苏科版七年级数学下册满分冲刺卷特训01平面图形的基本认识(二)压轴题(江苏精选归纳)(原卷版+解析)

这是一份苏科版七年级数学下册满分冲刺卷特训01平面图形的基本认识(二)压轴题(江苏精选归纳)(原卷版+解析)，共94页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，点P在直线，之间，连接，，，，直线l与直线，分别交于点M，N，，是的平分线，交直线于点O．
(1)求证：；
(2)若，时，求；
(3)将直线l向左平移，并保持，在平移的过程中（除点M与点E重合时），求的度数（用含的式子表示）．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）(1)探究：如图，，点、分别在直线、上，连接、，当点在直线的左侧时，试说明；
(2)变式：如图，将点移动到直线的右侧，其他条件不变，试探究、、之间的关系，并说明理由；
(3)(问题迁移)如图，，点在的上方，问、、之间有何数量关系？请说明理由；
(4)(联想拓展)如图所示，在的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知：直线，M，N分别在直线，上，H为平面内一点，连，．
(1)如图1，延长至G，和的角平分线相交于点E．
①若，，则的度数为 ；
②探究与的数量关系，并给予证明；
(2)如图2，和的角平分线相交于点E．作平分，交的延长线于点Q，若，求的度数．
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知．
(1)如图1，求证：；
(2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C．
①如图2，若，且，求的度数；
②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，．
(1)求的值；
(2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值；
(3)如图3，，，若，则 (用表示)．
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）【探究】
(1)如图1，，，和的平分线交于点，则 ；
(2)如图2，，，且，和的平分线交于点，则 ；（用表示）
(3)如图3，，，当和的平分线、平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
(4)如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
7．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）已知射线，连接．
(1)如图1，若、分别平分、，、交于点，求的度数，并说明理由．
(2)如图2，在（1）的条件下，延长到、若点满足，，试探求与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长到，若，交延长线于点．求与的度数之和．
8．（2022春·江苏连云港·七年级校考期中）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
(1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移
(2)如图2，射线与射线交于点O，直线 ，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
9．（2020春·江苏泰州·七年级校考期中）小明在学习过程中，对一个问题做如下探究．
【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，，相交于点F．求证：；
【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，判断与还相等吗？并说明理由；
【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F，交于点E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，请直接写出与之间的数量关系．

10．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）【概念认识】
如图①，在中，若，则BD，BE叫做的三分线．其中，BD是邻AB三分线，BE是邻BC三分线．
【问题解决】
(1)如图②，在中，和外角的三分线交于点E、F，若，求的度数．
(2)如图③，若，射线OC在内部，OM是的邻OA三分线，ON是的邻OB三分线，若OM、ON、OA、OB中有两条直线互相垂直时，求．
【延伸推广】
(3)在（2）的条件下，若时，射线ON以每秒1°的速度顺时针转动至OB便立刻回转，射线OM以每秒3°的速度顺时针转动至OB便立刻回转，然后在间作往返运动，当ON第一次到达OC时，与射线OM同时停止转动，转动几秒后，OM，ON中，有一条射线是OB与另一条射线所成角的邻OB三分线．（直接写出答案）
11．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）问题：若，点A在直线上，点B在直线上，点E为，之间一点，探，与之间的关系．
(1)如图1，延长与交于点F（方法一）；如图2，过点E作（方法二），发现：．请选择一种方法说明．
(2)小明同学进行了更进一步的思考：直线，点A、C在直线a上，点B、D在直线b上，直线，分别平分，，且交于点E．
①如图3，若，则_____________．
②如图4，若，则_________．（用含x的代数式表示）
(3)如备用图，射线与射线相交于点O，点A、C在射线上，，点B、D在射线上，其中A、B是定点，C、D是动点，且点D在点B右侧，直线，分别平分，且交于点E．若，，直接写出的度数．（用含m，n的代数式表示）
12．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；
阅读下面的内容，并解决后面的问题：
(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；
(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
13．（2022春·江苏泰州·七年级校考期中）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
14．（2022春·江苏南通·七年级统考期中）已知，连接，两点．
(1)如图1，与的平分线交于点，则等于__________度；
(2)如图2，点在射线反向延长线上，点在射线上．与的平分线交于点．若，，求的度数；
(3)如图3，图4，，分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点．设，，请直接写出图中的度数（用含，的式子表示）．
15．（2022春·江苏连云港·七年级统考期中）（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，当点G在AB、CD之间，且在线段EF左侧时，连接EG、FG，则一定有，为什么？请帮助小明再次说明理由；
