2024-2025 学年高中数学人教A版必修二专题10.3 概率（基础巩固卷）

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专题10.3 概率（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2024高二上·福建三明·阶段练习）给出以下三个命题:①将一枚硬币抛掷两次,记事件A:两次都出现正面,事件B:两次都出现反面,则事件A与事件B是对立事件;②在命题①中,事件A与事件B是互斥事件;③在10件产品中有3件是次品,从中任取3件,记事件A:所取3件中最多有2件是次品,事件B:所取3件中至少有2件是次品,则事件A与事件B是互斥事件．其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】命题①是假命题,命题②是真命题,命题③是假命题.对于①,因为抛掷两次硬币,除事件A,B外,还有“第一次出现正面,第二次出现反面”和“第一次出现反面,第二次出现正面”两个事件,所以事件A和事件B不是对立事件,但它们不会同时发生,所以是互斥事件;对于③,若所取的3件产品中恰有2件次品,则事件A和事件B同时发生,所以事件A和事件B不是互斥事件.2．（2024高一下·北京昌平·期末）某产品分为优质品、合格品、次品三个等级. 生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03. 在该产品中任抽一件，则抽得优质品的概率是A．0.28 B．0.72 C．0.75 D．0.97【答案】B【分析】根据对立事件的概率公式，计算求得结果.【详解】根据题意，对该产品抽查一次抽得优质品的概率是，故选B.【点睛】该题考查的是有关随机事件发生的概率的求解问题，在解题的过程中，需要对题意进行分析，得到共有三种情况，其中两种情况的概率已经给出，所以应用对立事件发生的概率公式求得结果.3．（2024高三上·辽宁丹东·期中）将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（    ）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立【答案】B【分析】根据相互独立事件概率公式，即可判断选项.【详解】由题意知，，，，由于，所以甲与丁相互独立．故选：B4．（2024高一下·福建龙岩·期末）刘徽是魏晋时代著名数学家，他给出的阶幻方被称为“神农幻方”.所谓幻方，即把排成的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等.如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则含有4或6的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先列举出所有基本事件，再找出含有4或6的基本事件，由古典概型求解即可.【详解】随机抽取和为15的三个数包含的基本事件为共8个，其中含有4或6的基本事件有共5个，则含有4或6的概率是.故选：C.5．（2024高三上·江西·阶段练习）现有苹果、桃子两种水果．假设苹果、桃子的个数之比为3:1，其中青苹果与红苹果的个数之比为1:1，黄桃与红桃的个数之比为1:2，若从这批水果中随机拿取一个，则该水果为红苹果或红桃的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得从这批水果中任取一个是红苹果的概率，以及红桃的概率，即可求得结果.【详解】设从这批水果中随机拿取一个，该水果为红苹果为事件，该水果为红桃为事件，则，，故从这批水果中随机拿取一个，则该水果为红苹果或红桃的概率是. 故选：C.6．（2024·青海西宁·二模）从2~8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和恰为质数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意结合古典概型运算求解.【详解】从2~8的7个整数中随机取2个不同的数，则有(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(6，8)，(7，8)，共有21种不同的取法，若2个数的和恰为质数，不同的取法有：，，，，，，，，共8种，故所求概率.故选：B.7．（2024·辽宁锦州·一模）在一个排列，，，…，()中，任取两个数，(，且)如果，则称这两个数，为该排列的一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.在排列2，4，3，1，5中任取两数，则这组数是逆序的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意写出从已知5个数中任取两个数的所有基本事件，找出其中是逆序的组合，结合古典概型概率公式即可求出概率.【详解】解：在排列2，4，3，1，5中任取两数，构成排列的基本事件有：，，，，，，，，，，共10个，这组数是逆序包含的基本事件有：，，，，共4个，则这组数是逆序的概率是.故选：B.8．（23-24高一下·四川达州·期末）体重指数等于体重公斤数除以身高米数平方，是常用的衡量人体胖瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表．某公司随机抽取10人并计算出他们的体重指数分别为：16，17.8，18.2，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论错误的是（    ）A．该组数据的中位数是20B．该组数据的平均数为21C．该组数据的方差为20D．