沪教版七年级数学下册满分冲刺卷特训05三角形的有关概念压轴题(上海精选归纳)(原卷版+解析)

这是一份沪教版七年级数学下册满分冲刺卷特训05三角形的有关概念压轴题(上海精选归纳)(原卷版+解析)，共58页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2021春·上海·七年级校考期中）如图1，、的角平分线、相交于点，
(1)如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；
(2)如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数；
(3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）
解：（1）结论：______度．
说理如下：因为、平分和（已知），
所以，（角平分线的意义）．
因为，（ ）
（完成以下说理过程）
2．（2022春·上海·七年级期中）已知，直线GE上有一点C，B在直线GE外
(1)如图1，点A在GE上，作∠BAG，∠BCG的平分线 AF，CF交于点F，请直接写出∠B与∠F数量关系．
(2)如图2，A在直线外（在B点的下方，直线GE的上方），过A作HD∥GE，试说明∠BCE+∠ABC＝∠BAD．
(3)如图3，HD∥GE，分别作∠BAH与∠BCG的角平分线，两线交于点F．问∠B与∠F有何数量关系，试说明．
3．（2019春·上海金山·七年级统考期中）如图，平分，点、、分别是射线、、上的点（点、、不与点重合），联结，交射线与点．
（1）如果，平分，试判断与射线的位置关系，试说明理由；
（2）如果，，垂足为点，中有两个相等的角，请直接写出的大小．
4．（2019春·上海嘉定·七年级校考期中）已知直线AB∥CD，E、F分别为直线AB、CD上的点，P为平面内任意一点，联结PE和PF.
(1)当点P的位置如图1所示时，说明∠EPF = ∠BEP +∠DFP.
(2) 当点P的位置如图2所示时，过点P作∠EPF的平分线交直线AB、CD分别于M、N, 过点F作FH⊥PN，垂足为H，若∠BEP=20°，求∠CNP-∠PFH的度数．
5．（2019春·上海·七年级上海市市西初级中学校考期中）结合“爱市西，爱生活，会创新”的主题，某同学设计了一款“地面霓虹探测灯”，增加美观的同时也为行人的夜间行路带去了方便．他的构想如下：在平面内，如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．
（1）填空：______；
（2）若灯射线先转动60秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
6．（2019春·上海闵行·七年级统考期中）（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数．
（2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，且B、P、D三点共线，，则_________．
（3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数．
7．（2022春·上海·七年级专题练习）【阅读理解】题目：如图①，∠ABE和∠DCE的边AB与CD互相平行，边BE与CE交于点E．若，，求∠BEC的度数．
老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）．
解：如图②，过点E作．
∴（）．
∵，
∴．
∵（），
∴（）．
∴（）
∵，
∴．
∴（）°
【问题迁移】如图③，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是线段DG上一点，连结PE、PF．若，，求∠EPF的度数．
【拓展应用】如图④，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是射线DG上一点，连结PE、PF．若，，直接写出∠EPF与、之间的数量关系．
8．（2020秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图，直线，，在上，且满足，平分．
(1)求的度数；
(2)若平行移动，那么的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
(3)在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
9．（2022春·上海·七年级期中）如图，直线，连接，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合射线所组成的角是角）
(1)当动点P落在第①部分时，求证：；
(2)当动点P落在第②部分时，是否成立？请说明理由．
(3)当动点P在第③部分时，全面探究之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
10．（2022春·上海·七年级专题练习）如图1，∠A1BC、∠A1CM的角平分线BA2、CA2相交于点A2，
(1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由；
解：（1）结论：∠A2＝ 度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），
所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（ ）．
因为∠A1CM＝∠A1BC+∠ ，∠2＝∠1+∠ （ ），
（完成以下说理过程）
(2)如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数；
(3)如图2，重复上述过程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分线BAn、CAn相交于点An得到∠An，设∠A1＝θ，请用θ表示∠An（直接写出答案）
11．（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
(1)在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为 倍角三角形；
(2)如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F；
①说明∠ABO＝2∠E的理由；
②若△AEF为4倍角三角形，直接写出∠ABO的度数．
12．（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，
(1)如图1，点E，F分别是AC，AB上一点，若BE，CF相交于点G，请说明∠BGC＝∠1+∠A+∠2；
(2)如图2，若BE，CF分别是AC，AB上的高，请说明∠1＝∠2理由；
(3)如图3，若∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，则：
①∠1+∠2+∠3＝ ；
②若过点G作GH⊥BC于点H，发现∠BGD＝∠CGH，请说明理由．
13．（2022春·上海·七年级专题练习）（1）在锐角△ABC中，BC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠APC＝110°，求∠B的度数；
（2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD．当点D在直线AC上时，∠APC＝100°，则∠B的度数；
（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．
14．（2022春·上海闵行·七年级上海市闵行区莘松中学校考期中）如图已知点E是△ABC的边BC的延长线上的一点，点D是∠ABC内的一动点．
(1)如图1，当∠ABC＝∠ECD时，则∠A＝ ．（填相等的角）
(2)如图2，当∠ACD＝∠ABC时，请写出与∠A相等的角，并说明为什么？
(3)如图3当ABDC，BD平分∠ABC，AC平分∠BCD时，试判断线段AC和射线BD的位置关系，并说明理由．
15．（2021春·上海·七年级上海市第二初级中学校考期中）解答下列各题
(1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有______与的面积相等．
(2)解答下题．
①如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为______．
②如图3，、、三点在同一直线上， ，垂足为．若，，，，求的面积．
(3)如图4，在四边形中，与不平行，，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）．
16．（2021春·上海·七年级上海市风华初级中学校考期中）（1）如图1，在中，已知和的角平分线BD、CE相交于点O，若，求的度数，并说明理由．
（2）如图2，在中，、的三等分线交于点、，若，则______°（用含有m的代数式表示，直接写出结果）．
17．（2021春·上海·七年级上海市风华初级中学校考期中）在中，G是边BC上一点，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，M为直线DE上一点，N为直线GD上一点，．
(1)如图1，当点M在线段DE上，点N在线段DG上时，与相等吗，为什么？
(2)当点M在线段ED的延长线上，点N在线段GD的延长线上时，请在图2中画出相应的图形，并直接写出与的数量关系______．
(3)在第（2）题的条件下，直线DG交AC的延长线于点F，若，，则______°．（直接写结果）
18．（2021春·上海·七年级上海市西南模范中学校考期中）如图a，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，将纸带沿EF折叠后，点C,D分别落在H，G的位置，再沿BC折叠成图b
（1）图a中，若，则______，______
（2）图b中，，当为何值时，
19．（2022春·上海·七年级专题练习）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为_____°，△AOB_______．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC_______（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
20．（2022春·上海·七年级专题练习）已知中，记，.