（2）【变式思考】如图2，当点G在AB上方时，且，请直接写出与之间的数量关系______；
（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使与互补，作的平分线与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL和∠DKL的平分线，交点为L1；第二次操作，分别作∠BEL1和∠DKL1的平分线，交点为L2；……第n次操作，分别作∠BELn-1和∠DKLn-1的平分线，交点为L、则∠Ln=______．
16．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图1，在△ABC中，∠B＝90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
(1)∠E的度数为__________°；
(2)如图2，若再分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F，试求∠AFC的度数；
(3)在（2）的条件下，如图3，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM＝∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN＝∠AHC，射线HN与FM交于点P，若
∠FAH、∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH（m、n为常数），请直接写出m、n的值：m＝__________，n＝__________．
17．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期中），点，分别在、上运动不与点重合．
(1)如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，当AO=BO时 ；
(2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，随着点，的运动的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．
18．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，在四边形中，，．
(1)如图1，若，则的度数为 ．
(2)如图2，点是边上的一点，交的延长线于点，平分，交于点，若，，
求的度数．
(3)如图3，若点是边上的一点，交的延长线于点，分别作、的角平分线，两条角平分线所在的直线交于点，直线交于点．试猜想与的数量关系，并说明理由．
图3
(4)如图4，若点是延长线上的一点，(3)中的其余条件不变，请直接写出与之间的等量关系式：
19．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图1，被直线所截，点E是线段上一点，过点E作，连接．
(1)与平行吗？为什么？
(2)将线段沿着直线进行平移，平移后得到的对应线段记为线段，连接；
①当线段在E点下方时，如图2，若，求的度数．
②在整个平移的过程中，当时，求的度数．
20．（2022春·江苏苏州·七年级苏州市相城实验中学校考期中）如图，AB  CD，垂足为 O，点 P、Q 分别在射线 OC、OA 上运动（点 P、Q 都不与点 O 重合），QE 是∠AQP 的平分线．
(1)如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °；
②随着点 P、Q 分别在 OC、OA 的运动，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE 的度数；如果不是定值，请说明理由；
(2)如图 2，若 QE 所在直线交∠QPC 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四边形PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由．
21．（2022春·江苏无锡·七年级无锡市江南中学校考期中）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
(1)若三角板如图1摆放时，则∠α＝ ，∠β＝ ；
(2)现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠FHG的度数；
(3)现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，则∠BAM＝ ．（直接写出答案）
22．（2022春·江苏盐城·七年级景山中学校考期中）如图，直线PQMN，一副直角三角板ABC、DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
(1)若△ABC，△DEF如图1摆放时，则∠PDE＝ ．
(2)若图1中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图2），求∠GHF的度数．
(3)若图1中△DEF固定，（如图3）将ABC绕点A顺时针旋转，30秒转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与DEF的一条边平行时，求旋转的时间．
23．（2022春·江苏苏州·七年级太仓市第一中学校考期中）如图1，在中，平分，平分．
(1)若，则的度数为_________；
(2)若，直线经过点．
①如图2，若MNAB，求的度数（用含的代数式表示）；
②如图3，若绕点旋转，分别交线段于点，试问旋转过程中的度数是否会发生改变？若不变，求出的度数（用含的代数式表示），若改变，请说明理由；
③如图4，继续旋转直线，与线段交于点，与的延长线交于点，请直接写出与的关系（用含的代数式表示）．
24．（2022春·江苏南通·七年级统考期中）已知，直线ABCD，与交于点．
(1)如图1，，则_________°；
(2)如图2，的平分线交于点，则与有怎样的数量关系，请说明理由；
(3)如图3，，在的平分线上任取一点，连接，当时，请直接写出的度数（用含有的式子表示）．
25．（2022春·江苏泰州·七年级统考期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在边AC、AB上运动（不与顶点重合），点F在线段CD上（不与点D、C重合），射线ED与射线BF相交于点G．
(1)如图1，若DEBC，∠EDB=2∠G，说明：BG平分∠DBC．
(2)如图2，若∠EDB=m∠ADB，∠DBG=n∠DBC，∠G=45°．
①若m=，n=，求∠DBC的值．
②若n=，求m的值．
③若3m-n=1且m≠，求∠DBC的度数．
26．（2021春·江苏常州·七年级常州市第二十四中学校考期中）已知，如图：射线分别与直线、相交于、两点，的角平分线与直线相交于点，射线交于点，设，且．
（1）________，________；直线与的位置关系是______；
（2）如图，若点是射线上任意一点，且，试找出与之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
（3）若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图）分别与、相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
