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2024-2025 学年高中数学人教A版必修二专题10.2 事件的独立性（3类必考点）
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这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版必修二专题10.2 事件的独立性（3类必考点），文件包含专题102事件的独立性3类必考点人教A版2019必修第二册原卷版docx、专题102事件的独立性3类必考点人教A版2019必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
专题10.2事件的独立性 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1" HYPERLINK \l "_Toc127540782" 【基础知识】 PAGEREF _Toc127540782 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc127540783" 【考点1：独立事件的判断】 PAGEREF _Toc127540783 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc127540784" 【考点2：独立事件的乘法公式】 PAGEREF _Toc127540784 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc127540785" 【考点3：独立事件的实际应用】 PAGEREF _Toc127540785 \h 10【基础知识】【知识点：事件的互相独立性】相互独立事件概率的求法与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：[方法技巧]求相互独立事件概率的步骤第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．此外，也可以从对立事件入手计算概率．【考点1：独立事件的判断】【知识点：独立事件的判断】1．（2024高一下·江苏宿迁··阶段练习）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（ ）A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的概念进行判断即可.【详解】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确；互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误.故选：B.2．（2024高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（ ）A．若是对立事件，则是互斥事件B．若事件相互独立，则与也相互独立C．若事件相互独立，则与不互斥D．若事件互斥，则与相互独立【答案】D【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项.【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确；B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确；C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确；D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误.故选：D3．（2024高一下·江苏扬州·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（ ）.A．A与B对立 B．A与B互斥C． D．A与B相互独立【答案】D【分析】根据题意，列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可得到结果.【详解】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反），显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生，所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误.又因为，而，，所以，，故C错误，D正确.故选：D4．（2024高一下·河北衡水·阶段练习）下列说法正确的是（ ）A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立D．若事件A，B满足，则A与B相互对立【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质逐个分析判断即可.【详解】对于A，当事件A与B互斥时，A与B不一定相互对立，但A与B相互对立时，A与B一定互斥，故“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A错误；对于B，若A，B为两个事件，因为，所以，故B正确；对于C，因为，，若事件A，B相互独立，则，故事件A，B不互斥，若事件A，B互斥，则，，故事件A，B不独立，故C错误；对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，故D错误．故选：B．5．（2024高一上·吉林·阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为i”，其中，“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）A．与B互斥 B． C．与相互独立 D．【答案】D【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可.【详解】对于A，，，与B不互斥，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，与不能同时发生，是互斥事件，不是相互独立事件，故C错误；对于D，，，，故D正确.故选：D.6．（2024高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）（1）事件A与B相互独立⇔.( )（2）若事件A与B相互独立，则事件与事件B也相互独立．( )（3）若事件A与B相互独立，则.( )（4）事件A与B可以相互独立但不互斥．( )【答案】 正确 正确 正确 正确【分析】根据独立事件和互斥事件的概念结合概率的性质逐项分析判断.【详解】（1）根据独立事件的定义可知：事件A与B相互独立⇔，故正确；（2）若事件A与B相互独立，则，可得，所以事件与事件B也相互独立，故正确；（3）若事件A与B相互独立，则，故正确；（4）例如：抛掷两枚硬币，“第一枚正面向上”，“第二枚正面向上”，显然事件A与B相互独立，并且可以同时发生，即事件A与B不互斥，故正确；故答案为：正确；正确；正确；正确.【考点2：独立事件的乘法公式】【知识点：独立事件的乘法公式】1．（2024高二上·浙江舟山·阶段练习）已知事件，且，如果与互斥，那么；如果与相互独立，那么，则分别为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据互斥事件的定义可求，根据独立事件的概率公式求，由此可判断结论.【详解】如果事件与互斥，则，所以.如果事件与相互独立，则事件与也相互独立，所以，，即.故选：C.2．（多选）（2024高二下·四川成都·开学考试）已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（ ）A． B．