2024-2025 学年高中数学人教A版必修一专题6.2 平面向量的线性运算（4类必考点）

专题6.2 平面向量的线性运算 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc127518508" 【考点1：向量的加法运算】  PAGEREF _Toc127518508 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc127518509" 【考点2：向量的减法运算】  PAGEREF _Toc127518509 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc127518510" 【考点3：向量的数乘运算】  PAGEREF _Toc127518510 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc127518511" 【考点4：向量的共线定理与三点共线问题】  PAGEREF _Toc127518511 \h 11【考点1：向量的加法运算】【知识点：向量的加法运算】[方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．　　1．（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）如图，在平行四边形中，（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解.【详解】因为为平行四边形，所以.故选：B.2．（2023·新疆·高三学业考试）在平行四边形ABCD中，（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根据向量的运算可得答案.【详解】.故选：A.3．（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中）如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.【详解】因为四边形为矩形，为中点，所以，所以.故选：B4．（2024·云南昆明·统考一模）在中，点满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的加减法则，根据向量定比分点代入化简即可得出结果.【详解】如下图所示：易知；即可得.故选：C5．（2023下·北京·高二统考学业考试）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可.【详解】因为四边形是菱形，所以根据向量加法的平行四边形法则知，，，故C对D错；因为向量方向不同，所以，，故AB错误.故选：C6．（多选）（2024上·辽宁朝阳·高一统考期末）下列等式一定正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】结合向量的加法，减法以及运算律计算即可.【详解】由向量加法运算律知，ABD选项正确;，所以选项C错误.故选：ABD.【考点2：向量的减法运算】【知识点：向量的减法运算】1．（2023·云南·高二学业考试）化简得（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的加减运算法则化简即可.【详解】.故选：D2．（2024·云南昆明·统考一模）在中，点满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的加减法则，根据向量定比分点代入化简即可得出结果.【详解】如下图所示：易知；即可得.故选：C3．（2024·山东潍坊·统考模拟预测）在中，，点为的中点，设，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可.【详解】因为，点为的中点，所以.故选：A.4．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，点是上靠近的四等分点，与交于点，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合平行四边形性质推出，根据向量的线性运算，即可求得答案.【详解】平行四边形中,，则∽，因为点是上靠近的四等分点，所以，所以，  故．故选：B．5．（多选）（2024·陕西西安·高一阶段练习）下列式子可以化简为的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用平面向量的线性运算即可得解.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：AD.6．（2024·全国·高一假期作业）化简(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量减法运算法则计算即可；（2）根据向量加法运算法则计算即可.【详解】（1） .（2）【考点3：向量的数乘运算】【知识点：向量的数乘运算】1．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知在中，点在边上，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的线性运算即可.【详解】在中，，又点在边上，且，则，故选：A.  2．（2024上·辽宁大连·高三统考期末）在中，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助平面向量的线性运算与基本定理即可得.【详解】由，则，则，，故、，故.故选：A.3．（2024·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在中，为边上的中线，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.【详解】因为，所以由已知可得，，所以，，所以，.故选：A.4．（2023上·内蒙古赤峰·高三校联考期中）在中，，若点满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.【详解】已知，则.故选：D.5．（2024·四川自贡·统考一模）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】.故选：B6．