（1）如图，若平分，、分别是的外角和的平分线，，用含的代数式表示的度数，用含的代数式表示的度数，并说明理由.
（2）如图，若点 为的三条内角平分线的交点，于点 ， 猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论.
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21．（2018春·上海嘉定·七年级校联考期中）课本拓展
旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______．
3拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由）
22．（2022春·上海·七年级专题练习）如图①，点O为直线MN上一点，过点O作直线OC，使∠NOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线AB的下方，其中∠OBA=30°
（1）将图②中的三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度数；
（2）将图①中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜360°），在旋转的过程中，在第几秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；
（3）将图①中的三角尺绕点O顺时针旋转，当点A点B均在直线MN上方时（如图③所示），请探究∠MOB与∠AOC之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．
23．（2022春·上海闵行·七年级上海市七宝中学校考期中）已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D，
（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；
（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．
24．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）如图1所示，已知点E在直线上，点F，G在直线上且，平分，如图2所示，H是上点E右侧一动点，的平分线交的延长线于点Q，设，
(1)若，求的度数；
(2)判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，求出α和β的数量关系；若变化，请说明理由．
25．（2020春·上海静安·九年级校考专题练习）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
(1) 如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 °；
②当∠BAD=∠ABD时，x= °；当∠BAD=∠BDA时，x= °．
(2) 如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
26．（2019秋·上海浦东新·七年级统考期末）如图①，点为直线上一点，过点作直线，使．将一把直角三角尺的直角顶点放在点处，一边 在射线上，另一边在直线的下方，其中
将图②中的三角尺沿直线翻折至， 求的度数；
将图①中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为， 在旋转的过程中，在第几秒时，直线恰好平分锐角．
将图①中的三角尺绕点顺时针旋转；当点点均在直线上方时(如图③所示)，请探究与之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．
特训05 三角形的有关概念 压轴题（上海精选归纳）
一、解答题
1．（2021春·上海·七年级校考期中）如图1，、的角平分线、相交于点，
(1)如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；
(2)如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数；
(3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）
解：（1）结论：______度．
说理如下：因为、平分和（已知），
所以，（角平分线的意义）．
因为，（ ）
（完成以下说理过程）
【答案】(1)32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质进行求解即可；
（2）根据（1）的解法进行求解即可；
（3）利用（1）的结论求解即可．
【解析】（1）解：结论：；理由如下：
∵、的角平分线、相交于点，
∴，（角平分线的意义），
∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴，（等式性质），
∴（等量代换），
∴；
（2）解：∵、的角平分线、相交于点，
∴，（角平分线的意义），
∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴，（等式性质），
∴（等量代换），
∴；
（3）解：∵，、，
∴当，=．
【点睛】本题主要考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解答本题的关键．
2．（2022春·上海·七年级期中）已知，直线GE上有一点C，B在直线GE外
(1)如图1，点A在GE上，作∠BAG，∠BCG的平分线 AF，CF交于点F，请直接写出∠B与∠F数量关系．
(2)如图2，A在直线外（在B点的下方，直线GE的上方），过A作HD∥GE，试说明∠BCE+∠ABC＝∠BAD．
(3)如图3，HD∥GE，分别作∠BAH与∠BCG的角平分线，两线交于点F．问∠B与∠F有何数量关系，试说明．
【答案】(1)∠B＝2∠F
(2)见解析
(3)∠B＝2∠F；理由见解析
【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠BND＝∠BCE，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到∠FMH＝∠FCG，∠BNH＝∠BCG，根据角平分线的定义得到∠BAH＝2∠FAH，∠BCG＝2∠FCG，等量代换得到∠BNH＝2∠FMH，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵AF、CF分别平分∠CAB、∠GCB，
∴，，
∵∠GCB为△ABC的外角，
∴，
∵为△ACF的外角，
∴，
，
，，
∴，
∴．
（2），
∴∠BND＝∠BCE，
∵∠BAD＝∠BND+∠ABC，
∴∠BCE+∠ABC＝∠BAD．
（3）∠B＝2∠F；
，
∴∠FMH＝∠FCG，∠BNH＝∠BCG，
∵FA，FC是∠BAH与∠BCG的角平分线，
∴∠BAH＝2∠FAH，
∠BCG＝2∠FCG，
∴∠BNH＝2∠FMH，
∵∠BNH＝∠B+∠BAH，
∠FMH＝∠F+∠FAH，
∴∠B＝2∠F．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握两直线平行同位角相等，三角形外角的性质，是解题的关键．