，为对立事件C．，相互独立 D．【答案】AD【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质直接求解.【详解】，是随机事件，，且，对于A， ，即，，即，又，故，A正确；对于BCD，因为，所以，由于，，则，所以，不是对立事件；又，所以，不是相互独立事件，故BC错误，D正确.故选：AD3．（2024·贵州贵阳·一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件【答案】BCD【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误.【详解】设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，故A错；，故B对；而，故C对；两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.故选：BCD.4．（2024高二上·安徽·开学考试）一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每次从中随机抽取1个球，则（ ）A．若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”和“取到2个白球”是互斥事件B．若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”与“取到2个白球”相互独立C．若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率大于第2次取到红球的概率D．若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是【答案】AD【分析】对于A，根据互斥事件概念判断；对于B，互斥事件不可能是相互独立事件；对于C，有放回地抽取每次抽到红球的概率均相等；对于D，使用对立事件计算概率.【详解】对于A，若不放回地抽取两次，则取到的球不可能是2个红球和2个白球，所以“取到2个红球”和“取到2个白球”是互斥事件，故A正确；对于B，若不放回地抽取两次，记事件A：“取到2个红球”，记事件B：“取到2个白球”，则A与B是互斥事件，所以，而，所以，所以A与B不是相互独立事件，故B错误；对于C，若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率为，第2次取到红球的概率为，所以第1次取到红球的概率等于第2次取到红球的概率，故C错误；对于D，若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是，故D正确.故选：AD.5．（2024高二上·上海·期末）当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 .【答案】/【分析】先确定出现一次偶数或一次奇数的概率，然后求出两次都是偶数和两次都是奇数的概率，最后相加即可.【详解】根据题意可得出现偶数的概率为，出现奇数的概率为，则骰子滚动了两次，两次都是偶数的概率为，两次都是奇数的概率为，则两次出现的数字之和为偶数的概率是.故答案为：6．（2024高一·全国·课堂例题）甲、乙两人练习射击，甲命中的概率为0.8，乙命中的概率为0.7，两人同时射击，且中靶与否独立，求：(1)甲或乙命中的概率；(2)甲中、乙不中的概率；(3)甲不中、乙中的概率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设出事件，利用求解；（2）利用进行求解；（3）利用进行求解.【详解】（1）设“甲命中”，“乙命中”，则“甲或乙命中”，“甲中、乙不中”，“甲不中、乙中”，且，．甲乙中靶与否独立，所以．（2）甲乙中靶与否独立，故．（3）甲乙中靶与否独立，故．7．（2024高二下·湖南常德·期中）甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.(1)求第3回合由乙发球的概率；(2)求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率.【答案】(1)(2).【分析】（1）第3回合由乙发球包含两种情况，分别求出概率相加即可得解；（2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3，分别求出概率相加即可.【详解】（1）由题可知，第3回合由乙发球包含两种情况：第1回合甲赢，第2回合乙赢；第1回合乙赢，第2回合乙赢，所以第3回合由乙发球的概率为.（2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3，甲赢的回合数为3的概率为，甲赢的回合数为2的概率为，所以前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为.8．（2024高三上·河南焦作·阶段练习）新高考实行“”模式，其中“3”为语文，数学，外语这3门必选科目，“1”由考生在物理，历史2门首选科目中选择1门，“2”由考生在政治，地理，化学，生物这4门再选科目中选择2门.已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学，生物至少1门.(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率；(2)假设甲，乙，丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据古典概型计算即可；（2）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可.【详解】（1）用a,b分别表示“选择物理”,“选择历史”,用c,d,e,f分别表示选择“选择化学”,“选择生物”,“选择政治”,“选择地理”,则所有选课组合的样本空间为,则,设M为选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求,则,,所以选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率为；（2）设甲、乙、丙每人选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求分别是事件,,,由题意可知,,相互独立,由（1）可得,记N为甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求,则,因为事件两两互斥,根据互斥事件概率加法公式可得.【考点3：独立事件的实际应用】【知识点：独立事件的实际应用】1．（2024高二上·广东佛山·阶段练习）已知甲、乙两人射击的命中率分别是和．现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】计算出只有甲或只有乙打中猎物的概率，即可得出甲、乙分配猎物的比例.【详解】因为甲、乙两人射击的命中率分别是和，现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，只有甲打中猎物的概率为，只有乙打中猎物的概率为所以，甲、乙分配猎物的比例应该是.故选：A.2．（2024高二上·广东清远·阶段练习）2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件，根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案.【详解】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件，显然为相互独立事件，则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件，所求概率．故选：A．3．