2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题3.1 椭圆（4类必考点）

这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题3.1 椭圆（4类必考点），文件包含专题31椭圆4类必考点人教A版2019选择性必修第一册原卷版docx、专题31椭圆4类必考点人教A版2019选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

专题3.1 椭圆 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc116593822" 【考点1：椭圆的定义与标准方程】  PAGEREF _Toc116593822 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc116593823" 【考点2：椭圆的焦点三角形问题】  PAGEREF _Toc116593823 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc116593824" 【考点3：椭圆的几何性质】  PAGEREF _Toc116593824 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc116593825" 【考点4：与椭圆有关的最值或范围问题】  PAGEREF _Toc116593825 \h 15【考点1：椭圆的定义与标准方程】【知识点：椭圆的定义】平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a0，n>0，m≠n)的形式．1．（2023·全国·高二课堂例题）若点Mx,y满足方程x2+y−22+x2+y+22=12，则动点M的轨迹方程为（    ）A．x236+y232=1 B．x236+y220=1 C．y236+x232=1 D．y2144+x216=1【答案】C【分析】利用两点距离公式的几何意义，结合椭圆的定义即可得解.【详解】因为动点Mx,y满足关系式x2+y−22+x2+y+22=12，所以该等式表示点Mx,y到两个定点F10,−2，F20,2的距离的和为12，而F1F2=4<12，即动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且2a=12，即a=6，又c=2，b2=a2−c2=36−4=32，所以动点M的轨迹方程为y236+x232=1.故选：C.2．（2023春·陕西渭南·高二校考期中）椭圆x216+y225=1的两个焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长是（    ）A．10 B．12 C．16 D．20【答案】D【分析】根据椭圆定义进行求解.【详解】由题意得a=5,b=4，由椭圆定义可知，AF1+AF2=BF1+BF2=2a=10，所以△ABF1的周长为AF1+AB+BF2=AF1+AF2+BF2+BF1=20.故选：D3．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可能是（　　）A．圆 B．椭圆C．线段 D．射线【答案】AB【分析】根据椭圆及圆的定义数形结合得出结论.【详解】如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r．若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则AC＝R－r，由于r＝BC，  ∴AC＝R－BC，即CA＋CB＝R．∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R．∵B为圆内的定点，∴AB＜R．∴动点C的轨迹为椭圆．若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆．故选：AB.4．（2023秋·高二课时练习）已知a=5,c=2，焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为 .【答案】y225+x221=1【分析】由题意首先求得b的值，再然后求椭圆方程即可.【详解】由题意可得：a2=25,c2=4，由已知得b2=a2−c2=21，于是椭圆的标准方程为y225+x221=1，故所求的椭圆方程为：y225+x221=1.故答案为：y225+x221=1.  5．（2023·江苏·高二假期作业）已知B，C是两个定点，BC=8，且△ABC的周长等于18．求这个三角形的顶点A的轨迹方程．【答案】x225+y29=1x≠±5【分析】以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，根据三角形周长公式，结合椭圆的定义进行求解即可.【详解】以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．  由BC=8，可知点B−4,0,C4,0．由△ABC的周长等于18．得AB+AC=10，因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，但点A不在x轴上．设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a,2b,2c，则这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10⇒a=5， c=4，得b2=a2−b2=25−16=9，所以动点A的轨迹方程是x225+y29=1x≠±5.6．