3．（2019春·上海金山·七年级统考期中）如图，平分，点、、分别是射线、、上的点（点、、不与点重合），联结，交射线与点．
（1）如果，平分，试判断与射线的位置关系，试说明理由；
（2）如果，，垂足为点，中有两个相等的角，请直接写出的大小．
【答案】（1）与射线垂直，理由见解析；（2）的大小为或或．
【分析】（1）先根据平行线的性质、角平分线的定义得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形的外角性质、领补角的定义即可得出结论；
（2）先根据角平分线的定义、直角三角形的性质求出和的度数，再根据“中有两个相等的角”分三种情况，然后分别根据三角形的外角性质、角的和差求解即可得．
【解析】（1）与射线垂直，理由如下：
如图1，
平分，平分
，
由三角形的外角性质得：
又
即与射线垂直；
（2）平分，
如图2，由题意，分以下三种情况：
①当时
（三角形的外角性质）
②当时
③当时
则
解得
综上，的大小为或或．
【点睛】本题考查了平行线的性质、垂直的定义、三角形的外角性质等知识点，较难的是题（2），依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．
4．（2019春·上海嘉定·七年级校考期中）已知直线AB∥CD，E、F分别为直线AB、CD上的点，P为平面内任意一点，联结PE和PF.
(1)当点P的位置如图1所示时，说明∠EPF = ∠BEP +∠DFP.
(2) 当点P的位置如图2所示时，过点P作∠EPF的平分线交直线AB、CD分别于M、N, 过点F作FH⊥PN，垂足为H，若∠BEP=20°，求∠CNP-∠PFH的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70
【分析】(1)过点P作MP//AB，则AB//MP//CD,根据平行线的性质可得∠BEP=∠EPM,∠DFP=∠MPF,从而得到结论;
(2) 过点H作HG//AB，由（1）可得∠3+∠4＝∠5+∠6，结合三角形外角的性质可得：∠1+∠BEP+∠NFP-∠PFH=90，再加上∠CNP＝∠NFP+∠2，∠1＝∠2即可得到∠CNP+∠BEP－∠PFH=90，从而得出结论.
【解析】（1）过点P作MP//AB,如图所示：
∵AB∥CD，
∴AB//MP//CD,
∴∠BEP=∠EPM,∠DFP=∠MPF,
∴∠BEP+∠DFP =∠EPM+∠MPF,
即∠EPF = ∠BEP +∠DFP；
（2）过点H作HG//AB,
由（1）可得：∠3+∠4＝∠5+∠6，
∵∠5=∠1+∠BEP,∠6=∠NFP-∠PFH, FH⊥PN，
∴∠3+∠4＝90,即∠1+∠BEP+∠NFP-∠PFH=90,
又∵∠CNP＝∠NFP+∠2，∠1＝∠2（角平分线的定义）
∴∠2+∠BEP+∠NFP-∠PFH=90，即∠CNP+∠BEP－∠PFH=90，
又∵∠BEP=20°，
∴∠CNP－∠PFH＝70.
【点睛】考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
5．（2019春·上海·七年级上海市市西初级中学校考期中）结合“爱市西，爱生活，会创新”的主题，某同学设计了一款“地面霓虹探测灯”，增加美观的同时也为行人的夜间行路带去了方便．他的构想如下：在平面内，如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．
（1）填空：______；
（2）若灯射线先转动60秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【答案】（1）120；（2）灯转动100秒，两灯的光束互相平行；（3）在转动过程中，和关系不会变化，且有，理由见解析．
【分析】（1）先根据角的倍差求出的度数，再根据平行线的性质即可得；
（2）设A灯转动时间为t秒，先求出两个临界位置：灯射线从开始顺时针旋转至、灯射线从开始顺时针旋转至，再分三种情况，分别利用平行线的性质列出等式求解即可得；
（3）先根据角的和差求出，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据角的和差可得，由此即可得．
【解析】（1）∵，
∴
（两直线平行，内错角相等）
故答案为：120；
（2）设A灯转动时间为t秒
灯射线从开始顺时针旋转至所需时间为（秒），灯射线从开始顺时针旋转至所需时间为（秒）
灯射线从开始顺时针旋转至所需时间为（秒）
则t的取值范围为，即
由题意，分以下三种情况：
①当时，如图1所示
∵
∴
∵
∴
∴
∴
解得
此时，
即两灯的光束重合，不符题意，舍去
②当时，如图2所示，此时灯A射线未从AN回转
∵
∴
∵
∴
∴
∴
解得（不符题设，舍去）
③当时，如图2所示，此时灯A射线旋转至AN，并已开始回转
∵
∴
∵
∴
∴
∴
解得，符合题设
综上，灯转动100秒，两灯的光束互相平行；
（3）和关系不会变化，且有，理由如下：
设灯A射线转动时间为t秒
∵
∴
又∵
∴
∴
∴，即
故在转动过程中，和关系不会变化，且有．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分、三角形的内角和定理等知识点，较难的是题（2），依据题意，找出两个临界位置，进而分三种情况讨论是解题关键．
6．（2019春·上海闵行·七年级统考期中）（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数．
（2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，且B、P、D三点共线，，则_________．
（3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可；
（2）法一：根据以及和分别平分和，算出和,从而算出；
法二：根据三角形的外角定理得到∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB，再求出∠PAB＋∠PCB，故可求解；
（3）法一：连接AC，根据三角形的内角和与角平分线的性质分别求出，，故可求解；
法二：连接BD并延长到G根据三角形的外角定理得到∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，再求出∠2＋∠4，故可求解．
【解析】（1）如图边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为
∴
又∵
∴
∵在四边形中，内角和为
∴．
（2）法一：∵和分别平分和
∴
又∵
∴
∴
∴．
法二：连接BD，∵B、P、D三点共线
∴BD、AF、CE交于P点
∵∠APD=∠BAP+∠ABP，∠CPD=∠BCP+∠CBP，
∴∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB
∵和分别平分和，
∴∠PAC=∠PAB，∠PCA=∠PCB，
∵∠APC＝100°，
∴∠PAC＋∠PCA＝180°−100°＝80°，
∴∠PAB＋∠PCB＝80°，
∴∠B＝∠APC −（∠PAB＋∠PCB）＝100°−80°＝20°．
（3）法一：如图：连接AC
∵，
∴
∴
又∵和分别平分和
∴
∴
∴．
法二：如图，连接BD并延长到G，
∵∠ADG＝∠2＋∠APD，∠CDG＝∠4＋∠CPD，
∴∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，