（2024·海南·模拟预测）在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（ ）A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05【答案】D【分析】借助相互独立事件的性质与乘法公式计算即可得.【详解】设事件“选物理”，“选化学”，则有，，由该班同学选物理和选化学相互独立，即，则，故，,则.故选：D.4．（2024高三上·湖南·阶段练习）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为，间接法可得.【详解】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”，所以，则.由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立，法一：，且两两互互斥，则.法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即，则.故选：B.5．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.(1)求丙投篮命中的概率；(2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；(3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件，根据独立事件概率公式，即可求解；（2）根据（1）的结果，根据公式，即可求解；（3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解.【详解】（1）设甲投篮命中为事件，乙投篮命中为事件，丙投篮命中为事件，由题意可知，，，，则，,所以丙投篮命中的概率为；（2）甲和乙命中，丙不中为事件，则，所以甲和乙命中，丙不中的概率为；（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件，则,6．（2024高二下·浙江杭州·期中）在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为.(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；(2)依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.【答案】(1)；(2)事件A与事件B不互相独立，证明见解析.【分析】（1）利用事件的相互独立求“至少收到两次1”的概率；（2）利用事件的相互独立性计算，，，利用独立事件的概率公式验证.【详解】（1）重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，因为信号的传输相互独立，故“至少收到两次1”的概率为：.（2）事件A与事件B不互相独立，证明如下：若依次发送1，1， 0， 则三次都没收到正确信号的概率为，故至少收到一个正确信号的概率为；若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为：(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故，若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故，因为，所以事件A与事件B不互相独立.7．（2024·全国·模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立.(1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；(2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由.【答案】(1)选择回答B类取得复赛资格的概率为，选择回答C类问题取得复赛资格的概率为(2)按或顺序回答问题取得复赛资格的概率最大，理由见解析【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式分类讨论计算即可；（2）根据甲回答A，B两类问题正确的概率相同，从，，这三种回答顺序考虑，根据独立事件的概率公式计算比较大小即可.【详解】（1）甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为，甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为，∴所求概率为.（2）由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑，，这三种回答顺序，按顺序回答，取得复赛资格的概率为，按顺序回答，取得复赛资格的概率为，按顺序回答，取得复赛资格的概率为，∵，∴按或顺序回答问题取得复资资格的概率最大.8．（2024·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军.(1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？(2)选手与选手相遇的概率为多少？(3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛．【答案】(1)；(2)(3)方案一种子选手夺冠的概率更大【分析】（1）由题意分析知第一轮选手的对战情况分别为，，，即可得出答案；（2）设事件“选手与选手相遇”，分为对战情况分别为，，，求出其概率，相加即可得出答案.（3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，由独立事件的乘法公式求出、，比较，的大小即可得出答案.【详解】（1）第一轮选手的对战情况分别为，，，故总方案数3；（2）设事件“选手与选手相遇”，当对战为时，，两选手相遇的概率为1；当对战为时，，两选手相遇的概率为；当对战为时，，两选手相遇的概率为；抽到三种对战的概率均为，则.综上可知选手与选手相遇的概率为.（3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，则采用方案一，假设分组为，第一轮两种子选手获胜，则第二轮种子选手一定夺冠：，第一轮选手获胜，第二轮获胜：，第一轮选手获胜，第二轮获胜：，第一轮选手获胜，则种子选手不能获胜，所以；采用方案二：假设分组为，第一轮选手获胜，第二轮获胜：，第一轮选手获胜，第二轮获胜：，第一轮选手获胜，第二轮获胜：，第一轮选手获胜，第二轮获胜：，则，所以，因此方案一种子选手夺冠的概率更大. 定义设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立性质①若事件A与B相互独立， P(AB)＝P(A)P(B)；②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \o(B,\s\up6(－))，eq \o(A,\s\up6(－))与B，eq \o(A,\s\up6(－))与eq \o(B,\s\up6(－))也都相互独立事件A，B相互独立概率计算公式A，B同时发生P(AB)＝P(A)P(B)A，B同时不发生P(eq \o(A,\s\up6(－))eq \o(B,\s\up6(－)))＝P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一个不发生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一个发生P＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－))eq \o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰有一个发生P＝P(Aeq \o(B,\s\up6(－))＋eq \o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \o(B,\s\up6(－)))＋P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)
