2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修二专题4.5 数列求和（5类必考点）

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专题4.5 数列求和 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc120545000" 【考点1：倒叙相加法求和】  PAGEREF _Toc120545000 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc120545001" 【考点2：分组求和】  PAGEREF _Toc120545001 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc120545002" 【考点3：并项求和】  PAGEREF _Toc120545002 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc120545003" 【考点4：裂项相消法求和】  PAGEREF _Toc120545003 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc120545004" 【考点5：错位相减法求和】  PAGEREF _Toc120545004 \h 11【考点1：倒叙相加法求和】【知识点：倒叙相加法求和】如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的．1．（2023上·江苏苏州·高二张家港市沙洲中学校考开学考试）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则（    ）A． B．2017 C．4034 D．80682．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知为正项等比数列，且，若函数，则（    ）A．2023 B．2024 C． D．10123．（2023上·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列满足，其前项和为，设函数，则（    ）A．0 B．1 C．1012 D．20244．（2023·全国·高三专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 .5．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足：（），数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求.【考点2：分组求和】【知识点：分组求和】若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减．[方法技巧]分组求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和．　　1．（2023上·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，，则（    ）A．122 B．120 C．2 D．2．（2024·全国·模拟预测）在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．83．（2024上·辽宁沈阳·高三沈阳实验中学校联考期末）已知数列是首项为25，公差为的等差数列，则数列的前30项的和为 .4．（2023上·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考阶段练习）已知数列满足，，且，则的前2024项和为 .5．（2023上·山东临沂·高二校考阶段练习）已知等差数列中，，则数列的前2024项和 .6．（2023上·重庆·高三重庆市育才中学校联考阶段练习）已知数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)求的前10项和.7．（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）在数列中，且满足（且）．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和．8．（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前10项和．【考点3：并项求和】【知识点：并项求和】在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.1．（2022·河南三门峡·高三阶段练习（文））定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的和构成一个等比数列，则称该数列为“和等比”数列。已知“和等比数列an的前三项分别为a1=a2=1，a3=3，则数列an的前11项和S11=________．2．（2022·安徽·高三阶段练习）已知数列an满足an+2=an+1+2an,a1=1,a2=2.(1)求证：数列an+1+an为等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn.3．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）已知等比数列an的前n项和为Sn=2n+λ (n∈N∗, λ为常数）.(1)求λ的值，并写出数列an的通项公式；(2)若bn=(−1)nlog2a2n+1，求数列bn的前2n项和T2n.4．（2022·福建泉州·高三开学考试）已知数列an各项均为正数，且a1=2，an+12−2an+1=an2+2an．(1)求an的通项公式(2)设bn=−1nan，求b1+b2+b1+⋯+b20．5．（2021·陕西·无高二期中（理））若数列an满足：a1=1，点n,an+an+1在函数y=kx+1的图象上，其中k为常数，且k≠0.(1)若a1,a2,a4成等比数列，求k的值；(2)当k=3时，求数列an的前21项和S21.【考点4：裂项相消法求和】【知识点：裂项相消法求和】（1）把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．（2）几种常见的裂项方式[方法技巧]用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．　　1．（2024上·江苏·高二期末）设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　  ）A． B． C． D．2．（2023上·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求其前n项和为．3．（2023·新疆·校联考一模）非零数列满足，且．(1)设，证明：数列是等差数列；(2)设，求的前项和．4．（2022上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考阶段练习）已知数列满足: .(1)求数列的通项公式;(2)设, 求数列的前项和为.5．（2023上·甘肃酒泉·高二统考期末）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和，并证明：.6．（2023·全国·模拟预测）已知一次函数的图象过点和．数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足，证明：．7．（2024上·甘肃·高二统考期末）已知正项等比数列的方前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和，求证.8．（2023上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【考点5：错位相减法求和】【知识点：错位相减法求和】如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．[方法技巧]错位相减法求和的策略(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．　　1．（2023上·广东深圳·高二校考期末）已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，. (1)求和的通项公式；(2)求数列的前n项和.2．（2023上·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）已知数列的前n项和（其中q＞0为常数），且.(1)求；(2)设，求数列的前n项和Tn.3．（2023上·江苏南通·高二校考阶段练习）记等差数列的前项和为，公差为，等比数列的公比为，已知，，，．(1)求，的通项公式；(2)记，记的前项和为，求证：．4．（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.5．（2023·青海·校联考模拟预测）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.6．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）已知数列的前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)若数列的前项和为，证明：.7．（2024上·江苏·高二期末）已知等差数列满足，等比数列满足.(1)求数列，的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和.8．（2023·陕西安康·校联考模拟预测）在数列中，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．数列(n为正整数)裂项方式eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋k))) (k为非零常数)eq \f(1,nn＋k)＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,4n2－1)))eq \f(1,4n2－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))))eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(loga\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n))))) (a>0，a≠1)logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝loga(n＋1)－logan