∴∠2＋∠4=30°
同理可得∠APC＝∠1＋∠3＋∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠B＝∠APC-∠2-∠4=100°-30°=70°
∴∠B＝70°．
【点睛】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2022春·上海·七年级专题练习）【阅读理解】题目：如图①，∠ABE和∠DCE的边AB与CD互相平行，边BE与CE交于点E．若，，求∠BEC的度数．
老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）．
解：如图②，过点E作．
∴（）．
∵，
∴．
∵（），
∴（）．
∴（）
∵，
∴．
∴（）°
【问题迁移】如图③，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是线段DG上一点，连结PE、PF．若，，求∠EPF的度数．
【拓展应用】如图④，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是射线DG上一点，连结PE、PF．若，，直接写出∠EPF与、之间的数量关系．
【答案】【阅读理解】两直线平行，同旁内角互补；已知；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，或平行于同一条直线的两条直线平行；∠DCE；100．
【问题迁移】70°
【拓展应用】∠EPF＝或∠EPF＝．
【分析】[阅读理解]如图②，过点E作EF//AB，根据推理步骤逐步写出答案即可；
[问题迁移]如图，过点P作PQ//DE，先求出∠EPQ=∠DEP=40°，再求∠FPQ=∠GFP=30°，得∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°即可；
[拓展应用]当点P在线段DG上，过点P作PQ//DE，先证明∠EPQ=∠DEP=，再证明∠FPQ=∠GFP=B，得∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=+；当点P在线段DG的延长线上时，先证明∠FHE=∠DEP=，已知∠EPF=∠FHE-∠PFA，得∠EPF=-．
【解析】解：【阅读理解】如图②，过点E作．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴．
∵（已知），
∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
∴（∠DCE）
∵，
∴．
∴（100）°．
故答案是：两直线平行，同旁内角互补；已知；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠DCE；100．
【问题迁移】如图，过点P作PQ//DE．
∴∠EPQ＝∠DEP＝40°．
∵DE//FG，
∴PQ//FG．
∴∠FPQ＝∠GFP＝30°．
∴∠EPF＝∠EPQ＋∠FPQ＝70°．
【拓展应用】当点P在线段DG上，过点P作PQ//DE，
∴∠EPQ=∠DEP=，
∵DE//FG
∴PQ//FG
∴∠FPQ=∠GFP=
∴∠EPF=∠EPQ+∠QPF=；
当点P在线段DG的延长线上时，
∴∠FHE=∠DEP=，
∵∠EPF=∠FHE-∠PFA，
∴∠EPF=．
∴∠EPF＝或∠EPF＝．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形的外角性质、角的和差等知识点；熟练掌握平行线的判定与性质、正确作出辅助线是解答本题的关键．
8．（2020秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图，直线，，在上，且满足，平分．
(1)求的度数；
(2)若平行移动，那么的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
(3)在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，是定值，
(3)存在，
【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，再由平分可知，结合，由即可获得答案；
（2）根据“两直线平行，内错角相等”可得，结合可知，可推导，即可获得答案；
（3）在和中，根据内角和定理可知，即可推导是的四等分线，可得，根据可求得的度数，可知存在某种情况，使，此时．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，是定值；
（3）在和中，
∵，，
∴，
又∵，，
∴是的四等分线，
∴，
∴，
故存在某种情况，使，此时．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，理解并掌握平行线的性质是解题关键．
9．（2022春·上海·七年级期中）如图，直线，连接，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合射线所组成的角是角）
(1)当动点P落在第①部分时，求证：；
(2)当动点P落在第②部分时，是否成立？请说明理由．
(3)当动点P在第③部分时，全面探究之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)不成立，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）延长AP交BD于M，根据三角形外角性质和平行线性质得出∠APB=∠AMB+∠PBD，∠PAC=∠AMB，代入求出即可；
（2）过P作EF∥AC，根据平行线性质得出∠PAC+∠APF=180°，∠PBD+∠BPF=180°，即可得出答案；
（3））①当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．②当动点P在射线BA上时，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB
【解析】（1）如图1，延长AP交BD于M．
∵AC//BD，
∴∠PAC＝∠AMB．
∵∠APB＝∠AMB＋∠PBD，
∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD．
（2）∠APB＝∠PAC＋∠PBD不成立．
理由：如图2，过点P作EF//AC．
∵AC//BD，
∴AC//EF//BD，
∴∠PAC＋∠APF＝180°，∠PBD＋∠BPF＝180°，
∴∠PAC＋∠APF＋∠PBD＋∠BPF＝360°，
∴∠APB＋∠PAC＋∠PBD＝360°，
∴∠APB＝360°－∠PAC－∠PBD．
∵∠APB≠180°，
∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD不成立；
（3）①当动点P在射线BA右侧时， 如图3， 结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB．
理由是： ∵AC//BD
∴∠PMC＝∠PBD．
∵∠PMC＝∠PAC＋∠APB，
∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB；
②当动点P在射线BA上时，如图4，