专题10.2事件的独立性 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1" HYPERLINK \l "_Toc127540782" 【基础知识】 PAGEREF _Toc127540782 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc127540783" 【考点1：独立事件的判断】 PAGEREF _Toc127540783 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc127540784" 【考点2：独立事件的乘法公式】 PAGEREF _Toc127540784 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc127540785" 【考点3：独立事件的实际应用】 PAGEREF _Toc127540785 \h 10【基础知识】【知识点：事件的互相独立性】相互独立事件概率的求法与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：[方法技巧]求相互独立事件概率的步骤第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．此外，也可以从对立事件入手计算概率．【考点1：独立事件的判断】【知识点：独立事件的判断】1．（2024高一下·江苏宿迁··阶段练习）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（ ）A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的概念进行判断即可.【详解】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确；互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误.故选：B.2．（2024高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（ ）A．若是对立事件，则是互斥事件B．若事件相互独立，则与也相互独立C．若事件相互独立，则与不互斥D．若事件互斥，则与相互独立【答案】D【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项.【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确；B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确；C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确；D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误.故选：D3．（2024高一下·江苏扬州·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（ ）.A．A与B对立 B．A与B互斥C． D．A与B相互独立【答案】D【分析】根据题意，列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可得到结果.【详解】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反），显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生，所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误.又因为，而，，所以，，故C错误，D正确.故选：D4．（2024高一下·河北衡水·阶段练习）下列说法正确的是（ ）A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立D．若事件A，B满足，则A与B相互对立【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质逐个分析判断即可.【详解】对于A，当事件A与B互斥时，A与B不一定相互对立，但A与B相互对立时，A与B一定互斥，故“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A错误；对于B，若A，B为两个事件，因为，所以，故B正确；对于C，因为，，若事件A，B相互独立，则，故事件A，B不互斥，若事件A，B互斥，则，，故事件A，B不独立，故C错误；对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，故D错误．故选：B．5．（2024高一上·吉林·阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为i”，其中，“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）A．与B互斥 B． C．与相互独立 D．【答案】D【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可.【详解】对于A，，，与B不互斥，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，与不能同时发生，是互斥事件，不是相互独立事件，故C错误；对于D，，，，故D正确.故选：D.6．（2024高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）（1）事件A与B相互独立⇔.( )（2）若事件A与B相互独立，则事件与事件B也相互独立．( )（3）若事件A与B相互独立，则.( )（4）事件A与B可以相互独立但不互斥．( )【答案】 正确 正确 正确 正确【分析】根据独立事件和互斥事件的概念结合概率的性质逐项分析判断.【详解】（1）根据独立事件的定义可知：事件A与B相互独立⇔，故正确；（2）若事件A与B相互独立，则，可得，所以事件与事件B也相互独立，故正确；（3）若事件A与B相互独立，则，故正确；（4）例如：抛掷两枚硬币，“第一枚正面向上”，“第二枚正面向上”，显然事件A与B相互独立，并且可以同时发生，即事件A与B不互斥，故正确；故答案为：正确；正确；正确；正确.【考点2：独立事件的乘法公式】【知识点：独立事件的乘法公式】1．（2024高二上·浙江舟山·阶段练习）已知事件，且，如果与互斥，那么；如果与相互独立，那么，则分别为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据互斥事件的定义可求，根据独立事件的概率公式求，由此可判断结论.【详解】如果事件与互斥，则，所以.如果事件与相互独立，则事件与也相互独立，所以，，即.故选：C.2．（多选）（2024高二下·四川成都·开学考试）已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（ ）A． B．，为对立事件C．，相互独立 D．【答案】AD【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质直接求解.【详解】，是随机事件，，且，对于A， ，即，，即，又，故，A正确；对于BCD，因为，所以，由于，，则，所以，不是对立事件；又，所以，不是相互独立事件，故BC错误，D正确.故选：AD3．