2024-2025 学年高中数学人教A版必修一专题6.5 平面向量中的四心问题（4类必考点）

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专题6.5 平面向量的四心问题 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc159527377" 【考点1：重心问题】  PAGEREF _Toc159527377 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc159527390" 【考点2：垂心问题】  PAGEREF _Toc159527390 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc159527401" 【考点3：内心问题】  PAGEREF _Toc159527401 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc159527408" 【考点4：外心问题】  PAGEREF _Toc159527408 \h 5【考点1：重心问题】【知识点：三角形的重心】1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM=12(AB+AC)2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即xA+xB+xC3,yA+yB+yC3.3、常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点 = 1 \* GB3 ①OA+OB+OC=0 = 2 \* GB3 ②PO=13PA+PB+PC = 3 \* GB3 ③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB+AC，λ∈[0,+∞)，则P一定经过三角形的重心 = 4 \* GB3 ④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP=OA+λABABsinB+ACACsinC，λ∈[0,+∞)，则P一定经过三角形的重心.1．（2024·河南焦作·高一校考阶段练习）已知向量、（三点不共线），若，则点是（    ）A．的中点 B．的中点 C．的中点 D．的重心2．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知为的重心，，则（    ）A． B．C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ）A． B． C．2 D．5．（2024·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考阶段练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（    ）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心6．（2023·四川雅安·高三校联考期中）在中，，，，点是的重心，则（    ）A．7 B．8 C． D．7．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，．(1)求的值；(2)求的最小值，并求此时，的值．【考点2：垂心问题】【知识点：三角形的垂心】1、垂心的定义：高的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：1、OA∙OB=OB∙OC=OC∙OA2、OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB23、动点P满足OP=OA+λABABcosB+ACACcosC，λ∈0,+∞，则动点P的轨迹一定通过∆ABC的垂心4、奔驰定理推论：S∆BOC:S∆COA:S∆AOB=tanA:tanB:tanC，tanA∙OA+tanB∙OB+tanC∙OC=0.1．（2024·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ）A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心2．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考阶段练习）在中，若，则点H是的（    ）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心3．（多选）（2023下·河南郑州·高一校联考期中）点为△所在平面内一点，则（   ）A．若，则点为△的重心B．若，则点为△的垂心C．若．则点为△的垂心D．在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心4．（多选）（2023下·河南郑州·高一郑州一中校考期中）设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（    ）A．若，则点D是边BC的中点B．若，则直线AD经过的垂心C．若，则点D在边BC的延长线上D．若，且，则是面积的一半5．（2023下·四川成都·高一石室中学校考期中）在中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是的垂心，则 .6．（2024·全国·高一专题练习）是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的 ．（填外心或内心或重心或垂心）7．（2024·高一单元测试）设，（为坐标原点），点为的垂心，求.【考点3：内心问题】【知识点：三角形的内心】1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。2、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，（1）ABPC+BCPA+CAPB=0（或aPA+bPB+cPC=0）其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，（2）AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)，则P一定经过三角形的内心.1．（2024·高一课时练习）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（    ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心2．（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知点O是的内心，，，则（    ）A． B． C．2 D．3．（2024·全国·高三专题练习）在中，若，则点是的（    ）A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 4．（2024·北京·高三强基计划）在中，，I为的内心，若，则的值为（   ）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023下·福建三明·高一统考期末）设为的内心，，，，则（    ）A． B． C． D．6．（2023上·山东聊城·高三统考期中）已知是的内心，，，，则 ．7．（多选）（2023下·四川成都·高一统考期末）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ）A．若，则为的重心B．若，则为的内心C．若为的重心，是边上的中线，则D．若，则【考点4：外心问题】【知识点：三角形的外心】1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，1、OA=OB=OC⟺OA2=OB2=OC22、OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OA+OC∙AC=03、动点P满足OP=OB+OC2+λABABcosB+ACACcosC，λ∈0,+∞，则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外心.4、若OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OC+OA∙CA=0，则O是∆ABC的外心.1．（2023上·四川成都·高二石室中学校考开学考试）在中，，M是边的中点，O为的外心，则（    ）A．8 B． C．16 D．172．（2024·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）已知点O是的外心，，，则（    ）A． B． C． D．3．（2024·四川成都·高二石室中学校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则m的值为（   ）A． B． C． D．4．（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为（ ）A．1 B．2 C． D．5．（2024·福建莆田·高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（    ）A．若，则O是的外心B．若，则I是的内心C．若，则P是的垂心D．若，则N是的重心6．（2023下·四川成都·高一树德中学校考期末）已知点，，在所在平面内，且，，，则点，，依次是的（    ）A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心7．（2023下·河南濮阳·高一统考期末）点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（    ）A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心8．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ）A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心