2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题1.4 空间向量的应用（4类必考点）

这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题1.4 空间向量的应用（4类必考点），文件包含专题14空间向量的应用4类必考点人教A版2019选择性必修第一册原卷版docx、专题14空间向量的应用4类必考点人教A版2019选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
专题1.4 空间向量的应用TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc29559" 【考点1：空间中直线、平面的平行关系】  PAGEREF _Toc29559 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc17115" 【考点2：空间中直线、平面的垂直关系】  PAGEREF _Toc17115 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc25288" 【考点3：空间中的距离】  PAGEREF _Toc25288 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc31927" 【考点4：空间中的角】  PAGEREF _Toc31927 \h 8【考点1：空间中直线、平面的平行关系】【知识点：空间向量法求空间中直线、平面的平行关系】①设分别是直线与的方向向量，则，使得.②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则.③设分别是直线与的法向量，则，使得.1．（2023·高二课时练习）若平面α∥β，则下面选项中可以是这两个平面法向量的是（　　）A． n1=（1，2，3），n2=（−3，2，1）B． n1=（1，2，2），n2=（−2，2，1）C． n1=（1，1，1），n2=（−2，2，1）D． n1=（1，1，1），n2=（−2，−2，−2）2．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线l的方向向量为a=−1,1,1，平面α的法向量为b=2,x2+x,−x，若l//α，则实数x的值为（    ）A．−2 B．±2 C．2 D．±23．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足CP=λCD+μCC1，其中λ=0,1，μ∈0,1．当B1P//平面A1BD时，B1P的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．24．（2023春·河南信阳·高二统考期末）已知平面α的法向量a=1,−2,m，直线l的方向向量n=3,1,−2，若l∥α，则m= ．5．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且PO⊥底面ABCD，AB=BC=12AD=1，∠BAD=∠ABC=π2，E是PD的中点．证明：CE//平面PAB.6．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱ABCD−A1B1C1D1的底面边长1，侧棱长4，AA1中点为E，CC1中点为F．求证：平面BDE//平面B1D1F.  【考点2：空间中直线、平面的垂直关系】【知识点：空间向量法求空间中直线、平面的垂直关系】①设分别是直线与的方向向量，则.②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得.③设分别是直线与的法向量，则.1．（2023·高二课时练习）已知直线l1的方向向量是a=2,−2,x，直线l2的方向向量是b=2,y,−2，若a=3，且l1⊥l2，则x−y的值是（     ）A．-4或0 B．4或1 C．-4 D．02．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线l的方向向量e=1,−1,−2，平面α的法向量n=−12,λ,1，若l⊥α，则λ=（    ）A．−52 B．−12 C．12 D．523．（2023·高二课时练习）设u=−2,2,t，v=6,−4,4分别是平面α,β的法向量.若α⊥β，则t等于（     ）A．3 B．4 C．5 D．64．（2023春·四川乐山·高二期末）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是（    ）A．   B．  C．   D．  5．（2023春·江苏常州·高二统考期中）如图，三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱长均为是2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°，侧面BCC1B1⊥底面ABC，点P在线段A1C1上，且平面B1CP⊥平面ACC1A1，则A1C1PC1= ．  6．（2023·高二校考单元测试）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.证明：  (1)平面A1BD//平面B1CD1；(2)MN⊥平面A1BD.7．（2023·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为BC的中点．(1)在B1B上是否存在一点P，使D1P⊥平面B1AE？(2)在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE？8．（2023·高二课时练习）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P，使B1D⊥平面PAC?【考点3：空间中的距离】【知识点：空间向量法求空间中的距离】已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此.1．（2023春·江西赣州·高二上犹中学校考期末）已知四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是（    ）A．54 B．52 C．22 D．3242．（2022秋·高二课时练习）已知直线l的一个方向向量为m=1,2,−1，若点P−1,1,−1为直线l外一点，A4,1,−2为直线l上一点，则点P到直线l的距离为 .3．（2023·江苏·高二专题练习）已知点A(2,1,2)，若点B(1,0,0)和点C(1,2,2)在直线l上，则点A到直线l的距离为 .4．（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）矩形ABCD中，∠BCA=30°，AC=20，PA⊥平面ABCD，且PA=5，则P到BC的距离为 ．5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AB=2，F为棱PD的中点，点M在PA上，且PM=2MA，则CD的中点E到直线MF的距离是 ．6．（2023·江苏南京·统考二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AB=22，AD=DC=2，如图1．现将△ADC沿对角线AC折成直二面角P−AC−B，如图2，点M在线段BP上．(1)求证：AP⊥CM；(2)若点M到直线AC的距离为255，求BMBP的值．7．（2022秋·高二课时练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，AC∩BD=O，底面ABCD为菱形，边长为2，PC⊥BD，PA=PC，且∠ABC=60°，异面直线PB与CD所成的角为60°.   (1)求证:PO⊥平面ABCD;(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.【考点4：空间中的角】【知识点：空间向量法求空间中的角】①当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角.②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有.③如图①，AB，CD是二面角­l­两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为＝〈eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(CD,\s\up6(→))〉；如图②③，，分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足.1．（2023春·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2，M为棱PC的中点，则异面直线AC，BM所成角的余弦值为（    ）A．22 B．33 C．65 D．662．（2023春·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，则直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为（    ）  A．32 B．33 C．36 D．393．（2023春·江西九江·高二校考期末）如图所示，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=3，BC=1，AD=AA1=3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.4．（浙江省名校协作体2024届高三上学期7月适应性考试数学试题）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥PD．  (1)求证：平行四边形ABCD为矩形；(2)若E为侧棱PD的中点，且平面ACE与平面ABP所成角的余弦值为64，求点B到平面ACE的距离．5．（海南省2023学年高二下学期学业水平诊断（二）数学试题）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是正三角形﹐点D在棱PC上，且BD⊥AC，点E为AC的中点.   (1)证明：D为PC的中点；(2)若PC=2AC=4，求二面角E−BD−C的余弦值.6．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90∘.点D、E、N分别为棱PA、PC、BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.  (1)求证：MN//平面BDE；(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．7．（2023春·贵州六盘水·高二统考期末）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=CC1=2，点M在长方体内（含表面）且满足AM=mAC+nAA1．    (1)当m=1时，证明：C1M//平面B1D1D；(2)当m=1−n时，是否存在点M，使得直线DM与平面ACD1所成角的正弦值为63？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．与的夹角为βl1与l2所成的角为θ范围[0，π]eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))求法