2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题2.5 直线与圆的位置关系（4类必考点）

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专题2.5 直线与圆的位置关系TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc9359" 【考点1：直线与圆的位置关系的判断及求参】  PAGEREF _Toc9359 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc29207" 【考点2：直线与圆位置关系中的最值问题】  PAGEREF _Toc29207 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc23739" 【考点3：直线与圆的交点坐标、弦长】  PAGEREF _Toc23739 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc25812" 【考点4：圆的切线方程、切点坐标、切线长】  PAGEREF _Toc25812 \h 16【考点1：直线与圆的位置关系的判断及求参】【知识点：直线与圆的位置关系的判断及求参】①直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．②两种研究方法1．（2023秋·高二课时练习）直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的位置关系是（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】A【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系判断即可.【详解】圆x2+y2=100的圆心0,0，半径为r=10，因为圆心到直线4x+3y=40的距离d=|4×0+3×0−40|42+32=8<10=r，所以直线与圆相交．故选：A.2．（2023春·贵州·高二校联考期末）圆C：x2+y2+4x−2y+1=0与直线l：x4−y3=0的位置关系为（    ）A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定【答案】A【分析】由圆心到直线的距离等于半径可判断相切.【详解】由x2+y2+4x−2y+1=0得x+22+y−12=4，所以圆C的圆心坐标为−2,1，半径为2，由x4−y3=0得3x−4y=0，圆心到直线l的距离为：−2×3−4×132+42=2，故圆C与直线l相切，故选：A3．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）已知直线l:y=22x+b与圆C:x−12+y+12=9相切，则实数b=（    ）A．8−22或−10−22 B．−11或9 C．11或−9 D．−8+22或10+22【答案】A【分析】由圆心到直线的距离等于半径列出方程，求出b.【详解】依题知圆心C1,−1，半径为3，则22−−1+b(22)2+(−1)2=3，解得b=8−22或b=−10−22.故选：A.4．（2023春·陕西·高二校联考期中）已知直线l:2x+y−4=0与x轴，y轴分别交于P，Q两点，点A是圆C:(x−3)2+(y−3)2=r2(r>0)上的动点；若△APQ的面积的取值范围是52,152，则r=（    ）A．54 B．52 C．253 D．354【答案】B【分析】利用点线距离公式得到圆心C到直线l的距离，再利用△APQ面积的取值范围得到动点A到直线l距离的取值范围，从而得到关于r的方程组，解之即可得解.【详解】由题意知P(2,0),Q(0,4)，圆心C(3,3)，所以|PQ|=25，点C到直线l的距离d=|2×3+3−4|5=5，设点A到直线l的距离为ℎ，S△APQ=12×|PQ|×ℎ=5ℎ，因为S△APQ∈52,152，所以ℎ∈52,352，所以直线l与圆C相离，则ℎ∈[d−r,d+r]，即ℎ∈[5−r,5+r]，所以5−r=525+r=352，解得r=52.故选：B.5．（多选）（2023秋·高二课时练习）直线x−y+m=0与圆x2+y2−2x−1=0有两个不同的交点的充分不必要条件可以是（　　）A．04∴ 圆心 (0,0) 到直线 ax+by=4 的距离: d=4a2+b2<2=r, ∴ 直线 ax+by=4 与圆 O 相交.故答案为：相交.8．（2023秋·高二单元测试）已知圆C经过两点P−1,−3，Q−3,1，且圆心在直线x+2y−4=0上，直线l的方程为k−1x+2y+5−3k=0.(1)求圆C的方程；(2)证明：直线l与圆C恒相交．【答案】(1)x2+y2−4x−2y−20=0(2)证明见解析【分析】（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，利用待定系数法可得答案；（2）由直线方程特点可得直线l过定点M3,−1，且M在圆内可判断直线和圆的位置关系.