从10人中随机抽一人，抽到体重正常的概率为0.5【答案】C【分析】根据数据分别求解中位数，平均数，方差以及概率，可得答案.【详解】因为体重指数分别为：16，17.8，18.2，19，19.7，20.3，21，22，26，30，所以中位数为；平均数为；方差为 ；正常体重的有5人，所以从10人中随机抽一人，抽到体重正常的概率为0.5；综上可得选项ABD正确.故选：C.多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．（2024高一上·江西南昌·期末）下列说法正确的是（    ）A．一名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮一次，命中为必然事件B．随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1C．投掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数和，点数和为2是一个样本点D．试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为【答案】BC【分析】由随机事件以及它的概率范围即可判断AB，由样本点，样本空间的定义即可判断CD.【详解】对于A，他投篮一次，命中为随机事件，故A错误；对于B，随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1，故B正确；对于C，点数和为2当且仅当两枚骰子出现的点数都为1，这是有可能的，故C正确；对于D，试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为，故D错误.故选：BC.10．（2024高二上·江苏南京·阶段练习）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，定义事件：A=“”，B=“xy为奇数”，C=“”，则下列结论错误的是（    ）A．事件A与B互斥 B．事件A与B是对立事件C．事件B与C相互独立 D．事件A与C相互独立【答案】BC【分析】根据对立和互斥事件的定义即可判断AB，根据古典概型以及相互独立事件的乘法公式即可判断CD.【详解】对于，因为，所以与必是一奇一偶，又当为奇数时，与都是奇数，所以事件和不能同时发生，即与互斥，故A正确；对于，因为事件和不能同时发生，但它们可以同时不发生，如，即与不对立，故B不正确；对于的所有可能的结果如下表：，，且，故选项C错误；对于，，则有与相互独立，故D正确.故选：BC11．（2024高二下·江苏常州·期中）4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（    ）A．恰有四支球队并列第一名为不可能事件 B．有可能出现恰有三支球队并列第一名C．恰有两支球队并列第一名的概率为 D．只有一支球队名列第一名的概率为【答案】ABD【分析】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；选项B，举特例说明即可；选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.【详解】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；选项B，其中6场比赛中，依次获胜的可以是，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有种，故只有一支球队名列第一名的概率为，正确.  故选：ABD【点睛】本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（2024高二上·四川眉山·开学考试）从标有1，2，3，4，5的5张纸片中任取2张，则这个随机试验的样本空间中的样本点的个数为 .【答案】10【分析】通过列举法，确定样本空间中样本点的个数.【详解】从标有1，2，3，4，5的5张纸片中任取2张，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种；故答案为：1013．（2024高三下·天津静海·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为 【答案】（石）.【解析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而求得结果.【详解】因为256粒内夹谷18粒，故可得米中含谷的频率为，则1536石中米夹谷约为1536（石）.故答案为：（石）.【点睛】本题考查由样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，属基础题.14．（2024高一下·云南昆明·期末）人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa（假设ai、aa出现的概率相等），B型的基因类型为bi或bb（假设bi、bb出现的概率相等），AB型的基因类型为ab，其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则他们的子女的血型是AB型的概率为 ．【答案】【分析】列举出子女血型的基因类型的可能结果，数出子女血型的基因类型是的结果，进而由古典概型计算公式可得概率.【详解】依题意可得子女血型的基因类型的可能结果为：，共16个，且每个结果发生的可能性都相等，其中型的基因类型有9个，所以，子女血型是的概率为.故答案为：.解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）15．