（2024·贵州贵阳·一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件【答案】BCD【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误.【详解】设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，故A错；，故B对；而，故C对；两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.故选：BCD.4．（2024高二上·安徽·开学考试）一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每次从中随机抽取1个球，则（ ）A．若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”和“取到2个白球”是互斥事件B．若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”与“取到2个白球”相互独立C．若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率大于第2次取到红球的概率D．若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是【答案】AD【分析】对于A，根据互斥事件概念判断；对于B，互斥事件不可能是相互独立事件；对于C，有放回地抽取每次抽到红球的概率均相等；对于D，使用对立事件计算概率.【详解】对于A，若不放回地抽取两次，则取到的球不可能是2个红球和2个白球，所以“取到2个红球”和“取到2个白球”是互斥事件，故A正确；对于B，若不放回地抽取两次，记事件A：“取到2个红球”，记事件B：“取到2个白球”，则A与B是互斥事件，所以，而，所以，所以A与B不是相互独立事件，故B错误；对于C，若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率为，第2次取到红球的概率为，所以第1次取到红球的概率等于第2次取到红球的概率，故C错误；对于D，若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是，故D正确.故选：AD.5．（2024高二上·上海·期末）当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 .【答案】/【分析】先确定出现一次偶数或一次奇数的概率，然后求出两次都是偶数和两次都是奇数的概率，最后相加即可.【详解】根据题意可得出现偶数的概率为，出现奇数的概率为，则骰子滚动了两次，两次都是偶数的概率为，两次都是奇数的概率为，则两次出现的数字之和为偶数的概率是.故答案为：6．（2024高一·全国·课堂例题）甲、乙两人练习射击，甲命中的概率为0.8，乙命中的概率为0.7，两人同时射击，且中靶与否独立，求：(1)甲或乙命中的概率；(2)甲中、乙不中的概率；(3)甲不中、乙中的概率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设出事件，利用求解；（2）利用进行求解；（3）利用进行求解.【详解】（1）设“甲命中”，“乙命中”，则“甲或乙命中”，“甲中、乙不中”，“甲不中、乙中”，且，．甲乙中靶与否独立，所以．（2）甲乙中靶与否独立，故．（3）甲乙中靶与否独立，故．7．（2024高二下·湖南常德·期中）甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.(1)求第3回合由乙发球的概率；(2)求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率.【答案】(1)(2).【分析】（1）第3回合由乙发球包含两种情况，分别求出概率相加即可得解；（2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3，分别求出概率相加即可.【详解】（1）由题可知，第3回合由乙发球包含两种情况：第1回合甲赢，第2回合乙赢；第1回合乙赢，第2回合乙赢，所以第3回合由乙发球的概率为.（2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3，甲赢的回合数为3的概率为，甲赢的回合数为2的概率为，所以前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为.8．（2024高三上·河南焦作·阶段练习）新高考实行“”模式，其中“3”为语文，数学，外语这3门必选科目，“1”由考生在物理，历史2门首选科目中选择1门，“2”由考生在政治，地理，化学，生物这4门再选科目中选择2门.已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学，生物至少1门.(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率；(2)假设甲，乙，丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据古典概型计算即可；（2）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可.【详解】（1）用a,b分别表示“选择物理”,“选择历史”,用c,d,e,f分别表示选择“选择化学”,“选择生物”,“选择政治”,“选择地理”,则所有选课组合的样本空间为,则,设M为选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求,则,,所以选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率为；（2）设甲、乙、丙每人选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求分别是事件,,,由题意可知,,相互独立,由（1）可得,记N为甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求,则,因为事件两两互斥,根据互斥事件概率加法公式可得.【考点3：独立事件的实际应用】【知识点：独立事件的实际应用】1．（2024高二上·广东佛山·阶段练习）已知甲、乙两人射击的命中率分别是和．现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】计算出只有甲或只有乙打中猎物的概率，即可得出甲、乙分配猎物的比例.【详解】因为甲、乙两人射击的命中率分别是和，现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，只有甲打中猎物的概率为，只有乙打中猎物的概率为所以，甲、乙分配猎物的比例应该是.故选：A.2．（2024高二上·广东清远·阶段练习）2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件，根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案.【详解】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件，显然为相互独立事件，则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件，所求概率．故选：A．3．（2024·海南·模拟预测）在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（ ）A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05【答案】D【分析】借助相互独立事件的性质与乘法公式计算即可得.【详解】设事件“选物理”，“选化学”，则有，，由该班同学选物理和选化学相互独立，即，则，故，,则.故选：D.4．