【详解】（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由条件得1+9−D−3E+F=09+1−3D+E+F=0−D2+2×−E2−4=0，解得D=−4E=−2F=−20，所以圆C的方程为x2+y2−4x−2y−20=0；（2）由k−1x+2y+5−3k=0，得kx−3−x−2y−5=0，令x−3=0x−2y−5=0得x=3y=−1，即直线l过定点M3,−1，由32+−12−4×3−2×−1−20<0，知点M3,−1在圆内，所以直线l与圆C恒相交．【考点2：直线与圆位置关系中的最值问题】【知识点：直线与圆位置关系中的最值问题】1．（2023春·海南·高二统考学业考试）若直线l：kx−y+3−2k=0与圆C：x2+y2−6x−4y+4=0交于A，B两点，且直线l不过圆心C，则当△ABC的周长最小时，实数k=（    ）A．−1 B．12 C．1 D．2【答案】C【分析】先求出直线所过的定点，结合圆的性质可得AB最小时，周长最小，进而根据垂直关系可得答案.【详解】直线l：kx−y+3−2k=0的方程可化为kx−2−y+3=0，∴直线l过定点D2,3，又∵22+32−6×2−4×3+4=−7<0，∴点D在圆C内．由圆的性质可知当CD⊥l时，AB最小，此时△ABC的周长最小，又C3,2，D2,3，∴kCD=−1，则k=1．故选：C.2．（2022秋·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）过点P12,1的直线l与圆C:x−12+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为（    ）A．2x+y+2=0 B．2x+y−2=0 C．2x−4y+3=0 D．2x+4y−3=0【答案】C【分析】可证明当CP⊥l时∠ACB最小，故可求直线l的方程.【详解】C1,0,R=2.取AB的中点为M，连接CM，则CM⊥l且CM≤CP，而cos∠ACB2=CM2≤CP2，当且仅当CP⊥l时等号成立，故∠ACB最小时，CP⊥l，此时kCP=1−012−1=−2，故直线l的斜率为12，故直线l的方程为：y=12x−12+1，即2x−4y+3=0，故选：C.3．（2023•秦州区校级期中）已知直线l：x﹣y+4＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，则C上各点到l的距离的最小值为 　22−2　．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，减去半径得答案．【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，则圆心坐标为（1，1），半径为2，∵圆心（1，1）到直线l：x﹣y+4＝0的距离d=|1−1+4|2=22＞2，∴C上各点到l的距离的最小值为22−2．故答案为：22−2．4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）点P在圆C：x−42+y−42=9上，A3,0，B0,1，则∠PBA最小时，PB= .【答案】4【分析】数形结合，易得当直线PB与圆C相切时∠PBA最小，求得此时PB.【详解】如图所示，由题意圆C：x−42+y−42=9的圆心C4,4，半径r=3，当直线PB与圆C相切时，即P为切点时，∠PBA最小，此时PB与x轴平行，P4,1，PB=4.故答案为：4.5．（2023·高二课时练习）设圆C：x−32+y−12=4，直线l：x－y－5＝0，则圆C上到直线l距离最近的点的坐标和最远的点的坐标分别为 ．【答案】最近点3+2,1−2；最远点3−2,1+2【分析】先判断直线l和圆C的位置关系，然后求得过圆C的圆心且与直线l垂直的直线方程，通过联立方程来求得最近点和最远点的坐标.【详解】圆C的圆心为C3,1，半径r=2，圆心C3,1到直线l的距离3−1−52=6−32>2，所以直线l与圆C相离.直线l的斜率为1，所以过C3,1且与直线l垂直的直线方程为y−1=−x−3,y=−x+3+1，由y=−x+3+1x−32+y−12=4解得x=3+2y=1−2或x=3−2y=1+2，结合图象可知：最近点3+2,1−2；最远点3−2,1+2.故答案为：最近点3+2,1−2；最远点3−2,1+26．（2023·全国·高二假期作业）已知圆C:x2+y2−2x=0，直线l:x+y+1=0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当PC⋅AB最小时，直线PC的方程为 ．【答案】x−y−1=0【分析】由切线性质得PC是AB的垂直平分线，AC⊥PA，由此得到PC⋅AB=2PA，又PA=PC2−1，故当直线PC⊥l时，PC最小，即PC⋅AB最小，从而利用直线PC与直线l垂直求得直线PC的方程.