猜题05 反比例函数（易错必刷30题7种题型专项训练）-九年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版）

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反比例函数的定义
反比例函数的图象
反比例函数的性质
反比例函数系数k的几何意义
反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数综合题
一．反比例函数的定义（共1小题）
1．若函数y＝（m﹣1）是反比例函数，则m的值是（ ）
A．±1B．﹣1C．0D．1
【答案】B
【解答】解：∵y＝（m﹣1）是反比例函数，
∴．
解之得m＝﹣1．
故选：B．
二．反比例函数的图象（共4小题）
2．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；
（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．
故选：B．
3．反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：A、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＞0，即k＜0，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项正确；
C、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的负半轴（不合题意），故本选项错误；
D、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项错误．
故选：B．
4．已知一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝其中m、n为常数，且mn＜0，则它们在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：A、由一次函数图象过二、三、四象限，得m＜0，交y轴负半轴，则n＜0，
此时mn＞0，不合题意；故本选项错误；
B、由一次函数图象过一、二、四象限，得m＜0，交y轴正半轴，则n＞0，满足mn＜0，
∵m＜0，n＞0，
∴n﹣m＞0，
∴反比例函数y＝的图象过一、三象限，故本选项正确；
C、由一次函数图象过一、二、三象限，得m＞0，交y轴正半轴，则n＞0，
此时，mn＞0，不合题意；故本选项错误；
D、由一次函数图象过一、二、三象限，得m＞0，交y轴正半轴，则n＞0，
此时，mn＞0，不合题意；故本选项错误；
故选：B．
5．已知函数y＝的图象如图，当x≥﹣1时，y的取值范围是（ ）
A．y＜﹣1B．y≤﹣1C．y≤﹣1或y＞0D．y＜﹣1或y≥0
【答案】C
【解答】解：根据反比例函数的性质和图象显示可知：
此函数为减函数，x≥﹣1时，在第三象限内y的取值范围是y≤﹣1；
在第一象限内y的取值范围是y＞0．
故选：C．
三．反比例函数的性质（共1小题）
6．在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【答案】D
【解答】解：反比例函数的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，
∴k＞1．
故选：D．
四．反比例函数系数k的几何意义（共8小题）
7．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y＝（k≠0）上，连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（ ）
A．﹣12B．﹣8C．﹣6D．﹣4
【答案】C
【解答】解：过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，
设A（k，1），B（2，k），则AC＝2﹣k，BC＝1﹣k，
∵S△ABO＝8，
∴S△ABC﹣S△ACO﹣S△BOC＝8，
即（2﹣k）（1﹣k）﹣（2﹣k）×1﹣（1﹣k）×2＝8，
解得k＝±6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故选：C．
8．如图所示，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为（ ）
A．2B．2C．D．2
【答案】A
【解答】解：如图，过D作DE⊥OA于E，
设D（a，），
∴OE＝a．DE＝，
∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
∴OA＝2a，OC＝，
∵矩形OABC的面积为8，
∴OA•OC＝2a•＝8，
∴k＝2，
故选：A．
9．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC的边BC的中点D，且与边AB相交于点E，则四边形ODBE的面积为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：连接OB，如图所示：
∵OB是矩形OABC的对角线，
∴S△OAB＝S△OBC
又∵点D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
又∵CD＝BD，OC是△OCD和△OBD的高，
∴S△OCD＝S△ODB＝1，
又∵S△OBC＝S△OCD+S△OBD，
∴S△OAB＝S△OBC＝2
又∵S△OBE＝S△OAB﹣S△OAE，
∴S△OBE＝2﹣1＝1，
又∵S四边形OEBD＝S△ODE+S△OBE，
∴S四边形OEBD＝1+1＝2，
故选：B．
10．如图，是反比例函数y1＝和y2＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】B
【解答】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，
S△BOC＝
S△AOC＝
∵S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB＝3
∴﹣＝3
∴k2﹣k1＝6
故选：B．
11．如图，双曲线y＝经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足＝，与BC交于点D，S△BOD＝24，则k＝ 16 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：作AE⊥x轴，
则S△AOE＝S△DOC＝k，