（2023·全国·高二课堂例题）已知△ABC的两个顶点坐标分别是B0,6和C0,−6，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是−49，求顶点A的轨迹方程.【答案】x281+y236=1x≠0.【分析】设顶点A的坐标为x,y，进而根据斜率之积列式计算即可得轨迹方程.【详解】设顶点A的坐标为x,y，则kAB=y−6x，kAC=y+6x，x≠0.依题意得y−6x⋅y+6x=−49，化简可得顶点A的轨迹方程为x281+y236=1x≠0.【考点2：椭圆的焦点三角形问题】【知识点：椭圆的焦点三角形问题】(1)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．(2)以椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则①|PF1|＋|PF2|＝2a.②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.③S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc.④焦点三角形的周长为2(a＋c)．1．（2023秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆E:x24+y23=1(a>b>0)的两焦点分别为F1，F2 ，A是椭圆E上一点，当△F1AF2的面积取得最大值时，∠F1AF2=（     ）A．π6 B．π2 C．π3 D．2π3【答案】C【分析】利用三角形面积公式得当点A位于椭圆的上下端点时，△F1AF2面积最大，再利用特殊角的三角函数即可得到答案.【详解】c=4−3=1，所以F1F2=2c=2，所以△F1AF2=12×2×yA=yA，则当yA最大时，△F1AF2面积最大，此时点A位于椭圆的上下端点，则∠F1AO=13=33，因为∠F1AO∈0,π2，所以∠F1AO=π6，所以∠F1AF2=π3.故选：C.  2．（2023·全国·高二专题练习）已知点P是椭圆x225+y29=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且cos∠F1PF2=13，则△PF1F2的面积为（    ）A．6 B．12 C．922 D．22【答案】C【分析】设PF1=m，PF2=n，由椭圆定义得m+n=10，由余弦定理求出mn=272，从而利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆x225+y29=1，得a=5，b=3，c=4.  设PF1=m，PF2=n，∴m+n=10，在△PF1F2中，由余弦定理可得：(2c)2=m2+n2−2mn⋅cos∠F1PF2=(m+n)2−2mn−2mn⋅13，可得64=100−83mn，得mn=272，故S△F1PF2=12mn⋅sin∠F1PF2=12×272×1−132=922.故选：C.3．（2023·全国·高二专题练习）椭圆x212+y23=1的焦点为F1,F2，点P在此椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1PF2的值为（    ）A．17 B．4 C．7 D．72【答案】C【分析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出PF2⊥x轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出b2，再根据两点间的距离公式求出|PF1|和|PF2|可得解.【详解】由x212+y23＝1可知a2=12，b2=3，所以c2=a2−b2=12−3=9，所以F1(－3,0)，F2(3,0)，∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点O为线段F1F2的中点，所以PF2//MO，所以PF2⊥x轴，∴可设P(3,m)，把P(3,m)代入椭圆x212+y23＝1，得m2=34.∴|PF1|＝36+34=732，|PF2|＝0+34=32.∴|PF1||PF2|=73232=7.故选：C4．（2023秋·高二课时练习）已知点P是椭圆x245+y220=1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1 ⋅ PF2＝0，则△PF1F2的面积为 ．【答案】20【分析】根据已知求出PF1PF2=40，根据PF1⊥PF2即得△F1PF2的面积.【详解】  因为PF1⋅PF2＝0，所以PF1⊥PF2，所以△PF1F2是直角三角形．由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝65，①又PF1|2+PF2|2=|F1F2|2=100，②由①2－②得2|PF1|⋅|PF2|=80，因为∠P=90°，所以S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|=12×40=20.故答案为：20.5．（2023·全国·高二专题练习）已知F1,F2分别是椭圆C:x29+y24=1的左、右焦点，P是椭圆C在第一象限内的一点，若PF1⊥PF2，则tan∠PF1F2= ．【答案】12【分析】由椭圆方程可得a,b,c的值，利用勾股定理和椭圆定义可构造方程求得PF1,PF2，根据tan∠PF1F2=PF2PF1可求得结果.