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2024-2025 学年高中数学人教A版必修一专题6.10 平面向量（能力提升卷）
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这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版必修一专题6.10 平面向量（能力提升卷），文件包含专题610平面向量能力提升卷人教A版2019必修第二册原卷版docx、专题610平面向量能力提升卷人教A版2019必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
专题6.10 平面向量（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知单位向量与单位向量的夹角为，则（ ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】借助模长与数量积的关系计算即可得.【详解】，故.故选：D.2．（2024高一下·吉林白城·阶段练习）在中，已知，则一定为（ ）A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】D【分析】利用正弦定理边角互化得a,b,c的比值，再利用余弦定理计算最大边的余弦值即可判断【详解】因为，由正弦定理得设其为k,则则c为最大边，则，故C为钝角，故一定为钝角三角形故选：D【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查余弦定理解三角形，重在计算能力考查，是基础题3．（2024高三·安徽·阶段练习）如图，在圆中，是圆心，点在圆上，的值（ ）A．只与圆的半径有关B．只与弦的长度有关C．既与圆的半径有关，又与弦的长度有关D．是与圆的半径和弦的长度均无关的定值【答案】B【分析】根据数量积的定义去求，与的夹角用和去表示，即得结论.【详解】设与的夹角为，在中，.，的值只与弦的长度有关，故选：.【点睛】本题主要考查向量的数量积，结合圆的性质，属于基础题.4．（2024高三上·河南郑州·阶段练习）已知两个单位向量，函数，若当时，取最小值，则的夹角为（ ）A． B． C． D．或【答案】A【解析】设向量的夹角为，得到，根据二次函数的性质，得到时，有最小值，得到，即可求解.【详解】由题意，向量为单位向量，所以，，设向量的夹角为，其中，则，所以，因为函数有最小值，所以，当时，有最小值，此时，因为，可得，即.故选：A.5．（2024高一下·湖南·期中）如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°，，则建筑物AB的高度为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦定理求出，再在直角三角形中求解即可.【详解】在中，根据正弦定理可得，在中，，故选：A6．（2024高一下·湖北·期中）若在中，是边上的点，且满足，=，则=（ ）A． B． C． D．0【答案】D【分析】设BD＝x(x>0)，则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，由cos∠ADC＝－cos∠BDC，利用余弦定理即可求解【详解】，在中AD＝3BD，如图所示设BD＝x(x>0)，则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，易知cos∠ADC＝－cos∠BDC．∴，解得x＝，故AD＝1，AC＝1，∴cosA＝＝0．故选：D．7．（2024·广西·模拟预测）已知和为非零向量，则“”的充分而不必要条件是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先分析，然后根据向量平行、数量积、模等知识对选项进行分析，结合充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】，则，即，A选项，，所以A选项错误.B选项，，则，所以“”是“”的充要条件，B选项错误.C选项，，则，而时，则可能，即“” 是“”的充分而不必要条件，C选项正确.D选项，若，则其中可能，所以D选项错误.故选：C8．（2024高一下·浙江·期末）课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图在锐角中，过点作与垂直的单位向量，因为，所以，由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图直线与的边、分别相交于点、．设，，，．则与的边和角之间的等量关系为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】过点作，取单位向量，由结合平面向量数量积的定义化简可得结果.【详解】如下图所示，过点作，在中，，取单位向量，则，即，，，，所以，，即.故选：A.