2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题3.8 圆锥曲线的离心率问题

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专题3.8 圆锥曲线的离心率问题 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc29989" 【知识梳理】  PAGEREF _Toc29989 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12647" 【考点1：椭圆的离心率问题】  PAGEREF _Toc12647 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc14725" 【考点2：双曲线的离心率问题】  PAGEREF _Toc14725 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc15814" 【考点3：离心率综合问题】  PAGEREF _Toc15814 \h 19【知识梳理】1.一般求离心率有以下两种方法:定义法：根据题意求出a,b,c的值,再由离心率定义:椭圆；双曲线直接求解；方程法：由题意列出含有a,b,c的方程,借助于椭圆b2=a2-c2、双曲线b2=c2-a2消去b,构造a,c的齐次式,再求出e.2.一般求离心率范围有以下两种方法:构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如:曲线的范围、对称性、位置关系等),建立关于a,b,c的不等式,转化为关于a,c的齐次不等式,得到e的范围;构造函数法:根据题设条件,用其他的变量或参数表示e,研究参数范围,结合函数性质,得到e的范围.【考点1：椭圆的离心率问题】【知识点：椭圆的离心率问题】1．（2023秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）若椭圆C：的短轴长为2，则椭圆C的离心率为 ．【答案】【分析】根据题意，由椭圆性质可得，从而可得，再由椭圆离心率公式即可得到结果.【详解】因为椭圆，则，，且短轴长为2，则，所以，则，则椭圆C的离心率为.故答案为：2．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是 ．【答案】【分析】先利用点差法应用弦中点，再求椭圆离心率.【详解】设直线与椭圆交于两点，其中，将两点代入椭圆可得，两式作差可得，即，又中点坐标是，所以，所以，令，则，所以，所以，故答案为：3．（2023秋·江西上饶·高二校考阶段练习）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率，A是椭圆的右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值是 .【答案】【分析】根据离心率求得椭圆的方程为，设，则，由，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由焦点在y轴上的椭圆的离心率，可得，解得，所以椭圆的方程为，则，设，则，因为，当时，可得取得最大值，最大值为，所以的最大值为.故答案为：.4．（广东省广州市第三中学等校2023-2024学年高二上学期期中三校联考数学试题）已知椭圆上一点M，点F为右焦点，点P为下顶点，，则椭圆的离心率为 .【答案】/【分析】过作轴于，根据相似关系确定，代入方程计算得到答案.【详解】如图所示：过作轴于，，则，，故，则，整理得到，故.故答案为：.5．（2023秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为 ．【答案】/0.6【分析】由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率.【详解】由题意得，由正弦定理得，故，由椭圆定义可知，，故，又，由余弦定理得，即，解得，故，解得，因为，所以，解得.故答案为：6．（2023秋·河南许昌·高二许昌市建安区第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．【答案】【分析】利用余弦定理将角度的范围转化为关于椭圆离心率的不等式即可.【详解】因为是以为底边的等腰三角形，所以，所以，，，在中，由余弦定理得：，故，即，即，不等式，即，解得(舍去)或不等式，即所以.故答案为：7．（2023秋·福建泉州·高二福建省南安市侨光中学校考阶段练习）如图，在一个高为，底面半径为的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切球筒和乒乓球厚度均忽略不计一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则此椭圆的离心率是 ．  【答案】【分析】依图求出长半轴、短半轴的长，从而确定椭圆的离心率.【详解】  设椭圆的长半轴、短半轴的长度分别为，，作出圆柱的轴截面，使得该轴截面与椭圆所在平面的交线恰为椭圆的长轴，设椭圆的长轴端点为，，中点为，设两个球的球心分别为，，由对称性可知是的中点，轴截面截两球得到两个大圆，，设与相切于点，则在中，，过点，作，交轴截面的边界于点，易知，从而，即，又由对称性，易知椭圆的半短轴长即为圆柱的底面半径，即，从而椭圆的半焦距，故椭圆的离心率为．故答案为：.8．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为 ．【答案】【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解．