结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB
（或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°）．
理由是：∵AC//BD，
∴∠PAC＝∠PBD．
∵∠APB＝0°，
∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB或∠PAC＝∠PBD＋∠APB；
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，用了分类讨论思想，考查对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况．
10．（2022春·上海·七年级专题练习）如图1，∠A1BC、∠A1CM的角平分线BA2、CA2相交于点A2，
(1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由；
解：（1）结论：∠A2＝ 度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），
所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（ ）．
因为∠A1CM＝∠A1BC+∠ ，∠2＝∠1+∠ （ ），
（完成以下说理过程）
(2)如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数；
(3)如图2，重复上述过程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分线BAn、CAn相交于点An得到∠An，设∠A1＝θ，请用θ表示∠An（直接写出答案）
【答案】(1)34；角平分线的定义；A1；A2，过程见解析
(2)17°
(3)
【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解；
（2）根据（1）的解法即可直接求解∠A3的度数；
（3）利用（1）的结论找到规律，求解即可．
【解析】（1）解：结论：∠A2＝34度．
说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），
所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（角平分线的意义）．
因为∠A1CM＝∠A1BC+∠A1，∠2＝∠1+∠A2（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
所以∠A2＝∠A1，
因为∠A1＝68°，
所以∠A2＝34°，
故答案为：34；角平分线的定义；A1；A2．
（2）解：∠A3＝17°，理由如下：
由（1）得：∠A1＝2∠A2，∠A2＝2∠A3，
∴∠A3＝∠A1=17°．
（3）解：∠An＝，理由如下：
由（1）中结论知，∠A1＝2∠A2，∠A2＝2∠A3，∠A3＝2∠A4，…，
∴∠A1＝∠An，
∴∠An＝．
【点睛】本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，解题关键是解决（1）后利用其结论解答．
11．（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
(1)在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为 倍角三角形；
(2)如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F；
①说明∠ABO＝2∠E的理由；
②若△AEF为4倍角三角形，直接写出∠ABO的度数．
【答案】(1)3
(2)①见解析；②45°或36°
【分析】（1）由∠E＝40°，∠F＝35°可知∠D＝105°，再根据n倍角三角形的定义可得结论．
（2）①根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果．
②首先证明∠EAF＝90°，分∠EAF＝4∠E和∠F＝4∠E两种情形分别求解即可．
【解析】（1）解：∵∠E＝40°，∠F＝35°，
∴∠D＝180°﹣40°﹣35°＝105°，
∴∠D＝3∠F，
∴△ABC为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）解：①∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，
∴∠BAO＝2∠EAQ，∠BOQ＝2∠EOQ，
由外角的性质可得：∠BOQ＝∠BAO+∠ABO，∠EOQ＝∠EAQ+∠E，
∴∠ABO＝∠BOQ﹣∠BAO＝2∠EOQ﹣2∠EAQ＝2∠EAQ+2∠E﹣2∠EAQ＝2∠E，
∴∠ABO＝2∠E．
②∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，
∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°，
∵△EAF是4倍角三角形，
∴当∠EAF＝4∠E时，∠E＝×90°＝22.5°，
当∠F＝4∠E时，∠E＝×90°＝18°，
∵∠ABO＝2∠E，
∴∠ABO＝45°或36°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，角的和差计算等，读懂新定义n倍角三角形的意义并注意分类讨论是解决问题的基础和关键．
12．（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，
(1)如图1，点E，F分别是AC，AB上一点，若BE，CF相交于点G，请说明∠BGC＝∠1+∠A+∠2；
(2)如图2，若BE，CF分别是AC，AB上的高，请说明∠1＝∠2理由；
(3)如图3，若∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，则：
①∠1+∠2+∠3＝ ；
②若过点G作GH⊥BC于点H，发现∠BGD＝∠CGH，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①90°
②见解析
【分析】（1）根据三角形的外角性质，求得∠BGC＝∠BGP+∠CGP，据此进行计算即可；
（2）根据BE，CF分别是AC，AB上的高，可得△ABE和△ACF是直角三角形，进而得出∠1+∠A＝∠2+∠A＝90°，据此可得∠1＝∠2；
（3）根据∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，可得∠1+∠2+∠3＝（∠ABC+∠ACB+∠BAC），据此进行计算即可；②根据∠BGD是△ABG的外角，得出∠BGD＝∠1+∠3＝∠ABC+∠BAC＝90°﹣∠ACB，再根据CF平分∠ACB，GH⊥BC，可得Rt△CHG中，∠CGH＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB，进而得到∠BGD＝∠CGH．
（1）
解：∵如图1，连接AG并延长至P，
∵∠BGP是△ABG的外角，
∴∠BGP＝∠1+∠BAP，
同理可得，∠CGP＝∠2+∠CAP，
∴∠BGC＝∠BGP+∠CGP＝∠1+∠BAP+∠2+∠CAP＝∠1+∠A+∠2；
（2）
解：∵如图2，BE，CF分别是AC，AB上的高，
