2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题2.2 直线的方程（8类必考点）

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专题2.2 直线的方程TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc13572" 【考点1：点斜式方程】  PAGEREF _Toc13572 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc9811" 【考点2：斜截式方程】  PAGEREF _Toc9811 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc16487" 【考点3：两点式方程】  PAGEREF _Toc16487 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2720" 【考点4：截距式方程】  PAGEREF _Toc2720 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc14042" 【考点5：一般式方程】  PAGEREF _Toc14042 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc29857" 【考点6：直线过定点问题】  PAGEREF _Toc29857 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc19232" 【考点7：两条直线平行的判定及应用】  PAGEREF _Toc19232 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc8578" 【考点8：两条直线垂直的判定及应用】  PAGEREF _Toc8578 \h 19【考点1：点斜式方程】【知识点：点斜式方程】1．（2023秋·高二课时练习）一条直线经过点2,5，倾斜角为45∘，则这条直线的点斜式方程为 ．【答案】y−5=x−2【分析】求出直线的斜率，即可得出所求直线的点斜式方程.【详解】因为所求直线得倾斜角为45∘，所以，该直线的斜率为k=tan45∘=1，又因为该直线过点2,5，所以直线的点斜式方程为y−5=x−2．故答案为：y−5=x−2．2．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）已知直线l与直线2x−y−5=0的倾斜角相等，且直线过点A(3,2)，则直线l的方程为 .【答案】2x−y−4=0【分析】求出直线的斜率，利用点斜式求直线方程即可.【详解】直线l与直线2x−y−5=0的倾斜角相等，可得直线的斜率为2，直线过点A(3,2)，则直线l的方程为y−2=2x−3，即2x−y−4=0．故答案为：2x−y−4=0．3．（2023秋·高二课时练习）已知过定点4,5的直线m的一个方向向量是d=3,2，则直线m的点斜式方程为 ．【答案】y−5=23(x−4)【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，再根据点斜式方程即可求解.【详解】因为直线的一个方向向量d=3,2，所以直线的斜率为23．又直线过点4,5，所以直线的点斜式方程为y−5=23(x−4)．故答案为：y−5=23(x−4)4．（2023秋·高二课时练习）求经过点2,−3，倾斜角是直线y=13x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程．【答案】y+3=3x−2【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合点斜式方程求解即可.【详解】因为直线y=13x的斜率为13=33，所以该直线倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为3，所以所求直线的点斜式方程为y+3=3x−2． 【考点2：斜截式方程】【知识点：斜截式方程】1．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）直线l的斜率为方程x2−2x+1=0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为（    ）A．y=−x+5 B．y=x−5C．y=x+5 D．y=5【答案】C【分析】依题意，由点斜式写出直线的方程.【详解】由题意，方程x2−2x+1=0的根为1，所以k=1，直线l的方程为y=x+5.故选：C.2．（多选）（2022秋·高二课时练习）一次函数y=kx+bk>0，则下列结论正确的有（    ）A．当b>0时，函数图像经过一、二、三象限B．当b0以及b的正负，对选项逐个判断即可；【详解】在一次函数y=kx+b中，若k>0,b>0，则图像经过一、二、三象限；若k>0,b0，函数图像必经过一、三象限，且函数在实数R上恒为增函数；故选:ABCD.3．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）已知点1,−4和−1,0是直线y=kx+b上的两点，则k= b= .【答案】 -2 -2【分析】把点代入直线方程，解方程组即可.【详解】已知点1,−4和−1,0是直线y=kx+b上的两点，则有−4=k+b0=−k+b，解得k=−2b=−2.故答案为：-2；-2.4．（2023·江苏·高二假期作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【答案】(1)y＝2x＋5(2)y＝－33x－2(3)y＝3x＋3或y＝3x－3【分析】（1）由直线的斜截式可得直线方程；（2）由已知求得直线的斜率，再由直线的斜截式可得直线方程．