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2024高一下·湖北荆州·阶段练习）已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ）A． B．与可以作为一组基底C． D．向量在向量上的投影向量为【答案】ACD【分析】根据向量模长运算、基底的定义、与某一向量同向的单位向量、投影向量的求法依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，A错误；对于B，是不共线的一组非零向量，可以作为一组基底，B正确；对于C，，C错误；对于D，向量在向量上的投影向量为，D错误.故选：ACD.10．（23-24高三上·江苏淮安·期中）在中，角所对的边为，有如下判断，其中正确的判断是（ ）A．若，则为等腰直角三角形B．若，则C．若，则符合条件的有两个D．在锐角三角形中，不等式恒成立【答案】BD【分析】A选项，由得到或，得到答案；B选项，由正弦定理得到，从而得到；C选项，，故无解；D选项，为锐角，由余弦定理得到恒成立.【详解】A选项，，，故或，解得或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误；B选项，，由正弦定理得，因为，所以，故，因为，所以，故，，因为，故，B正确；C选项，若，则，则符合条件的有0个，C错误；D选项，为锐角三角形，故为锐角，由余弦定理得，，故不等式恒成立，D正确.故选：BD11．（2023高二下·湖北·期中）给出下列命题，其中正确的选项有（ ）A．非零向量、满足，则与的夹角为B．若，则为等腰三角形．C．等边的边长为，则D．若，，，为锐角，则实数的取值范围是【答案】AB【分析】直接利用向量的线性运算，向量数量积求模、夹角运算对A，B，C，D四个选项逐一计算判断并作答.【详解】对于A，因，，而，，于是与的夹角有，而，则，A正确；对于B，因，则，即，为等腰三角形，B正确；对于C，等边的边长为，，C不正确；对于D，， 时，同向，其夹角为0，即为锐角时且，D不正确.故选：AB12．（2024高一下·河北邢台·阶段练习）平行四边形ABCD中，，，.动点P满足，，下列选项中正确的有（ ）A．时，动点形成的轨迹的长为B．时，的取值范围是C．时，存在使得D．且最大时，在上的投影向量为【答案】ACD【分析】根据图形特征建立平面直角坐标系，通过从而得到动点轨迹方程进而判断A；时在线段上，从而判断B；若，，则，通过解方程进而判断C；通过图形特征以及投影向量的相关概念判断D.【详解】在平行四边形ABCD中，作，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，则，所以，则，对于A，，则，所以，由，得到，所以动点P形成的轨迹的长为，故A正确；对于B，若，则在线段上（含端点），所以的取值范围是，故B错误；对于C，若，，则，所以，所以令，所以符合题意，所以时，存在使得，故C正确；对于D，过点作，若，则在上，又因为最大，所以与重合，作，则在上的投影向量为，由，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：本题考查平面向量综合问题，该类问题常见的处理方法为：（1）基底法：通过基底的建立与表示进行求解；（2）坐标法：通过平面直角坐标系，结合坐标公式进行求解；（3）转化法：通过平方关系的转化求解平面向量问题.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2024高一下·全国·课后作业）已知在中，内角所对的边分别为，且，，则 .【答案】2【解析】把，代入已知等式，可将边之间的关系全部转化为角之间的关系，即可求解.【详解】由题意，在中，，可得，又由正弦定理可得，所以，代入可得.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化和三角形内角和的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．（2024高一·贵州·阶段练习）已知正三角形ABC的边长为2，点P在边BC上，则的最大值为 .【答案】2【分析】以为轴，边上的高为轴，建立坐标系，设利用向量的坐标运算可得答案.【详解】以为轴，边上的高为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则，，则，当时，有最大值 故答案为：215．（2023高三上·山西朔州·期中）如图，在中，已知，，，点为边上一点，满足.点是上一点，满足，则 .【答案】【分析】由已知条件利用向量的线性运算将向量表示为基底的线性组合，然后利用向量的数量积的运算求解.【详解】,, ，故答案为：【点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，关键是选择时当的基底表示与所求线段相关的向量，然后利用向量的运算求解.解决此类问题，应当避免过多的辅助线和技巧，甚至使用正余弦定理进行求解.16．