27．（2021春·江苏南京·七年级统考期中）【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：
（1）探究1：如图1，在中，P是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下：
∵和分别是和的角平分线，
∴，．
∴．
又∵在中，，
∴
∴
（2）探究2：如图2中，H是外角与外角的平分线和的交点，若，则______．若，则与有怎样的关系？请说明理由．
（3）探究3：如图3中，在中，P是与的平分线和的交点，过点P作，交于点D．外角的平分线与的延长线交于点E，则根据探究1的结论，下列角中与相等的角是______；
A． B． C．
（4）探究4：如图4中，H是外角与外角的平分线和的交点，在探究3条件的基础上，①试判断与的位置关系，并说明理由；
②在中，存在一个内角等于的3倍，则的度数为______
28．（2021春·江苏南京·七年级校联考期中）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
已知：如图，AB∥CD， ．
求证： ．
证明：
（2）如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．
（3）如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN， MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数．
29．（2021春·江苏扬州·七年级统考期中）如图1，将一副三角板与三角板摆放在一起；如图2，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角（）．
（1）当________度时，；当________度时；
（2）当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数；
（3）当，连接，利用图4探究的度数是否发生变化，并给出你的证明．
30．（2021春·江苏扬州·七年级统考期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，交BC边于点E．

（1）如图1，过点A作AD⊥BC于D，若已知∠C＝50°，则∠EAD的度数为 ；
（2）如图2，过点A作AD⊥BC于D，若AD恰好又平分∠EAC，求∠C的度数；
（3）如图3，CF平分△ABC的外角∠BCG，交AE的延长线于点F，作FD⊥BC于D，设∠ACB＝n°，试求∠DFE﹣∠AFC的值；（用含有n的代数式表示）
（4）如图4，在图3的基础上分别作∠BAE和∠BCF的角平分线，交于点F1，作F1D1⊥BC于D1，设∠ACB＝n°，试直接写出∠D1F1A﹣∠AF1C的值．（用含有n的代数式表示）
31．（2021·江苏镇江·七年级统考期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．
特训01 平面图形的基本认识（二） 压轴题（江苏精选归纳）
一、解答题
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，点P在直线，之间，连接，，，，直线l与直线，分别交于点M，N，，是的平分线，交直线于点O．
(1)求证：；
(2)若，时，求；
(3)将直线l向左平移，并保持，在平移的过程中（除点M与点E重合时），求的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)的度数为或
【分析】（1）根据，得到，进而得到，根据三角形内角和定理，即可得证；
（2）根据平行线的性质，以及角平分线平分角，进行角的转化，求解即可；
（3）分点M在点E右侧和点M在点E左侧，两种情况进行讨论求解．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）当点M在点E右侧时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴；
当点M在点E左侧时，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为或．
【点睛】本题考查利用平行线的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）(1)探究：如图，，点、分别在直线、上，连接、，当点在直线的左侧时，试说明；
(2)变式：如图，将点移动到直线的右侧，其他条件不变，试探究、、之间的关系，并说明理由；
(3)(问题迁移)如图，，点在的上方，问、、之间有何数量关系？请说明理由；
(4)(联想拓展)如图所示，在的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数．
【答案】(1)见解析；(2)∠，理由见解析；(3)，理由见解析；(4)α
【分析】（1）如图所示：过点作，则，根据平行线的性质得出，即可得出；
（2）过点作，，根据（1）的方法得出，继而得出；
（3）过点作，根据平行线的性质得出，即可得出；
（4）过点作，过点作，则，得出，，根据，，根据角平分线的定义得出，，根据，即可求解．
【解析】解：（1）如图所示：过点作，
，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
如图所示：过点作，
，
，
，
，
，
，
；
（3），理由如下：
如图所示：过点作，
，
，
，
，
，
；
（4）如图所示：过点作，过点作，
，，
，
，
，，
，，
，，
的平分线和的平分线交于点，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知：直线，M，N分别在直线，上，H为平面内一点，连，．
(1)如图1，延长至G，和的角平分线相交于点E．
①若，，则的度数为 ；
②探究与的数量关系，并给予证明；
(2)如图2，和的角平分线相交于点E．作平分，交的延长线于点Q，若，求的度数．
【答案】(1)①；②，见解析
(2)
【分析】（1）①过点E作交于点Q，根据平分，可得，即可得．则有．进而可得．则有，即，②证明思路见①；
（2）过点H作，由（1）的证明方法可得，由图可知，根据平行线的性质可得，．即有．即可得．根据，可得，即有．过点H作．根据平行及角平分线的定义可得，，结合，可得，则有,问题得解．
【解析】（1）①如图，过点E作交于点Q，
∵，，
∴，
又平分，
∴，
∴．
∴．
∵，．
∴．
∴，
即，
∵，
∴．
故答案为：；
②，理由详见①；
（2）过点H作，如答图2．
由（1）的证明方法可得，
由图可知，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
即．
∵，
∴．
∴．
过点H作．
∵，
∴．
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，根据题意构造出辅助线．
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知．
(1)如图1，求证：；
(2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C．