∴△ABE和△ACF是直角三角形，
∴∠1+∠A＝∠2+∠A＝90°，
∴∠1＝∠2；
（3）
解：①如图3，∵∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∠3＝∠BAC，
∴∠1+∠2+∠3＝（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝×180°＝90°，
故答案为：90°；
②∵∠BGD是△ABG的外角，
∴∠BGD＝∠1+∠3＝∠ABC+∠BAC
＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，
∵CF平分∠ACB，
∴∠GCH＝∠ACB，
∵GH⊥BC，
∴Rt△CHG中，∠CGH＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB，
∴∠BGD＝∠CGH．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：三角形内角和等于180°．解决第（3）问的难点在于将∠BGD和∠CGH都用90°﹣∠ACB表示出来．
13．（2022春·上海·七年级专题练习）（1）在锐角△ABC中，BC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠APC＝110°，求∠B的度数；
（2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD．当点D在直线AC上时，∠APC＝100°，则∠B的度数；
（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．
【答案】（1）70°；（2）20°；（3）70°
【分析】（1）利用三角形的外角的性质求出∠PAE即可解决问题．
（2）利用三角形的内角和定理求出∠PAC+∠PCA，再根据角平分线的定义求出∠BAC+∠BCA即可解决问题．
（3）先证∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B，再由角平分线定义知∠1＝∠2，∠3＝∠4，进行等量代换即可解决问题．
【解析】解：（1）如图1中，
∵AF，CE是高，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
∵∠APC＝∠AEP+∠PAE，
∴∠PAE＝110°﹣90°＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠PAE＝90°﹣20°＝70°．
（2）如图2中，
∵∠APC＝100°，
∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣100°＝80°，
∵AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA，
∴∠BAC+∠BCA＝160°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣160°＝20°．
（3）如图3中，连接PD延长于点H，
∵∠ADH＝∠2+∠APD，∠CDH＝∠3+∠CPD，
∴∠ADC＝∠2+∠APD+∠3+∠CPD＝∠2+∠3+∠APC，
同理，∠APC＝∠1+∠4+∠B，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ADC＝130°，∠APC＝100°，
∴∠B＝∠APC ﹣∠1﹣∠4＝∠APC ﹣∠2﹣∠3＝∠APC ﹣(∠ADC ﹣∠APC ) ＝70°．
【点睛】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，第3问中通过作辅助线证明∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B是解题的关键．
14．（2022春·上海闵行·七年级上海市闵行区莘松中学校考期中）如图已知点E是△ABC的边BC的延长线上的一点，点D是∠ABC内的一动点．
(1)如图1，当∠ABC＝∠ECD时，则∠A＝ ．（填相等的角）
(2)如图2，当∠ACD＝∠ABC时，请写出与∠A相等的角，并说明为什么？
(3)如图3当ABDC，BD平分∠ABC，AC平分∠BCD时，试判断线段AC和射线BD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)∠ACD
(2)∠A＝∠DCE，理由见解析
(3)AC⊥BD，理由见解析
【分析】（1）由∠ABC＝∠ECD根据平行线的判定定理可得，AB∥CD，再根据平行线的性质即可得出答案；
（2）根据三角形的外角和定理可知，∠ACE＝∠A+∠ABC，由已知∠ACD＝∠ABC，进行计算即可得出答案；
（3）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得出∠ABC+∠BCD＝180°，由角平分线的性质可得∠OBC＝∠ABC，，可得出∠OBC+∠OCB＝90°，即可得出答案．
（1）
解：∵∠ABC＝∠ECD，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠ACD．
故答案为：∠ACD；
（2）
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，
又∵∠ACD＝∠ABC，
∴∠A＝∠DCE；
（3）
AC⊥BD．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，
∴∠OBC＝∠ABC，，
∴，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°，
∴AC⊥BD．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角和定理及角平分线的性质，熟练应用相关的性质进行计算是解决本题的关键．
15．（2021春·上海·七年级上海市第二初级中学校考期中）解答下列各题
(1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有______与的面积相等．
(2)解答下题．
①如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为______．
②如图3，、、三点在同一直线上， ，垂足为．若，，，，求的面积．
(3)如图4，在四边形中，与不平行，，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）．
【答案】(1)
(2)①15；②
(3)图见解析，理由见解析
【分析】（1）根据，可得和同底等高，即可求解；
（2）①先求出，再由，可得△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，即可求解；
②先求出=，再由，，可得AC∥BF，从而得到，即可求解；
（3）过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，可得，从而得到，即可求解．
(1)
解：∵，
∴和同底等高，
则与的面积相等；
(2)
解：①∵，且边上的高为5，
∴，
∵，
∴△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，