∴S四边形BAEC＝S△BOD＝24，
∵AE⊥x轴，∠OCB＝90°，
∴△AOE∽△BOC，
∴＝（）2＝，
∴S△AOE＝8，
∴k＝16．
故答案为：16．
12．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△AOB与△COD面积分别为8和18，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为 6 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
若＝m，
由OB＝m•OD，OA＝m•OC，
又∵，，
∴＝，
又∵S△OAB＝8，S△OCD＝18，
∴，
解得：m＝或m＝（舍去），
设点A、B的坐标分别为（0，a），（b，0），则•a•（﹣b）＝8，即ab＝﹣16，
∵，
∴点C的坐标为（0，﹣a），
又∵点E是线段BC的中点，
∴点E的坐标为（），
又∵点E在反比例函数上，
∴＝﹣＝，
解法二：∵S△OAB＝•OA•OB，S△ODC•OC•OD，SOBC＝•OC•OB，S△OAD＝•OA•OD，所以S△OAB×S△OCD＝S△OBC×S△OAD＝8×18＝144，
又∵AB∥CD，
∴S△ACD＝S△BCD（同底等高），
∴S△OBC＝S△OAD，
∴S△OBC＝S△OAD＝12，
∵双曲线y＝kx恰好经过BC的中点E，且点E在第三象限，
所以根据K的几何意义得到K＝6．
故答案为6．
13．如图，在△AOB中，OC平分∠AOB，＝，反比例函数y＝（k＜0）图象经过点A、C两点，点B在x轴上，若△AOB的面积为7，则k的值为 ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点C作CN⊥OB，CD⊥OA，过点A作AM⊥OB，
∵OC平分∠AOB，
∴CN＝CD，
∵＝，
∴＝，
∵△AOB的面积为7，
∴S△ACO＝4，S△BOC＝3，
∴＝＝，
∵k＜0，
由反比例函数的性质可知：S△AOM＝S△CON＝＝﹣k，
∵S△AOM+S梯形AMNC＝S△AOC+S△CON，
∴S△AOC＝S梯形AMNC＝4，
∵CN∥AM，
∴△BCN∽△BAM，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△BCN＝×4，
∴S△BCN＝，
∴7＝﹣k+4+，
解得k＝﹣，
故答案为：﹣．
14．如图，A，B是双曲线y＝上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过B作BE⊥x轴于E，
∵AC⊥x轴于C，
∴△ACO与△BEO的面积相等，
∴△ADO的面积与梯形CDBE的面积相等，
又∵DC∥BE，
∴△OCD∽△OEB，
∵D为BO的中点，
∴＝，即＝，
解得S△OCD＝，
∴S△OEB＝1+＝，
即|k|＝，
解得k＝±，
又∵k＜0，
∴k＝﹣，
故答案为：﹣．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共7小题）
15．如图，点A，B在双曲线y＝（x＞0）上，点C在双曲线y＝（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝BC，则AB等于（ ）
A．B．2C．4D．3
【答案】B
【解答】解：点C在双曲线y＝上，AC∥y轴，BC∥x轴，
设C（a，），则B（3a，），A（a，），
∵AC＝BC，
∴﹣＝3a﹣a，
解得a＝1，（负值已舍去）
∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），
∴AC＝BC＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2，
故选：B．
16．已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
【答案】B
【解答】解：∵点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，
∴，，，
∵﹣2＜3＜6，
∴y3＜y2＜y1，
故选：B．
17．已知反比例函数y＝的图象过点P（2，﹣3），则该反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
【答案】C
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（2，﹣3），
∴k＝2×（﹣3）＝﹣6＜0，
∴该反比例函数经过第二、四象限．
故选：C．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），点C在第一象限内，∠BAC＝90°，AB＝2AC，函数y＝（x＞0）的图象经过点C，将△ABC沿x轴的正方向向右平移m个单位长度，使点A恰好落在函数y＝（x＞0）的图象上，则m的值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【解答】解：如图，作CH⊥y轴于H．
∵A（0，4）、B（4，0），
∴OA＝OB＝4，
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAB+∠CAH＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝∠CAH，
又∵∠AOB＝∠AHC＝90°，
∴△ABO∽△CAH，
∴＝＝＝2，
∴CH＝AH＝2，
∴OH＝OA+AH＝6，
∴C（2，6），
∵点C在y＝的图象上，
∴k＝2×6＝12，
∴y＝，
∴当y＝4时，x＝3，
∵将△ABC沿x轴的正方向向右平移m个单位长度，使点A恰好落在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m＝3，
故选：C．
19．如图，矩形ABCD的对角线BD过原点O，各边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y＝的图象上，若点A的坐标是（﹣2，﹣2），则k的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．4
【答案】C
【解答】解：∵矩形ABCD的对角线BD过原点O，BO为四边形BGOE的对角线，OD为四边形OHDF的对角线，
∴S△BEO＝S△BGO，S△OFD＝S△OHD，S△CBD＝S△ADB，
∴S△CBD﹣S△BGO﹣S△OHD＝S△ADB﹣S△BEO﹣S△OFD，
∴S四边形CHOG＝S四边形AEOF＝2×2＝4，
∴3k+1＝4，即k＝1，
故选：C．