（2024高三·全国·专题练习）如图，港口在港口正东的海里处，小岛在港口的北偏东的方向上，且在港口的北偏西的方向上．一艘科学考察船从港口出发，沿北偏东的方向以海里/小时的速度驶离港口．一艘给养快艇从港口沿方向以海里/小时的速度驶向小岛，在岛装运补给物资后以相同的速度送往科学考察船．已知两船同时出发，补给物资装船时间为小时．给养快艇驶离港口后，能和科学考察船相遇的最少时间为 ．【答案】小时【分析】设快艇驶离港口后，最少要经过小时，在上的点处与考察船相遇，中求得，然后由表示出，在中应用余弦定理可得值．【详解】设快艇驶离港口后，最少要经过小时，在上的点处与考察船相遇，如图，连接，则快艇沿线段、航行， 在中，，，∴， 又，∴，，故快艇从港口到小岛需要小时，在中，，，，由余弦定理知：，解得或，∵，∴，故快艇驶离港口后，最少要经过小时才能和考察船相遇．故答案为：3小时．【点睛】本题考查解三角形的应用，考查方位角的概念．解题时把方位角转化为三角形中的角，然后应用正弦定理或余弦定理列式求解．本题属于中档题．解答题（共6小题，满分70分）17．（2024高二上·上海浦东新·期末）已知平面向量与，且，．（1）求与的夹角；（2）求在方向上的投影．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据题设条件可求与的夹角的余弦值，从而得到夹角的大小.（2）根据投影的定义可求在方向上的投影.【详解】（1）因为，故，而，故，设与的夹角为，则，而，故.（2），故在方向上的投影为.18．（2024高三上·甘肃张掖·阶段练习）在中，内角的对边分别为．若．(1)求角的大小；(2)设是的中点，且，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合和正弦和角公式得，进而求得答案；（2）根据题意得，进而得，解方程得，再求面积即可.【详解】（1）解：因为，所以，由正弦定理边角互化得，因为，所以，因为，所以，因为，所以，（2）解：因为是的中点，所以，，所以，，因为，所以，，即，解得，（舍），所以，.19．（2024·河南·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，可以选择余弦定理进行角化边，进行化简求解；也可以选择正弦定理进行边化角，然后，利用三角恒等变换进行化简求解.（2）根据题意，列出余弦定理，与题中所给式子组成方程，分别求出，即可求解.【详解】（1）方法一：因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以.方法二：由正弦定理得，又，所以，，所以，所以，所以，所以.又，，，所以，，所以或或所以或（舍去）或（舍去），所以，所以.（2）由（1）知，又，，所以，解得或（舍去），所以，，所以的周长为.20．（2024高一下·安徽合肥·阶段练习）已知向量，满足：，，.（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用向量的数量积运算即可求解.(2)利用向量的模的求法，即可求解.(3)利用数量积为0，即可求解.【详解】（1）由题意得，即，∴，∵，∴.（2）.（3）∵，∴，即.∴.21．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，k､t为正实数，.（1）若求k的最大值；（2）是否存在k､t使得？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在.理由见解析.【解析】（1）由化简得 ，再利用基本不等式求解. （2）根据，化简得：，即，再根据 k､t为正实数判断.【详解】（1）因为向量，k､t为正实数，所以.因为所以， ，当且仅当，即 取等号，所以k的最大值；（2）因为，所以，化简得：，即，因为 k､t为正实数，所以不存在k､t，使得.【点睛】方法点睛：向量共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1＋λ2＝成立；若λ1＋λ2＝当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量不共线．22．（2023·江苏南通·三模）芹洋湿地公园是以水为主题的公园，以湿地良好生态环境和多样化湿地景观资源为基础的生态型主题公园.欲在该公园内搭建一个形状为平面凸四边形的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中（单位：百米），（单位：百米），为正三角形.建成后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为科普宣教湿地功能利用、弘扬湿地文化的区域.（1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域面积的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先在中，由余弦定理求出，由勾股定理得到，，求出，即可求出区域的面积；（2）设，，根据余弦定理得到与的关系式，在中，由正弦定理得到，表示出区域的面积，即可求解.【详解】解：（1）在中，∵，由余弦定理得：，∴，∴，，∵为等边三角形，∴，，∴，∴(平方百米)；（2）不妨设，，，∴在中，，在中，由余弦定理得：，，即，∴，在中，由正弦定理得：，即，∴，当且仅当，即时，等号成立，∴面积最大为.