∴；
②∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴∠EBG=120°，
∴∠EBF=60°，
∴∠EBF=∠BAC，
∴AC∥BF，
∴；
(3)
解：
如图，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，理由如下：
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．
【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键．
16．（2021春·上海·七年级上海市风华初级中学校考期中）（1）如图1，在中，已知和的角平分线BD、CE相交于点O，若，求的度数，并说明理由．
（2）如图2，在中，、的三等分线交于点、，若，则______°（用含有m的代数式表示，直接写出结果）．
【答案】（1）；理由见解析；（2）
【分析】（1）先根据三角形内角和定理算出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理算出的度数即可；
（2）先根据，结合三角形内角和定理，用m表示出和，算出即可．
【解析】（1）∵在中，，
∴，
∵BD平分，CE平分，
∴，
在中，，
故．
（2）在中，∵，
∴，
∵，为的三等分线，，为的三等分线，
∴，
，
∴，
，
∴，
故．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，根据角的等分线的性质结合三角形内角和定理找出规律是解决本题的关键．
17．（2021春·上海·七年级上海市风华初级中学校考期中）在中，G是边BC上一点，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，M为直线DE上一点，N为直线GD上一点，．
(1)如图1，当点M在线段DE上，点N在线段DG上时，与相等吗，为什么？
(2)当点M在线段ED的延长线上，点N在线段GD的延长线上时，请在图2中画出相应的图形，并直接写出与的数量关系______．
(3)在第（2）题的条件下，直线DG交AC的延长线于点F，若，，则______°．（直接写结果）
【答案】(1)相等，证明见解析
(2)
(3)15
【分析】（1）根据DE∥BC，可得，从而得到，进而得到AB∥MN，即可求解；
（2）根据DE∥BC，可得，从而得到，进而得到AB∥MN，即可求解；
（3）由（2）可得：AB∥MN，从而得到，再由三角形外角的性质可得，即可求解．
（1）
解：相等，理由如下：
∵DE∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴AB∥MN，
∴．
（2）
解：画图如下，
∵DE∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴AB∥MN，
∴，
故答案为：．
（3）
解：如图，
由（2）得：AB∥MN，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案是：15．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定定理，三角形的外角性质定理是解题的关键．
18．（2021春·上海·七年级上海市西南模范中学校考期中）如图a，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，将纸带沿EF折叠后，点C,D分别落在H，G的位置，再沿BC折叠成图b
（1）图a中，若，则______，______
（2）图b中，，当为何值时，
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由AD∥BC，可得，根据折叠可得，根据平角的定义即可求得，在中，根据已知条件先求得，进而求得,根据三角形内角和定理求得，进而根据对顶角求得；
（2）根据已知条件，将用含的代数式表示出来，进而求得，根据题意列出方程，解方程即可求得的值．
【解析】四边形ABCD是长方形，
，
，，
折叠，
，，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
由折叠可知，，
，
，
，
沿折叠到，
，
，
若，
则，
解得，
当时，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，折叠的性质，理清题目中的角度关系是解题的关键．
19．（2022春·上海·七年级专题练习）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为_____°，△AOB_______．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC_______（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
【答案】（1）30；是；（2）是；（3）30°或52.5°或80°．
【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）求出∠OAC即可解决问题．
（3）分三种情形分别求出即可．
【解析】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”．
故答案为：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．
故答案为：是．
（3：①当∠ACB＝3∠ABC时，∵∠ABO＝30°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠OAC＝30°；
②当∠ABC＝3∠CAB时，
∵∠ABO＝30°，
∴∠CAB＝10°，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，
∵∠ABO＝30°，
∴4∠CAB＝150°，
∴∠CAB＝37.5°，
∴∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，分类思想，数学新定义问题，准确理解新定义，灵活运用分类思想是解题的关键．
20．（2022春·上海·七年级专题练习）已知中，记，.
（1）如图，若平分，、分别是的外角和的平分线，，用含的代数式表示的度数，用含的代数式表示的度数，并说明理由.
（2）如图，若点 为的三条内角平分线的交点，于点 ， 猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论.
.
.
【答案】（1），；（2），
【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出，根据邻补角的性质可求出，再根据角平分线的性质可得=，根据三角形内角和定理算出∠BPC．由三角形外角的性质得出，进而利用直角三角形两锐角互余求出.
（2）根据角平分线性质和三角形外角性质可得，
，进而可得答案.
【解析】（1）解：∵在中，，
∴
又∵，
∴
∴
∵在中，
∴
∵
∴
又∵平分
∴
同理
∵
∴
∴
∵在中，，
∴
（2）如图2，若点为的三条内角平分线的交点，于点，猜想（1）中的两个结论已发生变化
∵点为的三条内角平分线的交点，
∴，，
=，即： ，
∴，
，
∴，
.
