期末模拟测试卷02 考试版-九年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版）

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选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）。
1．计算sin45°的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：sin45°＝
故选：C．
2．如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体B．三棱锥C．圆锥D．三棱柱
【答案】D
【解答】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱，
故选：D．
3．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3B．a＞3C．a＜3且a≠2D．a＜﹣3
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴a﹣2≠0，Δ＝（﹣2）2﹣4×（a﹣2）×1＝12﹣4a＞0，
解得：a＜3且a≠2．
故选：C．
4．抛物线y＝2（x+1）2﹣4平移后，得到抛物线，y＝2x2，则平移方法是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移4个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝2（x+1）2﹣4的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
平移后抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
∴平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移4个单位．
故选：C．
5．如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．①②③④B．④③②①C．④③①②D．②③④①
【答案】C
【解答】解：根据平行投影的规律知：顺序为④③①②．
故选：C．
6．某超市1月份的营业额为200万元，2月份、3月份的营业额共800万元，如果平均每月的增长率为x，则根据题意列出的方程正确的为（ ）
A．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000 B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝800
C．200+200×2x＝1000 D．200（1+x）2＝800
【答案】A
【解答】解：由题意可得，
200+200（1+x）+200（1+x）2＝200+800，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000，
故选：A．
7．顺次连接四边形ABCD的四条边的中点，得到一个矩形，那么（ ）
A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AB＝CDD．AB⊥CD
【答案】B
【解答】解：∵矩形EFGH，
∴∠FEH＝90°，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，
∴∠FEH+∠CME＝180°，
同理EH∥BD，
∴∠EMC+∠BOA＝180°，
∴∠BOA＝∠FEH＝90°，
∴AC⊥BD，
故选：B．
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：因为二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴x＝﹣＜0，得出b＞0，
所以一次函数y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y＝经过二、四象限，
故选：C．
9．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影BC，已知路灯高PO＝5m，树影BC＝3m，树AB与路灯O的水平距离BP＝4.5m，则树的高度AB长是（ ）
A．B．2mC．3mD．
【答案】B
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝2，
答：树的高度AB长是2m．
故选：B．
10．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3．C为⊙O上一点，∠ACB＝45°，则AB的长为（ ）
A．2B．3C．3D．6
【答案】C
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
而OA＝OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝3．
故选：C．
11．已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1或m＜0B．m≥1C．m≤﹣1或m＞0D．m≤﹣1
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3，
∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），
∵点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3，
∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，
此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3，
解得m≥1；
②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，
当0≤x≤4时，y随x增大而减小，
则当0≤xp≤4时，yp≤﹣3恒成立；
综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0．
故选：A．
12．如图，在矩形ABCD中，过点A作对角线BD的垂线并延长，与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，垂足为点G，连接CG，且CD＝CF，则下列结论正确的有（ ）个