【详解】圆C的标准方程为x−12+y2=1，圆心为C1,0，半径为r=1，所以圆心C到直线l:x+y+1=0的距离为d=1+0+11+1=2>r，则直线l与圆C相离，由切线性质得，PC是AB的垂直平分线，AC⊥PA，所以PC⋅AB=4S△PAC=4×12×PA⋅AC=2PA，而PA=PC2−1，则当直线PC⊥l时，PC最小，即PA最小，即PC⋅AB最小，此时，由于直线l:x+y+1=0，所以可设直线PC:x−y+c=0，又因为C1,0，所以1−0+c=0，则c=−1，故直线PC:x−y−1=0.故答案为：x−y−1=0..7．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知圆C:x2+y2−2x−2y=0，点P在直线x+y+2=0上运动，过P作C的两条切线，切点分别为A、B，当四边形PACB的面积最小时，∠ACB= ．【答案】120∘【分析】证明出Rt△PAC≌Rt△PBC，计算出PC的最小值，可得出PA的最小值，可得出四边形PACB的面积最小值，可求得∠APC的值，进而可得出∠ACB的值.【详解】如图所示：由圆的几何性质可得PB⊥BC，PA⊥AC，由切线长定理可得PA=PB，又因为AC=BC，PC=PC，所以，Rt△PAC≌Rt△PBC，圆C的标准方程为x−12+y−12=2，圆心为C1,1，半径为r=2，所以，PA=PC2−AC2=PC2−2，当PC与直线x+y+2=0垂直时，PC取最小值，且PCmin=42=22，所以，PAmin=222−2=6，所以，S四边形PACB=2S△PAC=PA⋅AC≥23，此时∠BPC=∠APC=30∘，因此，∠ACB=2∠ACP=290∘−∠APC=120∘.故答案为：120∘.【考点3：直线与圆的交点坐标、弦长】【知识点：直线与圆的交点坐标、弦长】1．圆弦长问题的两个主要考查角度(1)已知直线与圆的方程求圆的弦长．(2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等．2．求解弦长问题的两个方法1．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知圆C：x−12+y2=4，直线l：y=x+1被圆C截得的弦长为（    ）A．2 B．3 C．22 D．23【答案】C【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦，弦心距和半径的关系可求得结果.【详解】圆C：x−12+y2=4的圆心为C(1,0)，半径r=2，所以圆心C(1,0)到直线y=x+1的距离为d=1−0+12=2，所以直线l：y=x+1被圆C截得的弦长为24−2=22，故选：C.2．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）直线2x+y−2=0与曲线x+y−1x2+y2−4=0的交点个数为（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数.【详解】因为曲线x+y−1x2+y2−4=0就是x+y−1=0或x2+y2=4，表示一条直线与一个圆，联立2x+y−2=0x+y−1=0，解得x=1y=0，即直线2x+y−2=0与直线x+y−1=0有一个交点1,0；此时，x2+y2−4没有意义.联立2x+y−2=0x2+y2=4，解得x=0y=2或x=85y=−65，所以直线2x+y−2=0与x2+y2=4有两个交点.所以直线2x+y−2=0与曲线x+y−1x2+y2−4=0的交点个数为2个.故选：B3．（2022秋·江苏淮安·高二统考期中）当圆C:x2+y2−2y−80=0截直线l:mx−2y−m+6=0所得的弦长最短时，实数m=（   ）A．−2 B．−1 C．2 D．1【答案】B【分析】求出直线l所过定点A的坐标，分析可知，当AC⊥l时，直线l截圆C所得弦长最短，根据两直线垂直时，斜率的关系可求得实数m的值.【详解】将直线l的方程变形为mx−1−2y−3=0，由x−1=0y−3=0可得x=1y=3，所以，直线l经过定点A1,3，圆C的标准方程为x2+y−12=81，圆心为C0,1，因为12+3−12<81，即点A在圆C内，故当AC⊥l时，圆心C到直线l的距离取最大值，此时，直线l截圆C所得弦长最短，kAC=3−11−0=2，直线l的斜率为m2，所以，2×m2=−1，解得m=−1.故选：B.4．（2023·广东深圳·统考二模）若过点M2,1的直线l与圆O:x2+y2=8交于A,B两点，则弦AB最短时直线l的方程为（    ）A．2x−y−3=0 B．x+y−3=0C．x+2y−4=0 D．2x+y−5=0【答案】D【分析】根据题意，由条件可知，当AB最短时，直线l⊥OM，即可得到kl，从而得到结果.【详解】  当AB最短时，直线l⊥OM，所以kl⋅kOM=−1.又kOM=12，所以kl=−2，所以l的方程为y−1=−2x−2，即2x+y−5=0.故选：D5．（多选）（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知圆C:x+12+y−22=25，直线l:3m+1x+m+1y−5m−3=0，则（    ）A．