专题6.10 平面向量（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知单位向量与单位向量的夹角为，则（ ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】借助模长与数量积的关系计算即可得.【详解】，故.故选：D.2．（2024高一下·吉林白城·阶段练习）在中，已知，则一定为（ ）A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】D【分析】利用正弦定理边角互化得a,b,c的比值，再利用余弦定理计算最大边的余弦值即可判断【详解】因为，由正弦定理得设其为k,则则c为最大边，则，故C为钝角，故一定为钝角三角形故选：D【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查余弦定理解三角形，重在计算能力考查，是基础题3．（2024高三·安徽·阶段练习）如图，在圆中，是圆心，点在圆上，的值（ ）A．只与圆的半径有关B．只与弦的长度有关C．既与圆的半径有关，又与弦的长度有关D．是与圆的半径和弦的长度均无关的定值【答案】B【分析】根据数量积的定义去求，与的夹角用和去表示，即得结论.【详解】设与的夹角为，在中，.，的值只与弦的长度有关，故选：.【点睛】本题主要考查向量的数量积，结合圆的性质，属于基础题.4．（2024高三上·河南郑州·阶段练习）已知两个单位向量，函数，若当时，取最小值，则的夹角为（ ）A． B． C． D．或【答案】A【解析】设向量的夹角为，得到，根据二次函数的性质，得到时，有最小值，得到，即可求解.【详解】由题意，向量为单位向量，所以，，设向量的夹角为，其中，则，所以，因为函数有最小值，所以，当时，有最小值，此时，因为，可得，即.故选：A.5．（2024高一下·湖南·期中）如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°，，则建筑物AB的高度为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦定理求出，再在直角三角形中求解即可.【详解】在中，根据正弦定理可得，在中，，故选：A6．（2024高一下·湖北·期中）若在中，是边上的点，且满足，=，则=（ ）A． B． C． D．0【答案】D【分析】设BD＝x(x>0)，则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，由cos∠ADC＝－cos∠BDC，利用余弦定理即可求解【详解】，在中AD＝3BD，如图所示设BD＝x(x>0)，则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，易知cos∠ADC＝－cos∠BDC．∴，解得x＝，故AD＝1，AC＝1，∴cosA＝＝0．故选：D．7．（2024·广西·模拟预测）已知和为非零向量，则“”的充分而不必要条件是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先分析，然后根据向量平行、数量积、模等知识对选项进行分析，结合充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】，则，即，A选项，，所以A选项错误.B选项，，则，所以“”是“”的充要条件，B选项错误.C选项，，则，而时，则可能，即“” 是“”的充分而不必要条件，C选项正确.D选项，若，则其中可能，所以D选项错误.故选：C8．（2024高一下·浙江·期末）课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图在锐角中，过点作与垂直的单位向量，因为，所以，由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图直线与的边、分别相交于点、．设，，，．则与的边和角之间的等量关系为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】过点作，取单位向量，由结合平面向量数量积的定义化简可得结果.【详解】如下图所示，过点作，在中，，取单位向量，则，即，，，，所以，，即.故选：A.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2024高一下·湖北荆州·阶段练习）已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ）A． B．与可以作为一组基底C． D．