①CE＝AD
②∠DGC＝∠BFG
③CF2＝BF•BC
④BG＝GE﹣CG
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，
∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠BGF＝DGE＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠E＝90°，
而∠1＝∠3，
∴∠2＝∠E，
在△CDB和△CFE中，
，
∴△CDB≌△CFE（AAS），
∴CB＝CE，
∴AD＝CE，所以①正确；
过C点作CQ⊥BD于Q，CH⊥EF于H点，如图，
∵△CDB≌△CFE，
∴CQ＝CH，∠3＝CDG，
∴CG平分∠DGE，
即∠DGC＝∠EGD＝45°，
∵CB＞CD，
∴∠CDB＞45°，
∵∠1＝∠3＝∠CDG，
∴∠DGC＞∠1，所以②错误；
∵∠1＝∠CDB，
∴Rt△ABF∽Rt△BCD，
∴BF：CD＝AB：BC，
即CD•AB＝BF•BC，
而CD＝AB＝CF，
∴CF2＝BF•BC，所以③正确；
过C作CM⊥CG交GE于M点，如图，
∵∠CGE＝45°，
∴△CGM为等腰直角三角形，
∴CG＝CM，GM＝CG，
∵∠4+∠BCM＝90°，∠5+∠BCM＝90°，
∴∠4＝∠5，
在△CEM和△CBG中，
，
∴△CEM≌△CBG（ASA），
∴EM＝BG，
∵GE＝GM+ME，
∴GE＝CG+BG，
即BG＝GE﹣CG．所以④正确．
故选：C．
二．填空题（本题共6小题，共12分）。
13．已知，则＝ 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵，
∴设a＝3k，b＝5k，
∴＝＝＝4，
故答案为：4．
14．盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：由题意，列表如下：
共有6种等可能的结果，其中和为奇数的结果有4种，
∴两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是；
故答案为：．
15．已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 m＜5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限，
∴m﹣5＜0，
解得m＜5．
故答案为：m＜5．
16．如图，过y轴正半轴上一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和图象相交于点A和点B，C是x轴上一点．若△ABC的面积为4，则k的值为 6 ．
【答案】6．
【解答】解：连接AO，BO，如图所示，
∵AB∥x轴，
∴S△ABC＝S△ABO＝S△APO+S△BPO＝4，
∵反比例函数图象上的点与坐标轴及原点围成三角形面积＝，
∴，
∴，
解得k＝±6；
∵k＞0，
故答案为：6．
17．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝1.2m，高AD＝0.8m，要把它加工成一个正方形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，则该正方形的边长是 0.48 m．
【答案】0.48．
【解答】解：∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴．
∵QM＝PN，
∴＝，
设正方形PNMQ的边长是x m．
则
解得：x＝0.48
故正方形的边长为0.48m．
故答案为：0.48．
18．如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝6，CD＝4，当BD长最大时，△ABC的面积为 19 ．
【答案】19．
【解答】解：如图1，以CD为边作等边△DCE，连接AE．
∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，
∵AE≤AD+DE，
当A、D、E三点共线时，AE＝AD+DE＝10，其值最大，
∴AE的最大值为10，
∴BD的最大值为10，
过点A作AF⊥BD于F，如图，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠E＝60°，
∴∠ADF＝60°，
∵AF⊥BD，
∴∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝3，AF＝DF＝3，
∴BF＝10﹣3＝7，
∴AB2＝AF2+BF2＝76，
∴△ABC的面积＝AB2＝19，
故答案为：19．
三．解答题（本题共8小题，共72分。其中：19-20每题6分，21-26题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：||+（）﹣14cs30°．
【答案】5．
【解答】解：||+（）﹣14cs30°
＝+5﹣3+4×
＝+5﹣3+2
＝5．
20．先化简，再求值：，其中x＝．
【答案】，．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
把x＝+3代入得：
原式＝
＝
＝．
21．北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．x＜80，B．80≤x＜85，C．85≤x＜90，D．90≤x＜95，E．95≤x≤100），下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：90，90，91，93．
b．乙校20名志愿者的成绩是：81，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，93，94，100．
c．扇形统计图如下：
d．两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）由上表填空：a＝ 92 ，b＝ 96 ，α＝ 90 °．
（2）你认为哪个学校的志愿者测试成绩较好，请说明理由（写出一条即可）．
（3）若甲校有100名志愿者，乙校有200名志愿者参加了此次侧试，估计此次参加测试的志愿者中，成绩在95分及其以上的志愿者有多少？
【答案】（1）92，96，90．
（2）乙校志愿者测试成绩较好；理由见解析．
（3）125人．
