递减，∴ 在内递增，且恒大于0，且，．故选：C．4．（2023上·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】观察可发现为奇函数，所以将变形为，然后结合函数单调性解不等式即可【详解】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得： 故选：B【点睛】题目比较灵活，考察单调性和奇偶性结合的问题，对学生要求比较高，不可直接计算，需要熟悉类型的函数为奇函数，且单调递减，根据这两个性质引导学生对已知不等式进行变形，从而解决问题5．（2023上·河南·高一校联考阶段练习）函数，在上的大致图象是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】确定函数的奇偶性，排除两个错误选项，再结合函数值的正负排除一个得正确选项．【详解】由题可知函数的定义域关于原点对称，且当时，，，当时，，，故为偶函数，排除A，C；而易知时，，排除D，故选：B．6．（2023下·安徽滁州·高一统考期末）碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡t年后，碳14所剩质量，其中C0为活体组织中碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的0.8倍，依据计算结果并结合下图中我国历史朝代的时间轴可推断该生物死亡的朝代为（    ）(参考数据：)  A．西汉 B．东汉 C．三国 D．晋朝【答案】B【分析】根据题意列方程，运用对数运算求近似解即可.【详解】由题意知，所以，所以，所以.，故对应死亡的朝代为东汉，故选：B.7．（2023上·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知函数的值域为的值域为，则（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】分别利用和的取值范围求出参数和，即可求出的值【详解】在函数中，值域为∴函数的值域为，∴，解得：在中，值域为∴在中，值域为，∵，∴，解得：∴，故选：C．8．（2023上·甘肃天水·高一天水市第一中学校考阶段练习）若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“的饱和函数”．给出下列五个函数：①；②；③；④．其中是“的饱和函数”的所有函数的序号为（    ）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】假设函数为饱和函数，列出方程，判断方程是否有解得出结论．【详解】对于①，，，，是饱和函数；对于②，假设是饱和函数，则，整理得：，方程无解，不是饱和函数；对于③，假设是饱和函数，则．，整理得：，△，方程有解，是饱和函数；对于④，假设，则，整理得：，做出和如图所示：由图象可得和有一个公共点，方程有解，是饱和函数．故选：D．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是理解定义，二是建立方程并对方程进行变形分析.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）设，，，，则在a，b，c，d这4个数中（    ）A．最大数为a B．最小数为b C．最大数为c D．最小数为d【答案】AD【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，分析的大致范围即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，又因为，所以，故选：AD10．（2023·高一课时练习）（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：，）A．6 B．9 C．8 D．7【答案】BC【分析】因为每过滤一次杂质含量减少,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的,由此列式可解得.【详解】设经过次过滤，产品达到市场要求，则 ，即，由 ，即 ，得 ，故选BC．【点睛】本题考查了指数不等式的解法,属于基础题.11．（2023上·浙江台州·高一浙江临海市回浦中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（    ）A． B． C．的值可能是 D．的值可能是6【答案】AC【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求得，结合函数的单调性、奇偶性解不等式，求得的取值范围.【详解】由题意可得，则．所以A选项正确.的定义域为，因为是偶函数，所以．当时，单调递增．因为是偶函数，所以当时，单调递减．因为，所以，所以，或，解得或．所以C选项符合.故选：AC12．（2023下·河北衡水·高二河北武强中学统考期末）已知，则a，b满足（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由对数与指数的互换公式可得，由作差法结合对数的换底公式可判断选项A，由对数运算可判断B；由均值不等式结合由选项B推出的结论可判断选项C,D.【详解】由，则，则，所以，所以A正确；，所以B不正确；由，因为，故等号不成立，则，故C正确；因为，故等号不成立，故D正确.故选：ACD.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2023·高一课时练习）若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝ .【答案】1【分析】根据对数的换底公式将分别化为，再利用导数的运算法则运算即可.【详解】同理可得故 即答案为1.【点睛】本题考查换底公式的应用及对数的运算法则，属基础题.14．（2023下·湖北荆州·高三阶段练习）若函数为奇函数，，则不等式的解集为 ．