向量在向量上的投影向量为【答案】ACD【分析】根据向量模长运算、基底的定义、与某一向量同向的单位向量、投影向量的求法依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，A错误；对于B，是不共线的一组非零向量，可以作为一组基底，B正确；对于C，，C错误；对于D，向量在向量上的投影向量为，D错误.故选：ACD.10．（23-24高三上·江苏淮安·期中）在中，角所对的边为，有如下判断，其中正确的判断是（ ）A．若，则为等腰直角三角形B．若，则C．若，则符合条件的有两个D．在锐角三角形中，不等式恒成立【答案】BD【分析】A选项，由得到或，得到答案；B选项，由正弦定理得到，从而得到；C选项，，故无解；D选项，为锐角，由余弦定理得到恒成立.【详解】A选项，，，故或，解得或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误；B选项，，由正弦定理得，因为，所以，故，因为，所以，故，，因为，故，B正确；C选项，若，则，则符合条件的有0个，C错误；D选项，为锐角三角形，故为锐角，由余弦定理得，，故不等式恒成立，D正确.故选：BD11．（2023高二下·湖北·期中）给出下列命题，其中正确的选项有（ ）A．非零向量、满足，则与的夹角为B．若，则为等腰三角形．C．等边的边长为，则D．若，，，为锐角，则实数的取值范围是【答案】AB【分析】直接利用向量的线性运算，向量数量积求模、夹角运算对A，B，C，D四个选项逐一计算判断并作答.【详解】对于A，因，，而，，于是与的夹角有，而，则，A正确；对于B，因，则，即，为等腰三角形，B正确；对于C，等边的边长为，，C不正确；对于D，， 时，同向，其夹角为0，即为锐角时且，D不正确.故选：AB12．（2024高一下·河北邢台·阶段练习）平行四边形ABCD中，，，.动点P满足，，下列选项中正确的有（ ）A．时，动点形成的轨迹的长为B．时，的取值范围是C．时，存在使得D．且最大时，在上的投影向量为【答案】ACD【分析】根据图形特征建立平面直角坐标系，通过从而得到动点轨迹方程进而判断A；时在线段上，从而判断B；若，，则，通过解方程进而判断C；通过图形特征以及投影向量的相关概念判断D.【详解】在平行四边形ABCD中，作，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，则，所以，则，对于A，，则，所以，由，得到，所以动点P形成的轨迹的长为，故A正确；对于B，若，则在线段上（含端点），所以的取值范围是，故B错误；对于C，若，，则，所以，所以令，所以符合题意，所以时，存在使得，故C正确；对于D，过点作，若，则在上，又因为最大，所以与重合，作，则在上的投影向量为，由，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：本题考查平面向量综合问题，该类问题常见的处理方法为：（1）基底法：通过基底的建立与表示进行求解；（2）坐标法：通过平面直角坐标系，结合坐标公式进行求解；（3）转化法：通过平方关系的转化求解平面向量问题.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2024高一下·全国·课后作业）已知在中，内角所对的边分别为，且，，则 .【答案】2【解析】把，代入已知等式，可将边之间的关系全部转化为角之间的关系，即可求解.【详解】由题意，在中，，可得，又由正弦定理可得，所以，代入可得.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化和三角形内角和的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．（2024高一·贵州·阶段练习）已知正三角形ABC的边长为2，点P在边BC上，则的最大值为 .【答案】2【分析】以为轴，边上的高为轴，建立坐标系，设利用向量的坐标运算可得答案.【详解】以为轴，边上的高为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则，，则，当时，有最大值 故答案为：215．（2023高三上·山西朔州·期中）如图，在中，已知，，，点为边上一点，满足.点是上一点，满足，则 .【答案】【分析】由已知条件利用向量的线性运算将向量表示为基底的线性组合，然后利用向量的数量积的运算求解.【详解】,, ，故答案为：【点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，关键是选择时当的基底表示与所求线段相关的向量，然后利用向量的运算求解.解决此类问题，应当避免过多的辅助线和技巧，甚至使用正余弦定理进行求解.16．（2024高三·全国·专题练习）如图，港口在港口正东的海里处，小岛在港口的北偏东的方向上，且在港口的北偏西的方向上．一艘科学考察船从港口出发，沿北偏东的方向以海里/小时的速度驶离港口．一艘给养快艇从港口沿方向以海里/小时的速度驶向小岛，在岛装运补给物资后以相同的速度送往科学考察船．已知两船同时出发，补给物资装船时间为小时．给养快艇驶离港口后，能和科学考察船相遇的最少时间为 ．