直线l与圆C相交B．直线l过定点（2，1）C．圆C被y轴截得的弦长为46D．圆C被直线l截得的弦长最短时，直线l的方程为x=1【答案】ACD【分析】先考虑直线过定点，再判断该点在圆的内部，故可判断AB，利用弦长公式结合圆心到直线的距离可判断D的正误，在圆的方程中令x=0后可求圆C被y轴截得的弦长，故可判断B的正误.【详解】3m+1x+m+1y−5m−3=0可整理为m3x+y−5+x+y−3=0，令3x+y−5=0x+y−3=0，则x=1y=2，故直线l过定点1,2，故B错误.因为1+12+2−22<25，故定点1,2在圆的内部，故直线l与圆C相交，故A正确.在圆的方程中令x=0，则y−22=24即y=2±26，故圆C被y轴截得的弦长为46，故C正确.因为直线l过定点1,2，该定点与圆心的距离为d1=−22+02=2，故圆心到直线l的距离d≤d1=2，故圆C被直线l截得的弦长为225−d2≥225−22=221，当且仅当d=d1=2时等号成立，此时定点与圆心连线的斜率为0，该连线垂直于直线l，故直线l的方程为x=1，故D正确.故选：ACD.6．（多选）（2023秋·浙江杭州·高二杭十四中校考期末）已知点P在圆x−52+y−52=16上，点A4,0、B0,3，则（    ）A．点P到直线AB的距离小于9 B．点P到直线AB的距离大于1C．当∠PBA最小时，PB=13 D．当∠PBA最大时，PB=4【答案】AC【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误．【详解】圆x−52+y−52=16的圆心为M5,5，半径为4，直线AB的方程为x4+y3=1，即3x+4y−12=0，圆心M到直线AB的距离为3×5+4×5−1232+42=235，所以，点P到直线AB的距离的最大值为235+4=435<9，点P到直线AB的距离的最小值为235−4=35<1，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当∠PBA最大或最小时，PB均与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，BM=5−32+5−02=29，PM=4，由勾股定理可得BP=BM2−MP2=29−16=13，C选项正确，D选项错误，故选：AC．7．（2023·高二课时练习）求过直线2x+y+4=0和圆(x+1)2+(y−2)2=4的交点，并且面积最小的圆的方程．【答案】(x+135)2+(y−65)2=45【分析】由已知条件，所求圆一定是以直线2x+y+4=0被圆(x+1)2+(y−2)2=4截得的弦为直径的圆，联立直线与圆的方程求出两个交点P和Q的坐标，所求圆的半径为线段PQ的的一半，线段PQ的中点即所求圆的圆心，最后根据圆的标准方程求出答案即可.【详解】由已知条件，所求圆一定是以直线2x+y+4=0被圆(x+1)2+(y−2)2=4截得的弦为直径的圆，由方程组{2x+y+4=0(x+1)2+(y−2)2=4，解得直径的两端点分别为P(−3,2)，Q(−115,25)，线段PQ的中点为M(−135,65)即所求圆的圆心，|PQ|=455，则r=255，∴所求圆的方程为(x+135)2+(y−65)2=45.8．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知圆C：(x−3)2+y2=25，直线l：(m+1)x+(m−1)y−2=0(m是参数)，当直线l被圆C截得的弦长最小时m的值为： ．【答案】3【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，由直线方程可得直线恒过定点P1,−1，由垂径定理知当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长的最小值．由kl⋅kPC=−1即可求解.【详解】圆C：(x−3)2+y2=25的圆心坐标为C3,0，半径为5．由直线l：m+1x+m−1y−2=0，得mx+y+x−y−2=0，联立x+y=0x−y−2=0，解得x=1y=−1．∴直线l恒过定点P1,−1，又(1−3)2+12=5<25，∴点P1,−1在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．易知直线PC的斜率为kPC=12，由kl⋅kPC=−m+1m−1⋅12=−1，解得m=3，所以此时m=3.故答案为：3.9．（2023·广东深圳·校考一模）已知点P在圆x−32+y−22=5上，点A1,0,B0,1,当∠PBA最小时，tan∠PBA= ．【答案】13【分析】数形结合，易得当直线PB与圆C相切时∠PBA最小，求得此时tan∠PBA.