【详解】由椭圆方程得：a=3，b=2，∴c=a2−b2=5，∴F1F2=2c=25；设PF1=x，由椭圆定义知：PF2=2a−x=6−x，∵PF1⊥PF2，∴PF12+PF22=F1F22，即x2+6−x2=20，解得：x=2或x=4；∵P为椭圆C在第一象限内的点，∴PF1>PF2，即x>6−x，∴x>3，∴x=4；∴tan∠PF1F2=PF2PF1=6−44=12.故答案为：12.6．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆C: x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2，P是椭圆上一点，且满足PF2=F1F2，则△PF1F2的面积等于 ，△PF1F2的周长等于 ．【答案】 82 ； 16【分析】利用椭圆方程与定义求得△PF1F2的边长，再利用三角形面积公式与周长公式求解即可.【详解】由x225+y216=1知，a=5,b=4，所以c=3，即F1(−3,0),F2(3,0)，所以PF2=F1F2=6，又由椭圆的定义，知PF1+PF2=10，所以PF1=10−6=4，所以在△PF1F2中，PF1边上的高为ℎ=62−422=42，于是S△PF1F2=12PF1⋅ℎ=12×4×42=82，PF1+PF2+F1F2=2a+2c=10+6=16.故答案为：82；16.7．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的方程为x24+y23=1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2=120°，求△PF1F2的面积．【答案】335【分析】根据椭圆方程求出a,b,c，由余弦定理和椭圆定义求出|PF1|，再根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】由x24+y23=1，可知a=2,b=3，所以c=a2−b2=4−3=1，从而F1F2=2c=2.在△PF1F2中，由余弦定理得PF2|2=PF1|2+|F1F2|2−2PF1⋅F1F2×cos∠PF1F2，即PF22=PF12+4−4PF1×(−12)=PF12+2PF1+4，①由椭圆定义得PF1+PF2=2a=4，②由①②联立可得4−PF12=PF12+2PF1+4，解得PF1=65.所以S△PF1F2=12|PF1||F1F2|sin∠PF1F2 =12×65×2×32=335.8．（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知点P在椭圆x249+y224=1上，F1，F2是椭圆的焦点，且PF1⊥PF2，求(1)PF1⋅PF2(2)△PF1F2的面积【答案】(1)48(2)24【分析】（1）根据椭圆定义结合勾股定理运算求解；（2）结合（1）中结果运算求解即可.【详解】（1）因为椭圆方程为x249+y224=1，则a2=49,b2=24,c2=49−24=25，即a=7,b=26,c=5，可得F1F2=2c=10,PF1+PF2=2a=14，因为PF1⊥PF2，则PF12+PF22=PF1+PF22−2PF1⋅PF2=F1F22即142−2PF1⋅PF2=102，所以PF1⋅PF2=48.（2）由（1）得PF1⋅PF2=48，因为PF1⊥PF2，所以S△PF1F2=12PF1⋅PF2=24.  【考点3：椭圆的几何性质】【知识点：椭圆的几何性质】[方法技巧]求椭圆离心率的三种方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．[提醒]　在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．　　1．（2023秋·高二课时练习）椭圆9x2+25y2=225上的点Px,y的横、纵坐标的范围分别为（    ）A．x≤3,y≤5 B．x≤13,y≤15C．x≤5,y≤3 D．x≤15,y≤13【答案】C【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断【详解】由9x2+25y2=225，得x225+y29=1，所以椭圆的标准方程为x225+y29=1，则a=5,b=3，因为点Px,y在椭圆上，所以x≤5,y≤3．故选：C2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C:x225+y29=1，直线l:m+2x−m+4y+2−m=0(m∈R)，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【分析】根据直线方程可得直线l过定点A3,2，判断点A3,2与椭圆C的位置关系即可得结果.【详解】对于直线l:m+2x−m+4y+2−m=0，整理得mx−y−1+2x−2y+1=0，令x−y−1=0x−2y+1=0，解得x=3y=2，故直线l过定点A3,2.∵3225+229=181225<1，则点A3,2在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选：A.3．（2023·江苏·高二假期作业）如图，直线l:x−2y+2=0过椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为（　　）  A．15 B．25C．55 D．255【答案】D【分析】根据题意可得bc=12，结合a,b,c之间的关系可得c2a2=45，即可得结果.【详解】设椭圆的焦距为2cc>0，则F1−c,0,B0,b，因为直线l:x−2y+2=0的斜率k=12，由题意可得bc=12，则b2c2=a2−c2c2=14，解得c2a2=45，所以椭圆的离心率为e=ca=c2a2=255.故选：D.4．