20．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB＝BD，则点D的坐标为 （8，） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解法1：如图，连接AD并延长，交x轴于E，
由A（5，12），可得AO＝＝13，
∴BC＝13，
∵AB∥CE，AB＝BD，
∴∠CED＝∠BAD＝∠ADB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
∴AB+CE＝BD+CD＝13，即OC+CE＝13，
∴OE＝13，
∴E（13，0），
由A（5，12），E（13，0），可得AE的解析式为y＝﹣x+，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12），
∴k＝12×5＝60，
∴反比例函数的解析式为y＝，
解方程组，可得，，
∴点D的坐标为（8，）．
解法2：如图，过D作DH⊥x轴于H，过A作AG⊥x轴于G，
∵点A（5，12），
∴OG＝5，AG＝12，AO＝13＝BC，
∵∠AOG＝∠DCH，∠AGO＝∠DHC＝90°，
∴△AOG∽△DCH，
∴可设CH＝5k，DH＝12k，CD＝13k，
∴BD＝13﹣13k，
∴OC＝AB＝13﹣13k，
∴OH＝13﹣13k+5k＝13﹣8k，
∴D（13﹣8k，12k），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12）和点D，
∴5×12＝（13﹣8k）×12k，
解得k＝，k＝1（舍去），
∴D的坐标为（8，）．
故答案为：（8，）．
21．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，
则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵∠AOB＝∠OBA＝45°，
∴OA＝BA，∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAN＝90°，
∴∠AOM＝∠BAN，
∴△AOM≌△BAN，
∴AM＝BN＝1，OM＝AN＝k，
∴OD＝1+k，BD＝OM﹣BN＝k﹣1
∴B（1+k，k﹣1），
∵双曲线y＝（x＞0）经过点B，
∴（1+k）•（k﹣1）＝k，
整理得：k2﹣k﹣1＝0，
解得：k＝（负值已舍去），
故答案为：．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共8小题）
22．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞2B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0或x＞2
【答案】B
【解答】解：∵正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，
∴A，B两点坐标关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，
∴B点的横坐标为﹣2，
∵y1＜y2
∴在第一和第三象限，正比例函数y1＝k1x的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，
∴x＜﹣2或0＜x＜2，
故选：B．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k1x+2与y轴交于点C，与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若S△OBC＝1，tan∠BOC＝，则k2的值是（ ）
A．﹣3B．1C．2D．3
【答案】D
【解答】解：∵直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
过B作BD⊥y轴于D，
∵S△OBC＝1，
∴BD＝1，
∵tan∠BOC＝，
∴＝，
∴OD＝3，
∴点B的坐标为（1，3），
∵反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，
∴k2＝1×3＝3．
故选：D．
24．如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（ ）
A．点A和点B关于原点对称
B．当x＜1时，y1＞y2
C．S△AOC＝S△BOD
D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大
【答案】C
【解答】解：A、，
∵把①代入②得：x+1＝，
解得：x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x1＝﹣2，x2＝1，
代入①得：y1＝﹣1，y2＝2，
∴B（﹣2，﹣1），A（1，2），
∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；
B、当﹣2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；
C、∵S△AOC＝×1×2＝1，S△BOD＝×|﹣2|×|﹣1|＝1，
∴S△BOD＝S△AOC，故本选项正确；
D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；
故选：C．
25．如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜+b的解集是 ﹣5＜x＜﹣1或x＞0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由k1x＜+b，得，k1x﹣b＜，
所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移2b个单位得到，
直线向下平移2b个单位的图象如图所示，交点A′的横坐标为﹣1，交点B′的横坐标为﹣5，
当﹣5＜x＜﹣1或x＞0时，双曲线图象在直线图象上方，
所以，不等式k1x＜+b的解集是﹣5＜x＜﹣1或x＞0．
故答案为：﹣5＜x＜﹣1或x＞0．
26．如图，直线y1＝﹣x+4，y2＝x+b都与双曲线y＝交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1＝﹣x+4，可得m＝﹣1+4＝3，
∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y＝，可得k＝1×3＝3，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝；