【详解】如图所示，由题意圆C：x−32+y−22=5的圆心C3,2，半径r=5，当直线PB与圆C相切时，即P为切点时，∠PBA最小，此时BD与x轴平行，D3,1，∵BC=10,CP=5,CP⊥BP,∴BP=5,∠CBP=π4,∵A1,0,B0,1,∠OBA=π4,∠OBD=π2,∠CBO=∠OBA+∠PBA+∠CBP=π4+∠PBA+π4=π2+∠CBD,∴∠PBA=∠CBD,CD=1,BD=3,CD⊥BD.tan∠PBA=tan∠CBD=CDBD=13故答案为：13.10．（2023春·江西抚州·高二统考期中）已知点P在圆(x−4)2+(y−5)2=16上，点A4,0，B0,2．(1)求点P到直线AB距离的最大值；(2)当∠PBA最小时，求线段PB的长．【答案】(1)25+4(2)3【分析】（1）根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径和求解即可；（2）由题意当直线PB与圆相切时，∠PBA最小，再根据勾股定理求解即可.【详解】（1）直线AB的方程为y=−12x+2，即x+2y−4=0，圆心到直线AB的距离为d=|4+10−4|5=25>4，故圆与直线相离，点P到直线AB距离的最大值为25+4；（2）当直线PB与圆相切时，∠PBA最小，由勾股定理可得，此时线段PB的长为42+5−22−16=3  【考点4：圆的切线方程、切点坐标、切线长】【知识点：圆的切线方程、切点坐标、切线长】1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法1．（2023春·陕西咸阳·高二统考期末）设O为原点，点P在圆C:(x−2)2+(y−1)2=1上，若直线OP与圆C相切，则OP=（    ）A．2 B．23 C．13 D．14【答案】A【分析】由题意利用勾股定理即可求解．【详解】由圆C的方程可得C2,1，故OC2=22+12=5，O为原点，P在圆C:(x−2)2+(y−1)2=1上，OP与圆C相切，则OP=OC2−PC2=5−1=2.  故选:A．2．（2023春·广东江门·高二统考期末）若直线x−y+3=0与圆x2+y2−2x+2−a=0相切，则a=（    ）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答.【详解】圆(x−1)2+y2=a−1 (a>1)的圆心(1,0)，半径a−1，依题意，|1−0+3|12+(−1)2=a−1，解得a=9，所以a=9.故选：A3．（多选）（2023春·云南临沧·高二云南省凤庆县第一中学校考期中）已知圆M:(x−1)2+(y−1)2=4，直线l:x+y+2=0,P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA､PB，切点为A､B，则下列各选项正确的是（    ）A．四边形MAPB面积的最小值为4B．四边形MAPB面积的最大值为8C．当∠APB最大时，PA=2D．当∠APB最大时，直线AB的方程为x+y=0【答案】ACD【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、正方形的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解.【详解】由圆的几何性质可得MA⊥PA,MB⊥PB，圆M1,1，半径为2，如下图所示：  对于A，由切线长定理可得PA=PB，又因为MA=MB，所以△PAM≅△PBM，所以四边形MAPB的面积S=2S△PAM=PA⋅AM=2PA，因为PA=MP|2−MA|2=|MP|2−4，当MP⊥l时，MP取最小值，且|MP|min=1+1+22=22，所以四边形MAPB的面积的最小值为S=2×(22)2−4=4，故A正确；对于B，因为MP无最大值，即PA无最大值，故四边形MAPB面积无最大值，故B错误；对于C，因为∠APM为锐角，∠APB=2∠APM，且sin∠APM=AMMP=2MP，故当MP最小时，∠APM最大，此时∠APB最大，此时PA=2，故C正确；对于D，由上可知，当∠APB最大时，PA=PB=MA=MB=2且∠PAM=90∘，故四边形MAPB为正方形，且有MP⊥l，直线l:x+y+2=0,M1,1，则MP的方程为y=x，联立y=xx+y+2=0，可得x=−1y=−1，即点P−1,−1，由正方形的几何性质可知，直线AB过线段MP的中点O0,0，此时直线AB的方程为y=−x，故D正确.故选：ACD.4．（2022秋·江苏南京·高二校考阶段练习）过点P1,−2引圆x2+y2+2x−2y−2=0切线，则切线长是 .【答案】3【分析】根据切线的垂直关系即可由勾股定理求解.【详解】把圆的方程化为标准方程得：(x+1)2+(y−1)2=4，得到圆心A坐标为−1,1，圆的半径r=2，∵PA=(1+1)2+(−2−1)2=13，∴切线长是PA2−r2=13−4=3，故答案为：35．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知圆C：x2+y2+2x−2y=0，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则直线l的方程为 ．