（2023·江苏·高二假期作业）已知椭圆E：y2a2+x2b2=1a>b>0与直线y=b相交于A，B两点，O是坐标原点，如果△AOB是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于（　　）A．36 B．34C．33 D．32【答案】C【分析】根据题意不妨设点B在第一象限， 则Bbca,b，结合直线OB的斜率运算求解即可.【详解】联立方程y=by2a2+x2b2=1，解得y=bx=±bca，不妨设点B在第一象限， 则Bbca,b，由题意可知：OB的倾斜角是60°，则bbca=ac=3，所以椭圆的离心率e=ca=13=33.故选：C．    5．（2023·江苏·高二假期作业）若椭圆x2＋my2=1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为 ，焦点坐标为 ．【答案】 14 ； 0,±3【分析】根据题意可得a2=4b2，再结合方程可得a2=1m,b2=1，运算求解即可.【详解】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意可得：2a=2×2b，则a2=4b2，因为椭圆方程为x2＋my2=1，即x2＋y21m=1，且焦点在y轴上，则a2=1m,b2=1，可得a2=1m=4，解得m=14，所以c=a2−b2=3，即焦点坐标为0,±3．故答案为：14；0,±3.6．（2023春·四川德阳·高二统考期末）已知F1,F2为椭圆C:x216+y27=1的两个焦点，P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且PQ=F1F2，则△PF1Q的内切圆半径为 ．【答案】1【分析】利用椭圆的对称性和条件，得出四边形PF2QF1为矩形，设设PF1=m,F1Q=n，根据条件建立方程得到mn=14，再利用等面积法即可求出结果.【详解】因为椭圆C:x216+y27=1，所以a=4,c=3，连接QF1,QF2,PF1,PF2，由椭圆的对称性知，PF1//F2Q,PF2//F1Q，又PQ=F1F2，所以四边形PF2QF1为矩形，设|PF1|=m,|F1Q|=n，则m+n=2a=8m2+n2=4c2=36，得到mn=14，设△PF1Q的内切圆半径为r，则12r(|PF1|+|F1Q|+|PQ|)=S△PF1Q=12mn，得到r×(8+6)=14，解得r=1.  故答案为：1.7．（2023·陕西西安·高二校考阶段练习）（1）求与椭圆x22+y2=1有相同的焦点，且经过点1,32的椭圆标准方程；（2）已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=32，求m的值及椭圆的长轴长､焦距､焦点坐标､顶点坐标；【答案】（1）x24+y23=1（2）m=1，椭圆的长轴长为2，焦距3，焦点坐标为−32,0,32,0，顶点坐标为(−1,0),(1,0),0,−12,0,12．【分析】（1）根据已知椭圆判断得焦点位置，从而设得所求椭圆方程，再由已知条件列出方程组，解之即可；（2）先将椭圆方程化为标准方程，再由离心率求得m值，从而由椭圆的几何性质求得所求.【详解】（1）因为椭圆x22+y2=1，所以其焦点落在x轴上，且c12=2−1=1，所以设所求椭圆为x2a12+y2b12=1，则有12a12+322b12=1a12−b12=c12=1，解得a12=4b12=3（负值舍去），所以所求椭圆为x24+y23=1.（2）因为椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)可化为x2m+y2mm+3=1，因为m>0，所以m+3>1，所以0<1m+3<1，故mm+3b>0)的离心率为63，下顶点为B，点M为C上的任意一点，则MB的最大值是（    ）A．322b B．2b C．3b D．2b【答案】A【分析】设M(x0,y0)，得到x023b2+y02b2=1，求得MB2=−2y0−b22+9b22，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由椭圆C的离心率e=63，可得a=3b，所以椭圆的方程为x23b2+y2b2=1，设M(x0,y0)，则x023b2+y02b2=1，可得x02=3b2−3y02，又由点B0,−b，可得MB2=x02+(y0+b)2=3b2−3y02+(y0+b)2=−2y0−b22+9b22，因为−b≤y0≤b，所以MB2max=9b22，所以MBmax=32b2.故选：A.5．（2023·全国·模拟预测）已知直线l:y=kx与椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0交于A,B两点，M是椭圆上异于A,B的一点．若椭圆E的离心率的取值范围是33,22，则直线MA，MB斜率之积的取值范围是（    ）A．−22,−12 B．−12,−14C．−32,−22 D．−23,−12【答案】D【分析】先设点A,B,M的坐标，然后将A,M的坐标代入方程中，相减，构造出直线MA，MB的斜率，相乘转化只含有a,b的表达式，再根据a,b,c的关系以及椭圆E的离心率的取值范围是33,22建立不等式，求出直线MA，MB斜率之积的取值范围即可.【详解】设Mx,y,Ax1,y1，由直线l:y=kx与椭圆E交于A,B两点可知A,B两点关于原点对称，所以B−x1,−y1且x≠±x1，由题意知：x2a2+y2b2=1x12a2+y12b2=1，两式相减得：x2−x12a2+y2−y12b2=0⇒y2−y12x2−x12=−b2a2，即y2−y12x2−x12=y−y1x−x1⋅y+y1x+x1=−b2a2，又kMA⋅kMB=y−y1x−x1⋅y+y1x+x1=−b2a2，由椭圆的离心率的取值范围是33,22，即33