【详解】由题意可知，，设，可得直线的斜率分别为，，因为点在双曲线上，则，整理得，所以，设点，可得直线，的斜率，，因为点在椭圆上，则，整理得，所以，即，则，所以直线与关于轴对称，又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，又，则，所以，整理得，即，解得，或（舍去），所以椭圆的离心率为．故答案为：．      【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．9．（2023秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆，，为椭圆长轴的端点，，为椭圆短轴的端点，，分别为椭圆的左右焦点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为，则椭圆的离心率为 .【答案】【分析】由题可得动点的轨迹方程，可得，，即求.【详解】设，，，由，可得，化简得.∵面积的最大值为，面积的最小值为，∴，，∴，即，∴．  故答案为：．10．（2023秋·辽宁·高二校联考期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且，若，则椭圆C的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的对称性及定义，求得的长度.根据为直角三角形，利用勾股定理得到的关系，进而求出离心率.【详解】由椭圆的对称性，得．设，则．由椭圆的定义，知，即，解得，故，．在中，由勾股定理，得，即，则，故．故选：D  11．（2023秋·甘肃兰州·高二兰州一中校考期中）椭圆的两个焦点为是椭圆上一点，且满足.则椭圆离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，可得，进而得出，再求出离心率范围即得.【详解】由点满足，得，即是直角三角形，原点是斜边的中点，因此，又点在椭圆上，则，即，整理得，即，而，因此，所以椭圆离心率的取值范围为.故选：D12．（湖北省武汉市部分学校2023-2024学年高三上学期11月调研考试数学试题）已知椭圆，过左焦点且不与轴垂直的直线交于、两点，若直线上存在点，使得是等边三角形，则的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出的长以及等边的高，根据几何关系可得出，即可求得该椭圆离心率的取值范围.【详解】知点，设直线的方程为，其中，设点、，  联立可得，，由韦达定理可得，，所以，，设线段的中点为，则，，因为为等边三角形，则，且直线的斜率为，所以，，且，即，即，整理可得，所以，，故选：D.【考点2：双曲线的离心率问题】【知识点：双曲线的离心率问题】1．（2023秋·江西吉安·高二宁冈中学校考期中）双曲线的离心率是 .【答案】/【分析】直接利用双曲线方程求出，然后求解离心率．【详解】由双曲线可知：，所以，所以双曲线的离心率为：.故答案为：.2．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线（，）的离心率为，若直线与无公共点，则e的取值范围是 .【答案】【分析】确定双曲线的渐近线方程，由题意可得关于的不等关系，即可求得离心率范围.【详解】因为双曲线（，）的渐近线为，因为，要使直线与E无公共点，则，所以，，所以双曲线的离心率的范围所以满足条件的离心率的范围是，故答案为：3．（2023秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为 .【答案】/【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线，则，双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：4．（2023秋·辽宁·高二校联考期中）已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是 ．【答案】【分析】根据,且双曲线上的点到焦点的最小距离为，得到，进而求得离心率的范围.【详解】因为分别为的中点，所以.又双曲线上的点到焦点的最小距离为，所以，解得，因此双曲线的离心率e的取值范围是．故答案为：．5．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，过作x轴的垂线交C于点P﹒于点M（其中O为坐标原点），且有，则C的离心率为 .【答案】【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得，，，设，，由得，，解得，即，，又，∴，，代入得，因为故解得，故答案为：．  6．（2023秋·江苏连云港·高三校联考阶段练习）已知双曲线，直线与双曲线C交于M，N两点，直线与双曲线C交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率等于 ．【答案】/【分析】将代入双曲线方程可求，将代入双曲线可求，根据，得出的齐次式，从而可求离心率.【详解】将代入，得，即，解得，所以，将代入，得，即，解得，所以，因为，所以，即，所以，所以双曲线C的离心率为.故答案为：.  【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.7．（2023秋·江苏南通·高二校联考阶段练习）已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，，利用余弦定理可得，再由双曲线定义可得，由离心率定义可得.【详解】如下图所示：根据题意可设，易知；由余弦定理可知，可得；即，由双曲线定义可知可知，即；所以离心率.故选：A8．