【答案】y=x，或x+y−2=0，或x+y+2=0【分析】对切线的是否过原点进行分类讨论，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出参数的值，即可得出直线的方程.【详解】圆C的标准方程为x+12+y−12=2，圆心为C−1,1，半径为2，因为直线l的横纵截距相等，所以直线l的斜率存在，当直线l过原点时，设直线l的方程为y=kx，因为直线l与圆C相切，此时圆心到直线l的距离等于半径，可得−k−11+k2=2，解得k=1，所以切线方程为y=x；当直线l不过原点时，设直线l的方程为x+y=a，因为直线l与圆C相切，此时圆心到直线l的距离等于半径，可得−1+1−a1+1=2，解得a=±2，所以切线方程为x+y−2=0或x+y+2=0，综上所述，直线l的方程为y=x，或x+y−2=0，或x+y+2=0.故答案为：y=x，或x+y−2=0，或x+y+2=0.6．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线y=x上的点向圆x−42+y+22=1引切线，则切线长的最小值为 .【答案】17【分析】切点与圆心的连线垂直切线，利用勾股定理，切线段长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解.【详解】圆x−42+y+22=1的圆心为C4,−2,r=1，在直线y=x上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接PC,AC．在Rt△PAC中，CA=r=1．要使PA最小，则PC应最小．又当PC与直线垂直时，PC最小，其最小值为4+22=32．故PA的最小值为322−12=17．  故答案为：17.7．（2022秋·福建莆田·高二校联考期末）求圆Q:x2+y2−4x=0在点P(1,3)处的切线方程.【答案】x−3y+2=0【分析】根据点P(1,3)在圆Q上，求得可得kPQ=−3，得到切线斜率k=33，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由圆的方程Q:x2+y2−4x=0，又由点P(1,3)在圆Q上，可得kPQ=−32−1=−3，所以切线斜率k=33，所以切线方程为y−3=33(x−1)，即x−3y+2=0.8．（2022秋·浙江温州·高二校联考期中）已知圆C：x2+y2−4x+2y−4=0．(1)过点P2,2作圆C的切线l，求切线l的方程；(2)过点Q0,2的直线m与圆C交于A，B两点，AB=25，求直线m的方程．【答案】(1)y=2(2)5x+12y−24=0或x=0．【分析】（1）得到圆C的方程，从而得到P2,2在圆C上，且kCP不存在，从而得到切线l的方程；（2）直线m斜率存在时，设出m为y=kx+2，根据弦长得到圆心C到直线m的距离，列出方程，求出k，得到方程，考虑直线m斜率不存在时，得到x=0，得到答案.【详解】（1）因为圆C：x−22+y+12=9，圆心C2,−1，半径r=3．因为点P2,2满足圆C的方程，所以点P在圆C上，因为kCP不存在，所以圆C在点P处的切线斜率为0，所以，切线l的方程为y＝2；（2）当直线m斜率存在时，设m为y=kx+2，即：kx−y+2=0．因为圆心C到直线m的距离d=r2−52=2，即2k+3k2+1=2⇒k=−512，所以直线m的方程为5x+12y−24=0；当直线m斜率不存在时，m为x＝0也符合条件；综上，所求为5x+12y−24=0或x=0．9．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知圆C经过点A(1,2)和B(5,−2)，且圆C关于直线2x+y=0对称．(1)求圆C的方程；(2)过点D(−3,1)作直线l与圆C相切，求直线l的方程．【答案】(1)(x−1)2+(y+2)2=16；(2)x=−3和7x−24y+45=0.【分析】（1）由题意可知圆心为AB中垂线与2x+y=0的交点，计算圆心再求半径，由圆的标准方程表示即可；（2）分类讨论，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径计算即可.【详解】（1）∵A(1,2)，B(5,−2)，故AB的中点坐标为3,0，kAB=−2−25−1=−1，∴AB的垂直平分线为：y−0=−1−1x−3⇒y=x−3，由y=x−32x+y=0解得圆心C(1,−2)，半径r=CA=CB=4故圆C的方程为(x−1)2+(y+2)2=16；（2）若直线l的斜率存在，方程可设为y−1=kx+3，即kx−y+3k+1=0圆心C(1,−2)到直线l的距离为d=k+2+3k+11+k2=r=4，解得k=724，所求的一条切线为7x−24y+45=0；当直线l的斜率不存在时，圆心C(1,−2)到x=−3的距离为4，即x=−3与圆相切，所以直线l的方程为x=−3和7x−24y+45=0．几何法如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出