2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题2.9 直线和圆的方程专题中的5个重难点题型

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专题2.9 直线和圆的方程专题中的5个重难点题型TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc16802" 【考点1：圆的弦长问题】  PAGEREF _Toc16802 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc18325" 【考点2：与圆有关的轨迹问题】  PAGEREF _Toc18325 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc18086" 【考点3：与圆有关的最值问题】  PAGEREF _Toc18086 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc12708" 【考点4：与圆有关的定点问题】  PAGEREF _Toc12708 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc10053" 【考点5：与圆有关的定值问题】  PAGEREF _Toc10053 \h 26【考点1：圆的弦长问题】求直线与圆相交时弦长的方法： (1)几何法：如图1，直线与圆交于两点，设弦心距为，圆的半径为，弦长为，则有，即.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是，则或，其中为直线的斜率.1．（2023·全国·高三专题练习）若直线过点P（4，1）且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是6，则该直线的方程为 .【答案】15x+8y−68=0或x=4．【分析】由弦长求得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离求直线的方程.【详解】由题可知圆心(0，0)，半径r=5，弦长a=6，设弦心距是d，则r2=a22+d2，解得d=4，若l斜率不存在，直线是x=4，代入圆的方程解得y=±3,故该直线被圆截得的弦长为6,符合题意，若l斜率存在，设直线方程y−1=k(x−4)，即kx−y−4k+1=0，则圆心到直线的距离d=|−4k+1|k2+1=4，解得k=−158，直线l的方程为y−1=−158(x−4)，即15x+8y−68=0，综上，所求直线方程为15x+8y−68=0或x=4．故答案为：15x+8y−68=0或x=4．2．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设直线x−my−1=0与圆x−12+y−32=4相交于A,B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是 .【答案】±22【详解】根据给定条件，利用几何法求弦长列式求解作答.【点睛】圆x−12+y−32=4的圆心(1,3)，半径r=2，圆心(1,3)到直线x−my−1=0的距离d=|3m|1+m2，依题意，2r2−d2=2，则4−9m21+m2=1，解得m=±22，所以实数m的值是±22.故答案为：±223．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知圆O:x2+y2=49，直线l过点N2,6，且交圆O于P，Q两点，使弦长PQ为整数的直线l共有 条.【答案】16【分析】根据弦长公式PQ=2R2−d2，可知线段PQ的长度变化是连续的，故只需求得PQ长度的最小值和最大值，即可知道长度介于最小值和最大值之间的整数的个数，再由对称性即可求解.【详解】  如图，过点O作OC垂直于PQ，垂足为C，连接ON,OP，设OC=d，圆半径为R，则有PQ=2R2−d2=2R2−(ON2−CN2)=2R2−ON2+CN2所以当CN=0即N,C两点重合时，PQ取得最小值为2R2−ON2=272−(22+62)=6，因为圆O直径为14，所以6≤PQ≤14，当PQ=6或PQ=14时，分别代表圆O内过N点的最短弦和最长弦，这两条弦分别只有1条，其余长度为7、8、9、10、11、12、13的弦由于圆的对称性分别有两条，故该圆内过N点且长度为整数的弦共有1+1+7×2=16条.故答案为：16.4．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知过坐标原点的直线l与圆C:(x−6)2+(y+8)2=125相交于M，N两点，当线段MN的长为整数时，所有满足条件直线的条数为（    ）A．12 B．13 C．25 D．26【答案】C【分析】确定圆心和半径，求得MN的长的最小值和最大值，确定满足题意的所有整数值的个数，结合圆的对称性，即可确定答案.【详解】由题意知C:(x−6)2+(y+8)2=125的圆心为A(6,−8)，半径为55，当直线l经过圆心A(6,−8)时，MN最长，此时|MN|=105；当直线l与圆心和原点的连线OA垂直时，MN最短，此时|OA|=62+(−8)2=10，|MN|=2125−102=10；故|MN|的范围为[10,105]，由于2.2|OP|，所以sinθ>12，所以30°0，若圆C1与圆C2内切，则C1C2=r1−r2，即m−2=2，且m>0，所以m=16.（2）设点Px,y，则x2+y2−4x=0，于是PA2=x−32+y2=x−32+4x−x2=−2x+9，即PA2=−2x+9，同理PB2=4−2bx+b2，可得PA2PB2=−2x+94−2bx+b2，要使PAPB为定值，则9−2=b24−2b，解得b=6或b=3（舍去），故存在点B使得PAPB为定值，此时b=6.5．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知直线l过定点0,3，且与圆C:x2−4x+y2=0交于M、N两点．(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)若O为坐标原点，直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，试问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)−∞,−512(2)定值43【分析】（1）法一：若直线l的斜率不存在，此时直线l与圆C相切，不合乎题意，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，即kx−y+3=0，由2k+3k2+10求解.（2）设Mx1,y1，Nx2,y2，设直线l的方程为y=kx+3，与圆的方程联立，结合韦达定理求解.【详解】（1）解：法一：圆C的标准方程为x−22+y2=4，圆心为C2,0，半径为2．若直线l的斜率不存在，此时直线l与圆C相切，不合乎题意．所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，即kx−y+3=0由题意可得2k+3k2+1