（2024高一·全国·课后作业）某种产品共100件，其中有一等品28件、二等品65件，一等品与二等品都是合格品，其余为不合格品．某人买了这些产品中的1件，问：他买到一等品的概率是多少？买到合格品的概率是多少？【答案】；【分析】利用随机事件的概率求法即可求解.【详解】产品共100件，一等品28件、二等品65件，所以买到一等品的概率， 买到合格品的概率.16．（2024高一·全国·课后作业）从一副张的扑克牌中随机抽取两张，分别求下列事件发生的概率：(1)在放回抽取的情况下两张都是；(2)在不放回抽取情况下，两张都是．【答案】(1)(2)【分析】（1）计算出随机抽一张为的概率，利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）直接利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）解：从一副张的扑克牌中随机抽取一张为的概率为，从一副张的扑克牌中随机抽取两张，在放回抽取的情况下两张都是，第一次和第二次都抽取的概率都为，且这两次抽牌相互独立，故所求概率为.（2）解：从一副张的扑克牌中随机抽取两张，在不放回抽取的情况下两张都是，第一次抽取的概率为，第二次抽取的时候，还有三张，共有张牌，则第二次抽取的概率为，由独立事件的概率乘法可知，所求事件的概率为.17．（2024·新疆阿勒泰·三模）近年来，我国科技成果斐然，北斗三号全球卫星导航系统已开通多年，北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于，实测的导航定位精度都是2~3m，全球服务可用性，亚太地区性能更优．现从地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星中任选两颗进行信号分析．(1)求恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗的概率；(2)求至少选择了一颗倾斜地球同步轨道卫星的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先分别给地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星编号，列举所有可能的情况，以及满足条件的方法种数，利用古典概型，即可求解；（2）根据（1）列举的结果，利用古典概型，即可求解.【详解】（1）记地球静止轨道卫星为：，记倾斜地球同步轨道卫星为，则所有的选择为：记恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗为事件，则包含，所以；（2）记至少选择一颗倾斜地球同步轨道卫星为事件，则包含．所以．18．（2024高三·山西·阶段练习）某校在高三年级学生一次数学考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130~140分数段的人数为2人．(1)请估计一下这组数据的平均数；(2)现根据考试成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成“帮扶学习小组”．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．【答案】(1)（分）(2)【分析】（1）根据频率分布直方图可知，各个小组的频率，再根据平均数的求法即可解出这组数据的平均数．（2）本题是一个等可能事件的概率，可以列举出从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法，满足条件的事件是两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，根据等可能事件的概率公式得到结果．【详解】（1）（分）．（2）设90~140之间的人数是，由130~140数段的人数为2人，可知，解得．第一组共有人，记作、、、；第五组共有2人，记作、从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：，、，、，、，、，、，；，、，、，、，；，、，、，、，；，．共有15种结果，设事件：选出的两人为“黄金搭档组”．若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，故（A）．19．（2024高一上·江西上饶·期末）某市为了了解人们对传染病知识的了解程度，对不同年龄的人举办了一次“防疫抗疫”知识竞赛.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中第一组有6人.(1)求x；(2)估计抽取的x人的年龄的85%分位数；(3)采用样本量比例分配的分层随机抽样从第四､五组中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这2人中至少有1人来自第四组的概率.【答案】(1)(2)38.75(3)【分析】（1）根据频数总数频率计算可得；（2）设分位数为，依题意得到方程，解得即可；（3）按照分层抽样得到第四组抽取4人，记1，2，3，4，第五组抽取2人，记A，B，用列举法一一列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】（1）解：由频率分布直方图可知，第一组的频率为，所以，解得.（2）解：设分位数为a，则，，解得，故分位数的估计值为38.75.（3）解：由频率分布直方图可知第四､五组的抽取比例为2∶1，抽取6人，则第四组抽取4人，记1，2，3，4，第五组抽取2人，记A，B，随机抽取两人，，，，，，，，，，，，，，，，共15种，至少1人来自第四组的有，，，，，，，，，，，，，，共14种，所以至少1人来自第四组的概率为.偏瘦