（2024上·甘肃·高三统考阶段练习）已知平行四边形，若点是边的中点，，直线与相交于点，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出图形根据向量定比分点设出，构造方程组可解得，可得结果.【详解】如下图所示：设，则.设，则，.因为，所以，解得，所以，即.故选：C.7．（2024·辽宁沈阳·高三沈阳市外国语学校校考阶段练习）在梯形中，，则 ．【答案】6【分析】根据条件，利用向量的线性运算，即可求出，从而得到结果.【详解】因为，又，得到，所以，故答案为：.8．（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）如图，在平行四边形中，，分别为，的中点．  (1)试问与是相等向量还是相反向量？说明你的理由．(2)若，试用，表示，．【答案】(1)相等向量，理由见解析(2)，【分析】（1）由题意可得：，根据平面几何的知识，结合向量相等分析判断；（2）根据题意结合向量的线性运算求解.【详解】（1）由题意可得：，因为，分别为，的中点，所以，所以与是相等向量.（2）由题意可得：；因为，则，所以.【考点4：向量的共线定理与三点共线问题】【知识点：平面向量的共线定理与三点共线问题】向量与 (≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ.【求解向量共线问题的注意事项】(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔eq \o(OP,\s\up7(―→))＝(1－t)·eq \o(OA,\s\up7(―→))＋teq \o(OB,\s\up7(―→)) (O为平面内任一点，t∈R)．[方法技巧]　　　平面向量共线定理的三个应用[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．1．（2023下·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）设向量，不平行，向量与平行，则实数（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用向量共线列式计算即得.【详解】由向量与平行，得，而向量不平行，于是，所以.故选：A2．（2024上·辽宁·高一校联考期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.【详解】由题意知，三点共线，故,且共线，故不妨设，则，所以，解得，故选：D3．（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到，再由三点共线，即可求解.【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以，所以，即，因为三点共线，可得，所以.故选：A．  4．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】确定，得到，根据计算得到答案.【详解】，故，则，又是上一点，所以，解得.故选：A.5．（多选）（2024上·辽宁沈阳·高一统考期末）如图，在直角梯形中，，，，是线段的中点，线段与线段交于，则（    ）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】利用向量的线性运算法则判断选项，根据点共线，由向量共线定理可知，再利用向量的线性运算法则求解即可判断选项.【详解】对于选项，由已知条件可知，则正确；对于选项，，则错误；对于选项，连接，因为是线段的中点，所以，则正确；对于选项，设，点三点共线，则存在，使得,，，所以 ，消去得，解得，所以，则正确；故选：.6．（2024上·北京昌平·高一统考期末）已知向量，不共线，且，.若，则 .【答案】【分析】根据向量平行列方程，从而求得的值.【详解】由于，所以存在，使得，即，所以，解得.故答案为：7．（2024上·辽宁大连·高一期末）设，是两个不共线的向量，向量，共线，则 .【答案】【分析】用向量的共线定理，结合平面向量基本定中的唯一性构建参数方程组，即可求解.【详解】与共线，，，又，是两个不共线的向量，，解得.故答案为：.8．（2024上·北京西城·高一统考期末）已知,为一组不共线的向量，且向量，，能使得的一组实数的值可以为 ， .【答案】 1 4（答案不唯一，即可）【分析】根据，可知，由平面向量基本定理可得.【详解】因为，所以存在实数使得，即，，由平面向量基本定理可得：，，即，所以.可取故答案为：1；49．（2024上·辽宁朝阳·高二统考期末）在中，点是边上的动点（点异于，），且，若，则的最小值为 .【答案】【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意，由于三点共线，所以，而，由于点是边上的动点（点异于，），所以，则，所以为正数，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：10．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，．(1)求的值；(2)求的最小值，并求此时，的值．【答案】(1)(2)，时，最小值为．【分析】（1）由三角形重心性质可得，结合三点共线性质即可求得结果.（2）运用“1”的代换及基本不等式求解即可.【详解】（1）如图所示，因为G为重心，所以，所以，因为M，G，N三点共线，所以，即．（2）由题意可知，且，所以当且仅当，即时取等号，又∵，∴，时，取得最小值为．向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：＋＝＋；结合律：(＋)＋＝＋(＋)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求与的相反向量－的和的运算－＝＋(－)向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量的积的运算|λ|＝|λ|||，当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0λ(μ)＝(λ μ) ；(λ＋μ) ＝λ＋μ；λ(＋)＝λ＋λ证明向量共线对于非零向量，，若存在实数λ，使＝λ，则与共线证明三点共线若存在实数λ，使eq \o(AB,\s\up7(―→))＝λeq \o(AC,\s\up7(―→))，eq \o(AB,\s\up7(―→))与eq \o(AC,\s\up7(―→))有公共点A，则A，B，C三点共线求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值