（2024高三上·湖南·阶段练习）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为，间接法可得.【详解】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”，所以，则.由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立，法一：，且两两互互斥，则.法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即，则.故选：B.5．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.(1)求丙投篮命中的概率；(2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；(3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件，根据独立事件概率公式，即可求解；（2）根据（1）的结果，根据公式，即可求解；（3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解.【详解】（1）设甲投篮命中为事件，乙投篮命中为事件，丙投篮命中为事件，由题意可知，，，，则，,所以丙投篮命中的概率为；（2）甲和乙命中，丙不中为事件，则，所以甲和乙命中，丙不中的概率为；（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件，则,6．（2024高二下·浙江杭州·期中）在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为.(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；(2)依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.【答案】(1)；(2)事件A与事件B不互相独立，证明见解析.【分析】（1）利用事件的相互独立求“至少收到两次1”的概率；（2）利用事件的相互独立性计算，，，利用独立事件的概率公式验证.【详解】（1）重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，因为信号的传输相互独立，故“至少收到两次1”的概率为：.（2）事件A与事件B不互相独立，证明如下：若依次发送1，1， 0， 则三次都没收到正确信号的概率为，故至少收到一个正确信号的概率为；若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为：(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故，若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故，因为，所以事件A与事件B不互相独立.7．（2024·全国·模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立.(1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；(2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由.【答案】(1)选择回答B类取得复赛资格的概率为，选择回答C类问题取得复赛资格的概率为(2)按或顺序回答问题取得复赛资格的概率最大，理由见解析【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式分类讨论计算即可；（2）根据甲回答A，B两类问题正确的概率相同，从，，这三种回答顺序考虑，根据独立事件的概率公式计算比较大小即可.【详解】（1）甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为，甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为，∴所求概率为.（2）由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑，，这三种回答顺序，按顺序回答，取得复赛资格的概率为，按顺序回答，取得复赛资格的概率为，按顺序回答，取得复赛资格的概率为，∵，∴按或顺序回答问题取得复资资格的概率最大.8．（2024·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军.(1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？(2)选手与选手相遇的概率为多少？(3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛．【答案】(1)；(2)(3)方案一种子选手夺冠的概率更大【分析】（1）由题意分析知第一轮选手的对战情况分别为，，，即可得出答案；（2）设事件“选手与选手相遇”，分为对战情况分别为，，，求出其概率，相加即可得出答案.（3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，由独立事件的乘法公式求出、，比较，的大小即可得出答案.【详解】（1）第一轮选手的对战情况分别为，，，故总方案数3；（2）设事件“选手与选手相遇”，当对战为时，，两选手相遇的概率为1；当对战为时，，两选手相遇的概率为；当对战为时，，两选手相遇的概率为；抽到三种对战的概率均为，则.综上可知选手与选手相遇的概率为.（3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，则采用方案一，假设分组为，第一轮两种子选手获胜，则第二轮种子选手一定夺冠：，第一轮选手获胜，第二轮获胜：，第一轮选手获胜，第二轮获胜：，第一轮选手获胜，则种子选手不能获胜，所以；采用方案二：假设分组为，第一轮选手获胜，第二轮获胜：，第一轮选手获胜，第二轮获胜：，第一轮选手获胜，第二轮获胜：，第一轮选手获胜，第二轮获胜：，则，所以，因此方案一种子选手夺冠的概率更大. 定义设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立性质①若事件A与B相互独立， P(AB)＝P(A)P(B)；②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \o(B,\s\up6(－))，eq \o(A,\s\up6(－))与B，eq \o(A,\s\up6(－))与eq \o(B,\s\up6(－))也都相互独立事件A，B相互独立概率计算公式A，B同时发生P(AB)＝P(A)P(B)A，B同时不发生P(eq \o(A,\s\up6(－))eq \o(B,\s\up6(－)))＝P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一个不发生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一个发生P＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－))eq \o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰有一个发生P＝P(Aeq \o(B,\s\up6(－))＋eq \o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \o(B,\s\up6(－)))＋P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)
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