【解答】解：（1）甲校在E组人数为：20×45%＝9（人），则第10、11个数据分别为91、93，
则a＝＝92，
乙校：96出现4次最多，则b＝96，
甲校C组：20﹣4﹣9﹣20×（5%+5%）＝5（人），则，
故答案为：92，96，90；
（2）乙校志愿者较好．
理由如下：
∵甲、乙两校的平均数虽然相同，甲校的方差为36.6，乙校的方差是31.4，而36.6＞34.1，
∴乙校的成绩较为稳定，
∴乙校志愿者测试成绩较好；
（3）乙校成绩在95分及其以上的志愿者共8人，
根据题意得：（人），
答：成绩在95分及其以上的志愿者有125人．
22．如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
（1）在图1中，以C为位似中心，位似比为1：2，在格点上将△ABC放大得到△A1B1C1；请画出
△A1B1C1．
（2）在图2中，线段AB上作点M，利用格点作图使得．
（3）在图3中，利用格点在AC边上作一个点D，使得△ABD∽△ACB．
【答案】见解答．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1为所作；
（2）如图2，点M为所作；
（3）如图3，点D为所作．
23．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin18°≈0.31，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：延长BC交AD于点E，则AE＝AD﹣DE＝0.6m．
BE＝≈1.875m，CE＝≈0.346m．
所以BC＝BE﹣CE≈1.529m．
所以MN＝BC≈1.5m．
答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为1.5m．
24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点O作OH∥BC交BE的延长线于H，连接CH与DH．
（1）求证：△BCE≌△HOE；
（2）当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）矩形，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵OH∥BC，
∴∠BCE＝∠HOE，
∵E是OC的中点，
∴CE＝OE，
在△BCE和△HOE中，
，
∴△BCE≌△HOE（ASA）；
（2）解：当四边形ABCD是矩形时，四边形OCHD为菱形，理由如下：
由（1）可知，△BCE≌△HOE，
∴BE＝HE，
∵CE＝OE，
∴四边形BCHO是平行四边形，
∴CH＝OB，CH∥OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴CH＝OD，OC＝OD，
∴四边形OCHD是平行四边形，
又∵OC＝OD，
∴平行四边形OCHD是菱形．
25．如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，CE与DF交于点G（4，3）．
（1）当点D恰好是FG中点时，求此时点C的横坐标；
（2）如图2，连接EF，求证：CD∥EF；
（3）如图3，将△CGD沿CD折叠，点G恰好落在边OB上的点H处，求此时反比例函数的解析式．
【答案】（1）2；
（2）见解答；
（3）y＝．
【解答】（1）解：当点D恰好是FG中点时，则点D（4，），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：＝，解得：k＝6，
即反比例函数的表达式为：y＝，
当y＝3时，则3＝，解得：x＝2，
即此时点C的横坐标是2；
（2）证明：设点D（4，），C（k，3），
则GD＝3﹣，则＝1﹣，
同理可得：，
∴CD∥EF；
（3）解：过点C作CN⊥OB于点N，
设GD＝HD＝x，CG＝CH＝a，则EC＝4﹣a，DF＝3﹣x，
即点C、D的坐标分别为（4﹣a，3）、（4，3﹣x），
则3（4﹣a）＝4（3﹣x）①，
∵∠CHD＝90°，
∴∠NCH+∠FHD＝90°，∠NCH+∠HNC＝90°，
∴∠NCH＝∠DHF，
∴sin∠NCH＝sin∠DHF，即②，
联立①②并解得：x＝，
则点D（4，），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：＝，
解得：k＝，
故反比例函数的表达式为：y＝．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当△PBC的面积最大时，请求出P点的坐标和△PBC的面积最大值；
（3）如图2，点N为线段OC上一点，连接AN，求的最小值．
【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；
（2）P（2，﹣6），8；
（3）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴，
解得：，
∴y＝x2﹣3x﹣4；
（2）y＝x2﹣3x﹣4，
当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为：y＝kx+m（k≠0），
则：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣4，
过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，设P（t，t2﹣3t﹣4），则：E（t，t﹣4），
∴PE＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴；
∵﹣2＜0，
∵点P为BC下方抛物线上一动点，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时，S△BPC的面积最大为8，此时P（2，4﹣6﹣4），即：P（2，﹣6）；
（3）过点C在y轴右侧作直线CF交x轴于点F，使∠OCF＝30°，过点N作NM⊥CF于点M，
则：，
∴，
∴当A，N，M三点共线时，的值最小，即为AM的长，如图：
∵A（﹣1，0），C（0，﹣4），
∴OA＝1，OC＝4，
∵∠FCO＝30°，
∴∠AFM＝60°，，
∴，
∴；
∴的最小值为．
2
3
4
2
5
6
3
5
7
4
6
7
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
92
a
95
36.6
乙
92
92.5
b
31.4