（3）由已知求得直线的斜率和直线在y轴上的截距，再由直线的斜截式求得直线的方程.【详解】（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.（2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－33，故所求直线的斜截式方程为y＝－33x－2.（3）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝3．因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.【考点3：两点式方程】【知识点：两点式方程】1．（2023秋·高二课时练习）经过点A−3,2,B4,4的直线的两点式方程为（    ）A．y−22=x+37 B．y−2−2=x−37C．y+22=x−37 D．y−2x+3=27【答案】A【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解【详解】因为直线经过点A−3,2,B4,4，所以由方程的两点式可得直线方程为y−24−2=x−−34−−3，即y−22=x+37．故选：A2．（2023秋·高二课时练习）直线l过点A(−1,1),B(2,4)，则直线l的方程为（    ）A．y=x−2 B．y=−x−2 C．y=−x+2 D．y=x+2【答案】D【分析】根据直线的两点式方程运算求解.【详解】因为−1≠2,1≠4，则线l的方程为y−14−1=x−−12−−1，整理得y=x+2，所以直线l的方程为y=x+2.故选：D.3．（2023秋·高二课时练习）若直线l经过点A2,−1,B2,7，则直线l的方程为 ．【答案】x=2【分析】根据所给的坐标可判断直线的斜率不存在，从而可求出直线方程.【详解】由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l的斜率不存在，所求的直线方程为x=2．故答案为：x=24．（2023秋·高二课时练习）经过点A2,5，B−3,6的直线在x轴上的截距为 ．【答案】27【分析】先求得经过两点A和B的直线方程，然后求得横截距.【详解】经过两点A2,5和B−3,6的直线方程为y−65−6=x+32+3，即x+5y−27=0，令y=0，得x=27.故答案为：27.5．（2023秋·高二课时练习）思维辨析（对的填正确，错的填错误）（1）过点P1x1,y1和P2x2,y2的直线都可以用方程y−y1y2−y1=x−x1x2−x1表示．( )（2）在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为xa+yb=1．( )（3）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．( )（4）直线y=x在x轴和y轴上的截距均为0．( )【答案】 错误 错误 正确 正确【分析】对于（1），根据两点式方程的条件判断，对于（2），根据截距式方程的条件判断，对于（3），根据截距式方程和两点式方程的条件判断，对于（4），根据截距的定义判断.【详解】（1）错误．当x1=x2或y1=y2时，直线不能用方程y−y1y2−y1=x−x1x2−x表示．（2）错误．当a=0或b=0时，在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线不能用方程xa+yb=1表示．（3）正确．直线的截距式就是直线过a,0,0,b两点的直线的两点式方程的简化形式．（4）正确．直线y=x与坐标轴的交点为0,0，故在x轴和y轴上的截距均为0．故答案为：错误，错误，正确，正确【考点4：截距式方程】【知识点：截距式方程】1．（2023秋·高二课时练习）过点(3,−4)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ）A．y=−x−1 B．y=43x C．y=−43x D．y=−43x或y=−x−1【答案】D【分析】根据直线的截距式方程分析运算，注意讨论截距是否为0.【详解】设直线在x，y轴上的截距分别为a,b，则a=b，若a=b=0，即直线过原点，设直线为y=kx，代入(3,−4)，即−4=3k，解得k=−43，故直线方程为y=−43x；若a=b≠0，设直线为xa+yb=1，代入(3,−4)，即3a−4a=1，解得a=−1，故直线方程为−x−y=1，即y=−x−1；综上所述：直线方程为y=−43x或y=−x−1.故选：D.2．（多选）（2023·高二课时练习）过点A4,1且在两坐标轴上截距相等的直线方程是(　　)A．y=-x+5 B．y=x+5C．y=x4 D．y=-x4【答案】AC【分析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求.【详解】当直线过坐标原点时，直线过点A4,1,k=1−04−0=14,所以直线方程为y=x4;当直线不过坐标原点时，设直线方程为xa+ya=1，代入点A4,1，可得a=5，即y=-x+5.故选:AC.3．（2023秋·高二课时练习）直线x5−y3=1在y轴上的截距为 ．【答案】−3【分析】将直线方程化成截距式的标准形式即可得出结果.【详解】将直线方程x5−y3=1化为x5+y−3=1，由直线的截距式方程可得此直线在y轴上的截距为−3．故答案为：−34．（2023秋·高二课时练习）已知A2,−1、B6,1，则在y轴上的截距是−3，且经过线段AB中点的直线方程为 ．【答案】3x−4y−12=0【分析】求出线段AB的中点坐标，利用截距式可得出所求直线的方程.【详解】因为A2,−1、B6,1，则线段AB的中点为E4,0，又因为所求直线在y轴上的截距为−3，故所求直线方程为x4−y3=1，即3x−4y−12=0.故答案为：3x−4y−12=0.5．（2022秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知直线ax+y−2+a=0在两坐标轴上的截距相等，则实数a= .