【答案】小时【分析】设快艇驶离港口后，最少要经过小时，在上的点处与考察船相遇，中求得，然后由表示出，在中应用余弦定理可得值．【详解】设快艇驶离港口后，最少要经过小时，在上的点处与考察船相遇，如图，连接，则快艇沿线段、航行， 在中，，，∴， 又，∴，，故快艇从港口到小岛需要小时，在中，，，，由余弦定理知：，解得或，∵，∴，故快艇驶离港口后，最少要经过小时才能和考察船相遇．故答案为：3小时．【点睛】本题考查解三角形的应用，考查方位角的概念．解题时把方位角转化为三角形中的角，然后应用正弦定理或余弦定理列式求解．本题属于中档题．解答题（共6小题，满分70分）17．（2024高二上·上海浦东新·期末）已知平面向量与，且，．（1）求与的夹角；（2）求在方向上的投影．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据题设条件可求与的夹角的余弦值，从而得到夹角的大小.（2）根据投影的定义可求在方向上的投影.【详解】（1）因为，故，而，故，设与的夹角为，则，而，故.（2），故在方向上的投影为.18．（2024高三上·甘肃张掖·阶段练习）在中，内角的对边分别为．若．(1)求角的大小；(2)设是的中点，且，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合和正弦和角公式得，进而求得答案；（2）根据题意得，进而得，解方程得，再求面积即可.【详解】（1）解：因为，所以，由正弦定理边角互化得，因为，所以，因为，所以，因为，所以，（2）解：因为是的中点，所以，，所以，，因为，所以，，即，解得，（舍），所以，.19．（2024·河南·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，可以选择余弦定理进行角化边，进行化简求解；也可以选择正弦定理进行边化角，然后，利用三角恒等变换进行化简求解.（2）根据题意，列出余弦定理，与题中所给式子组成方程，分别求出，即可求解.【详解】（1）方法一：因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以.方法二：由正弦定理得，又，所以，，所以，所以，所以，所以.又，，，所以，，所以或或所以或（舍去）或（舍去），所以，所以.（2）由（1）知，又，，所以，解得或（舍去），所以，，所以的周长为.20．（2024高一下·安徽合肥·阶段练习）已知向量，满足：，，.（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用向量的数量积运算即可求解.(2)利用向量的模的求法，即可求解.(3)利用数量积为0，即可求解.【详解】（1）由题意得，即，∴，∵，∴.（2）.（3）∵，∴，即.∴.21．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，k､t为正实数，.（1）若求k的最大值；（2）是否存在k､t使得？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在.理由见解析.【解析】（1）由化简得 ，再利用基本不等式求解. （2）根据，化简得：，即，再根据 k､t为正实数判断.【详解】（1）因为向量，k､t为正实数，所以.因为所以， ，当且仅当，即 取等号，所以k的最大值；（2）因为，所以，化简得：，即，因为 k､t为正实数，所以不存在k､t，使得.【点睛】方法点睛：向量共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1＋λ2＝成立；若λ1＋λ2＝当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量不共线．22．（2023·江苏南通·三模）芹洋湿地公园是以水为主题的公园，以湿地良好生态环境和多样化湿地景观资源为基础的生态型主题公园.欲在该公园内搭建一个形状为平面凸四边形的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中（单位：百米），（单位：百米），为正三角形.建成后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为科普宣教湿地功能利用、弘扬湿地文化的区域.（1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域面积的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先在中，由余弦定理求出，由勾股定理得到，，求出，即可求出区域的面积；（2）设，，根据余弦定理得到与的关系式，在中，由正弦定理得到，表示出区域的面积，即可求解.【详解】解：（1）在中，∵，由余弦定理得：，∴，∴，，∵为等边三角形，∴，，∴，∴(平方百米)；（2）不妨设，，，∴在中，，在中，由余弦定理得：，，即，∴，在中，由正弦定理得：，即，∴，当且仅当，即时，等号成立，∴面积最大为.
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