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；
（3）y1＝﹣x+4，令y＝0，则x＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2＝x+b，可得3＝+b，
∴b＝，
∴y2＝x+，
令y＝0，则x＝﹣3，即C（﹣3，0），
∴BC＝7，
∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，
∴CP＝BC＝，或BP＝BC＝，
∴OP＝3﹣＝，或OP＝4﹣＝，
∴P（﹣，0）或（，0）．
27．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（6，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将A（﹣3，4）代入y＝，得m＝﹣3×4＝﹣12
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
将B（6，n）代入y＝﹣，得6n＝﹣12，
解得n＝﹣2，
∴B（6，﹣2），
将A（﹣3，4）和B（6，﹣2）分别代入y＝kx+b（k≠0），得
，
解得，
∴所求的一次函数的解析式为y＝﹣x+2；
（2）当y＝0时，﹣x+2＝0，
解得：x＝3，
∴C（3，0），
∴S△AOC＝×3×4＝6，S△BOC＝×3×2＝3，
∴S△AOB＝6+3＝9；
（3）存在．
过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，如图，
∴∠AP1C＝90°，
∵A点坐标为（﹣3，4），
∴P1点的坐标为（﹣3，0）；
∵∠P2AC＝90°，
∴∠P2AP1+∠P1AC＝90°，而∠AP2P1+∠P2AP1＝90°，
∴∠AP2P1＝∠P1AC，
∴Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，
∴＝，即＝，
∴P1P2＝，
∴OP2＝3+＝，
∴P2点的坐标为（﹣，0），
∴满足条件的P点坐标为（﹣3，0）、（﹣，0）．
28．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．
【答案】（1）﹣4＜x＜﹣2．
（2）反比例函数：y＝，一次函数：y＝x+6．
（3）P的坐标为：（0，3）或（0，﹣3）．
【解答】解：（1）当y＝的图象在y＝ax+b图象的下方时，＜ax+b成立，
∴﹣4＜x＜﹣2．
（2）将A（﹣2，4）代入y＝得：﹣8＝m，
∴反比例函数为：y＝﹣．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6．
（3）在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
＝OC×（yA﹣yB）
＝×6×2
＝6，
∴S△AOP＝×6＝3，
∵P在y轴上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0．﹣3）．
29．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象相交于点A，OB＝1，tan∠OBC＝2，BC：CA＝1：2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面积最大时，求点D的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为：y＝（x＞0）．
（2）当△BDE面积最大时，D（1，﹣）．
【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴于点F，
∴AF∥y轴，
∴△ACF∽△BCO，
∴BC：AC＝OB：AF＝OC：CF＝1：2．
∵OB＝1，tan∠OBC＝2，
∴OC＝2，
∴AF＝2，CF＝4，
∴OF＝OC+CF＝6，
∴A（6，2）．
∵点A在反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象上，
∴m＝2×6＝12．
∴反比例函数的表达式为：y＝（x＞0）．
（2）由题意可知，B（0，﹣1），
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣1．
设点D的横坐标为t，
则D（t，t﹣1），E（t，）．
∴ED＝﹣t+1．
∴△BDE的面积为：
（t﹣0）（﹣t+1）
＝﹣t2+t+6
＝﹣（t﹣1）2+．
∵﹣＜0，
∴t＝1时，△BDE的面积的最大值为，此时D（1，﹣）．
七．反比例函数综合题（共1小题）
30．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．
（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）如图2，P点坐标为（2，﹣3），在反比例函数y＝的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点E、F均是反比例函数y＝上的点，四边形AOBC是矩形，
∴AE⊥y轴，BC⊥x轴，
∴S△AOE＝S△BOF＝；
（2）∵C坐标为（4，3），
∴设E（，3），F（4，），
如图1，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的G点，作EH⊥OB，垂足为H，
∵∠EGH+∠HEG＝90°∠EGH+∠FGB＝90°，
∴∠HEG＝∠FGB，
又∵∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴△EGH∽△GFB，
∴＝，
∴GB＝＝，
在Rt△GBF中，GF2＝GB2+BF2，即（3﹣）2＝（）2+（）2，
解得k＝，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（3）存在．
当OP是平行四边形的边时，如图2所示：
平行四边形OPMN，可以看成线段PN沿PO的方向平移至OM处所得．
设N（a，），
∵P（2，﹣3）的对应点O（0，0），
∴M（a﹣2，+3），
代入反比例解析式得：（a﹣2）（+3）＝，
整理得4a2﹣8a﹣7＝0，
解得a＝，
当a＝时，＝＝，
﹣2＝，+3＝，
∴N（，），M（，）或N（，），M（，）．
当OP为对角线时，如图3所示：
设M（a，），N（b，），
∵P（2，﹣3），
∴，解得，，
∴M（，），N（，）或M（，），N（，），
综上所述：M（，），N（，）或M（，），N（，），