【答案】1或2【分析】根据给定条件，求出横纵截距，列式计算作答.【详解】依题意，a≠0，因此直线ax+y−2+a=0在x,y轴上的截距分别为2a−1,2−a，于是2a−1=2−a，即a2−3a+2=0，解得a=1或a=2，所以实数a=1或a=2.故答案为：1或26．（2023·高二课时练习）过点(5，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程是 .【答案】x5+y7=1或x5+y3=1【分析】设直线的方程为xa+yb=1，根据条件先求a,再列方程求解即可.【详解】设直线的方程为xa+yb=1，点5,0在直线上，∴a=5.由5−b=2得b=3或b=7，∴所求直线的方程为x5+y7=1或x5+y3=1.故答案为:x5+y7=1 或x5+y3=1.7．（2022秋·高二校考课时练习）过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是 .【答案】2x+y−4=0【分析】设直线的方程为xa+yb=1，根据条件列方程组求解即可.【详解】设直线的方程为xa+yb=1，则2a=1，a+b=6，解得a=2，b=4，则直线的方程为x2+y4=1，即2x+y−4=0.故答案为：2x+y−4=08．（2023秋·高二课时练习）已知直线l1:y=−ax−2a∈R．若直线l1的倾斜角为120°，则实数a的值为 ；若直线l1在x轴上的截距为2，则实数a的值为 ．【答案】 3 −1【分析】由斜率公式得出a=3，令y=0结合题设条件得出实数a的值.【详解】由题意可得tan120°=−a，解得a=3；令y=0，可得x=−2a，即直线l1在x轴上的截距为−2a=2，解得a=−1.故答案为：3；−19．（2023·高二课时练习）过点P(1,2)且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为 ，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为 .【答案】 y=x+1 12【分析】设直线的截距式方程，将点坐标代入求解即可；先求出直线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式求解即可.【详解】当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.可设直线方程为xa+y−a=1，因为直线过P(1,2)，所以1a+2−a=1，解得a=−1，所以直线方程为y=x+1.当直线方程为y=x+1时，与x轴的交点坐标为(−1,0)，与y轴的交点坐标为(0,1)，S=12×1×1=12，故答案为:y=x+1;12.10．（2023·江苏·高二假期作业）求过点A(5,2)，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍的直线l的方程.【答案】2x−5y=0或x+2y−9=0【分析】当直线不过原点时，设直线的方程为x2a+ya=1，把点A(5,2)代入求得a的值，即可求得直线方程．当直线过原点时，直线的方程可设为y=kx，把点A(5,2)代入求得k的值，即可求得直线方程．综合可得答案．【详解】当直线不过原点时，设直线的方程为x2a+ya=1，把点A(5,2)代入可得52a+2a=1，解得a=92，此时，直线方程为x+2y−9=0．当直线过原点时，直线的方程为y=kx，把点A(5,2)代入可得，∴k=25，即2x−5y=0，综上可得，满足条件的直线方程为：2x−5y=0或x+2y−9=0．11．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为锐角，并且与坐标轴围成的三角形的面积为6，周长为12，求直线l的方程．【答案】直线l的方程为x3−y4=1或−x3+y4=1或x4−y3=1或−x4+y3=1．【分析】设直线的截距，根据题意列式求解a,b，再利用直线的截距式方程运算求解.【详解】设直线l在x，y的截距分别为a,b，由题意可得12a×b=6a+b+a2+b2=12，解得a=3b=4或a=4b=3，又因为直线l的倾斜角为锐角，则直线l的斜率k=−ba>0，即ab0,b>0可判断；④先求斜率可得倾斜角.【详解】①将P1,2代入x+y−3=0得1+2−3=0，故正确；②当x=0时，y=−2，故在y轴的截距是−2，故错误；③由x−y+4=0得y=x+4，故k=1>0，b=4>0故其图像不经过第四象限，故正确；④x−3y+1=0的斜率为33，故倾斜角为30∘，故正确；故选：C3．（多选）（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考期中）若ac>0且bc0且bc0且bc0,−ab>0，又直线ax+by+c=0可化为y=−abx−cb，斜率为−ab>0，在y轴截距为−cb>0，因此直线过第一，二，三象限，不过第四象限.故选：ABC4．（多选）（2022秋·高二课时练习）已知直线l的方程为ax+by−2=0，则下列判断正确的是（    ）A．若ab>0，则直线l的斜率小于0B．若b=0,a≠0，则直线l的倾斜角为90°C．直线l可能经过坐标原点D．若a=0,b≠0，则直线l的倾斜角为0°【答案】ABD【分析】根据题意，由直线的斜率即可判断A，将b=0,a≠0代入即可判断B，将原点坐标代入即可判断C，将a=0,b≠0即可判断D.【详解】对于A选项，若ab>0，则直线l的斜率−ab0)，由直线过C(2,1)得2a+1b=1，由基本不等式得：2a+1b≥22ab，即1≥22ab，解得：ab≥8，当且仅当a=4，b=2时取等号，此时l的方程为x4+y2=1，即x+2y−4=0；（2）因为直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、点B，所以直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y−1=k(x−2)(k