【答案】【分析】先由奇函数求出的值，再分类讨论解分段函数不等式即可.【详解】∵函数为奇函数，∴，即，此时，，满足题意，∴，∴当时，，解得；当时,，解得，∴不等式的解集为.故答案为：.15．（2023上·江西南昌·高一江西师大附中校考期中）定义，设.则不等式的解集是 .【答案】【分析】利用分段函数列出不等式求解即可.【详解】解：，，在上为单调递增函数，又，当时，，当时，，不等式，或，解得或，故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力.16．（2023上·上海·高三复旦附中校考阶段练习）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】当时,由,得恒成立,故不存在零点.当时,先讨论在上零点个数,再讨论在上零点个数,从而确定方程根的个数.【详解】 当  在, 故 当时, 不存在零点当时, 解得: 而   当时, 故: 有一个解,即: . 当时, 故: 在上无解. 的两个根为:, 当  则:,  故方程在上无解; 当  则:, 故方程在上有一个解; 当 则:, 故方程在上有两个解;综上所述:当时,函数恰有2个零点.故答案为: .【点睛】本题考查了含参数分段函数零点问题,要将函数的求零点问题转化为求方程根的问题,就参数取不同范围进行讨论求解这是解题关键.解答题（共6小题，满分70分）17．（2023上·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）（1）计算：；（2）已知，且，求m的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据指数运算和根式运算法则进行计算；（2）将指数式和对数式互化，结合换底公式和对数运算法则进行计算.【详解】（1）；（2）因为，所以，由换底公式可得：，因为，所以，则，因为，所以.18．（2023上·江西宜春·高三开学考试）已知的定义域为．（1）求的值；（2）若，且关于的方程在上有解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【详解】试题分析：（1）令对数的真数大于零，解得，得结果；（2）分离出参数，使得在上有解，根据单调性求出的范围，可得结果.试题解析：（1），，．由题设知道，．（2）由题设知，关于的方程在上有解，令，易知在上单增..考点：（1）对数函数的定义域；（2）函数的综合应用.19．（2023上·山东威海·高一统考期末）物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度满足:(为常数)，若经过分钟后物体的温度满足:，则称为半衰期，经测定.（1）求的值；（2）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用的水泡制，等茶水降至时饮用，可以产生最佳口感.那么在的空气温度下，用的水泡制该绿茶，大约需要放置多长时间茶水才能达到最佳饮用口感?(附:参考值)【答案】（1）；（2）8分钟.【解析】（1）将代入可得，解出即可；（2）由题可得，解出即可.【详解】解:（1）由题意可知，所以，解得（2）设刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感，由题意可知，，所以，，，所以，所以刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感.20．（2023下·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知为R上的奇函数．（1）求实数a的值：（2），．若对任意的，总存在，使得成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由奇函数性质求得，代入检验即可得；（2）确定函数的单调性求得时，的值域，的值域，由可得的范围．【详解】解：（1）∵为R上的奇函数，∴，解得：经检验：当时，满足为奇函数所以（2）由（1）知由复合函数单调性知：在上单调递增所以当时，，即设在的值域为A，知对b讨论：当时，显然不符合当时，因为与在上均单调递增，同理根据复合函数单调性知：所以在上单调递增所以当时，故有：解得：.【点睛】结论点睛：本题考查函数的奇偶性，函数的恒成立问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．21．（2023上·辽宁·高一校联考期末）已知是的反函数．（1）若在区间上存在使得方程成立，求实数的取值范围；（2）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先可得，然后由可得，然后可得答案；（2）首先判断出的单调性，然后可得，可化为，然后求出左边的最小值即可解出答案.【详解】（1）由题知由得所以，∵，∴（2）当0＜x1＜x2时，，所以，，因为，所以，y＝g（x）在（0，+∞）上单调递减．∴，即，对任意恒成立．∵b＞0，的图象开口向上，且对称轴为∴在区间上单调递增．∴时，，由，得【点睛】结论点睛：本题考查了不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：（1）若恒成立，则；（2）若恒成立，则.22．（2023上·河北保定·高一校考期末）已知函数（且）的图像与函数的图像关于直线对称．(1)若点在函数的图像上，求实数的值；(2)已知，函数．若的最大值为8，求实数的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由题意可知，然后将点代入即可求出的值；（2）由（1）得，令，则，然后分和两种情况结合二次函数的性质求解即可.【详解】（1）因为函数（且）的图像与函数的图像关于直线对称，所以，又因为点在函数的图像上，所以，解得.（2），令，当时，由可得，二次函数的对称轴为，所以最大值为，解得或（舍去）；当时，由可得，二次函数的对称轴为，所以最大值为，解得（舍去）或；综上，实数的值为或.