（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考阶段练习）已知是双曲线的左，右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线的左，右两支分别交于点.若，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】设，利用双曲线的定义及题中几何关系将用表示，再利用几何关系建立关于齐次方程，从而求出离心率.【详解】如图，过作与,  设，则，，∴，，，由题意知，∴在中，，，∴，在中,,即解得.双曲线的离心率为.故选：A.9．（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为，连接，，则四边形为矩形．因此．，．可得，结合余弦函数运算求解．【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，，因为，则四边形为矩形，所以，则，．．．即，则，因为，则，可得，即，所以，即双曲线离心率的取值范围是，故选：C．10．（多选）（2023秋·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，且，若，则下面有关结论正确的是（   ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用同角三角函数基本关系式、双曲线定义、双曲线性质、余弦定理、离心率公式运算即可得解.【详解】解：当为锐角时，如下图，则，∵，∴，∴，∴解得：，∴，则，∴，故BD正确；当为钝角时，如下图，则，∵，∴，∴，∴解得：，∴，则，∴，解得：，故A错误，C正确.故选：BCD.【考点3：离心率综合问题】【知识点：离心率综合问题】.1．（2022秋·福建漳州·高二统考期末）椭圆的左、右焦点也是双曲线的焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积是（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根据题意和椭圆、双曲线的对称性可得，结合椭圆、双曲线的定义和离心率即可求解.【详解】连接，由对称性可知四边形是平行四边形，又，∴四边形是矩形.在中，，对于椭圆，其离心率为；而对于双曲线，其离心率为，故，故选：C.2．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考阶段练习）设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆和双曲线的定义求出、，由勾股定理即可得到、的关系，从而解出．【详解】由椭圆及双曲线定义得，所以，因为，由余弦定理得，同时除以得，因为，，，所以，则，故选：B.3．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，双曲线：的离心率为，且椭圆与双曲线的焦点相同.过的直线与椭圆交于两点（点在第一象限），与双曲线的右支交于点，且点在线段上.若与的周长之比为，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件及椭圆和双曲线的离心率公式，利用椭圆和双曲线的定义及三角形周长公式即可求解.【详解】设焦距为，则，，，由椭圆的定义知，,,所以的周长为，由双曲线的定义知，，所以的周长，又因为若与的周长之比为所以，整理得，所以.故选：A.4．（多选）（2023春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）若是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论中正确的是（    ）A．， B．C．若，则 D．若，则的最小值为2【答案】BC【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A；由余弦定理计算判断B；再结合B，基本不等式等讨论CD选项即可.【详解】解：依题意，，解得，A不正确；令，由余弦定理得： ，因为在椭圆中，在双曲线中，，所以，故B选项正确；当时，，即，所以，即，所以，，故C选项正确；当时，，即，所以，，有，因为，所以，，解得，D不正确；故选：BC5．（2023·全国·高三专题练习）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ．【答案】【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据及即可求得的范围．【详解】解：由题意知椭圆的，双曲线的，则椭圆与双曲线共焦点，设，则，，，，，，设，则，解得，即，又，且，，故的取值范围是．故答案为：6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的左、右焦点，是它们的一个交点，且，记和的离心率分别为，则的最大值是 ．【答案】【分析】根据椭圆和双曲线定义可用表示出，利用余弦定理可构造齐次方程，从而得到，利用基本不等式可求得最大值.【详解】设椭圆，双曲线，，，由椭圆定义知：，不妨设位于双曲线右支，由双曲线定义知：；由得：，，在中，由余弦定理得：，，，（当且仅当，即时取等号），，即的最大值为.故答案为：.7．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，离心率分别为，且，若P是两条曲线的一个交点，则 .【答案】【分析】结合为椭圆和双曲线的公共点，分别根据定义在椭圆和双曲线里列和的关系，表示出和，然后结合，在用余弦定理表示即可.【详解】  不妨设椭圆方程为，设双曲线的方程为，，设P是两条曲线第一象限的一个交点，则有，，所以，，在中，又因为，则，即，即，所以，即.故答案为：.