故答案为；．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质．注意知识的灵活运用，对角进行代换运算．
21．（2018春·上海嘉定·七年级校联考期中）课本拓展
旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______．
3拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由）
【答案】（1）∠DBC+∠ECB =180°+∠A，理由见解析；（2）50°；（3）∠P=90°-∠A；（4）∠BAD+∠CDA =360°-2∠P，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；
（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；
（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解．
【解析】（1）∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB
=360°-（∠ABC+∠ACB）
=360°-（180°-∠A）
=180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C，
∴130°+∠2=180°+∠C，
∴∠2-∠C=50°；
（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A），
在△PBC中，∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A；
即∠P=90°-∠A；
故答案为50°，∠P=90°-∠A；
（4）延长BA、CD于Q，
则∠P=90°- ∠Q，
∴∠Q=180°-2∠P，
∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，
=180°+180°-2∠P，
=360°-2∠P．
【点睛】此题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，解题关键在于作辅助线
22．（2022春·上海·七年级专题练习）如图①，点O为直线MN上一点，过点O作直线OC，使∠NOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线AB的下方，其中∠OBA=30°
（1）将图②中的三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度数；
（2）将图①中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜360°），在旋转的过程中，在第几秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；
（3）将图①中的三角尺绕点O顺时针旋转，当点A点B均在直线MN上方时（如图③所示），请探究∠MOB与∠AOC之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．
【答案】（1）∠A′ON=60°；（2）第15或秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；（3）①当OB，OA在OC的两旁时，∠MOB-∠AOC=30°，②当OB，OA在OC的同侧时，∠MOB+∠AOC=120°-90°=30°．
【分析】（1）如图②中，延长CO到C′．利用翻折不变性求出∠A′O′C′即可解决问题；
（2）设t秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC．构建方程即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解析】（1）如图②中，延长CO到C′．
∵三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，
∴∠A′OC′=∠AOC′=∠CON=60°，
∴∠A′ON=180°-60°-60°=60°．
（2）设t秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC．
由题意10t=150或10t=330，
解得t=15或33s，
答：第15或秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；
（3）①当OB，OA在OC的两旁时，∵∠AOB=90°，
∴120°-∠MOB+∠AOC=90°，
∴∠MOB-∠AOC=30°．
②当OB，OA在OC的同侧时，∠MOB+∠AOC=120°-90°=30°．
【点睛】本题考查了翻折变换，旋转变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
23．（2022春·上海闵行·七年级上海市七宝中学校考期中）已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D，
（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；
（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）∠EAD+2∠C=90°，证明详见解析；（3）99°．
【分析】根据AC∥BD，得到又根据等量代换得到即可判定AD∥BC；
根据外角的性质得到又因为
根据三角形的内角和得到又即可得到它们的关系.
设 则 根据平行线的性质根据第问的结论求出的度数，根据内角和求出的度数.
【解析】（1）如图1，
∵AC∥BD，

又∵

∴AD∥BC；
（2）
证明：如图2，设CE与BD交点为G，
是是外角，



中，

又

（3）如图3，设 则


∵DF∥BC，

又


又

中，
24．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）如图1所示，已知点E在直线上，点F，G在直线上且，平分，如图2所示，H是上点E右侧一动点，的平分线交的延长线于点Q，设，
(1)若，求的度数；
(2)判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，求出α和β的数量关系；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，
【分析】（1）先证明，再依据，即可得到，依据平分，即可得到，根据进行计算即可；
（2）根据是的外角，是的外角，即可得到，，再根据平分，平分，即可得出，，最后依据进行计算，即可得到．
【解析】（1）平分，
，
，
，
，
，
平分，
，
；
（2）点在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化，
是的外角，是的外角，
，，
又平分，平分，
，，
，
即．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，解题的关键是利用三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
25．（2020春·上海静安·九年级校考专题练习）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
(1) 如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 °；
②当∠BAD=∠ABD时，x= °；当∠BAD=∠BDA时，x= °．
(2) 如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）①20，②120，60；（2）存在，x=20、35、50、125．
【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠ABO的度数；
②根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和，可得x的值；
（2）分两种情况进行讨论：当点D在线段OB上，点D在射线BE上时，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．
【解析】解：①∵∠MON=40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=20°；
②∵∠BAD=∠ABD，
∴∠BAD=20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=120°，
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°，
∴∠BAD=80°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=60°；
故答案为：①20°； ②120，60；
（2）①当点D在线段OB上时，
∵OE是∠MON的角平分线，
∴∠AOB=∠MON=20°，
∵AB⊥OM，
∴∠AOB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=70°，
若∠BAD=∠ABD=70°，则x=20，
若∠BAD=∠BDA=（180°-70°）=55°，则x=35，
若∠ADB=∠ABD=70°，则∠BAD=180°-2×70°=40°，
∴x=50；
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x=20、35、50、125．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
26．（2019秋·上海浦东新·七年级统考期末）如图①，点为直线上一点，过点作直线，使．将一把直角三角尺的直角顶点放在点处，一边 在射线上，另一边在直线的下方，其中
将图②中的三角尺沿直线翻折至， 求的度数；
将图①中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为， 在旋转的过程中，在第几秒时，直线恰好平分锐角．
将图①中的三角尺绕点顺时针旋转；当点点均在直线上方时(如图③所示)，请探究与之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．
【答案】（1）；（2）秒或秒；（3）或
【分析】（1）如图②中，延长CO到C′．利用翻折不变性求出∠A′O′C′即可解决问题；
（2）设t秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC．构建方程即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题，①当OB，OA在OC的两旁时，②当OB，OA在OC的同侧时，求出与之间的数量关系即可.
【解析】解：（1）如图②中，延长CO到C′，
∵三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，
∴∠A′OC′=∠AOC′=∠CON=60°，
∴∠A′ON=180°-60°-60°=60°；
（2）设t秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC，
由题意10t=150或10t=330，
解得t=15或33s，
则第15或33秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；
（3）①当OB，OA在OC的两旁时，
∵∠AOB=90°，
∴120°-∠MOB+∠AOC=90°，
∴∠MOB-∠AOC=30°；
②当OB，OA在OC的同侧时，∠MOB+∠AOC=120°-90°=30°.
综上，或.
【点睛】本题考查翻折变换，旋转变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．