①如图2，若，且，求的度数；
②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或
【分析】（1）过E作，然后根据两直线平行，内错角相等进行解答即可；
（2）①过F作，交于H点，过点作，则，,
根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质结合，从而得出，进而得出答案；
②过点F作，设，则，，所以，，然后分当K在上；当K在延长线上两种情况进行解答即可．
【解析】（1）解：如图，
过E作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即；
（2）①如图，
过F作，交于H点，过点作，则，,
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
②如图，过点F作，
设，则，，
∴，
∴，，
当K在上，，
∴，
∴，
∴；
当K在延长线上时，，，
∴，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质、作出正确辅助线、运用分类讨论的思想解题是关键．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，．
(1)求的值；
(2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值；
(3)如图3，，，若，则 (用表示)．
【答案】(1)90°
(2)45°
(3)
【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质得出，，进而即可求解；
（2）过点作，过点作，则，平分，设，平分，设，，由得：，得出，根据即可得出结论；
（3）过点作，过点作，得出，由可知：，继而得出 ，根据 ，即可得出．
【解析】（1）解：过点作，如图：
，
，
，，
；
（2）过点作，过点作，如图：
，
，
平分，
设，
平分，
设，，
由得：，
，
，
又，，，
；
（3）过点作，过点作，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
由可知：，
又，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）【探究】
(1)如图1，，，和的平分线交于点，则 ；
(2)如图2，，，且，和的平分线交于点，则 ；（用表示）
(3)如图3，，，当和的平分线、平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
(4)如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
【答案】(1)35
(2)
(3)，证明见详解
(4)
【分析】（1）利用四边形内角和定理得到，再利用三角形的外角性质得到，通过计算即可求解；
（2）同（1），通过计算即可求解；
（3）由，推出，再推导，利用平行线的性质即可得到答案；
（4）挑战：利用四边形内角和定理得到，再利用三角形的外角性质得到，通过计算即可求解．
【解析】（1）解：如图1，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴
．
故答案为：35；
（2）如图2，由（1）可得，
，，
∴
．
故答案为：；
（3）若，则．
证明：如图3，若，则，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（4）挑战：如图4，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与是对顶角，
∴，
又∵，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题关键借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件．
7．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）已知射线，连接．
(1)如图1，若、分别平分、，、交于点，求的度数，并说明理由．
(2)如图2，在（1）的条件下，延长到、若点满足，，试探求与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长到，若，交延长线于点．求与的度数之和．
【答案】(1)，证明见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，最后求出结果；
（2）首先得到，再根据外角的性质推出即可；
（3）由（2）得到，求出，从而计算可得．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴；
（2）在中，，
∴，
∴；
（3）由（2）可得：，
∵，
∴，
在中，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，外角的性质，三角形内角和，角平分线，解题的关键是灵活运用三角形外角的性质得到角的关系．
8．（2022春·江苏连云港·七年级校考期中）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
(1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移
(2)如图2，射线与射线交于点O，直线 ，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
【答案】(1)110°
(2)①，理由见解析；②或
【分析】（1）过P作，由，得，，即得，把，，代入即可求出；
（2）①过P作交于E，由，得，，故；
②分两种情况：当P在延长线时，此时；当P在之间时，此时．
【解析】（1）解： 过P作，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
过P作交于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴ ；
②当P在延长线时，过P作交的延长线于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
此时；
当P在之间时，过P作交的延长线于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
此时．
【点睛】本题考查平行线的性质及其运用，解题的关键是作平行线，构造内错角、同旁内角转化角．
9．（2020春·江苏泰州·七年级校考期中）小明在学习过程中，对一个问题做如下探究．
【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，，相交于点F．求证：；
【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，判断与还相等吗？并说明理由；
【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F，交于点E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，请直接写出与之间的数量关系．

【答案】【习题回顾】证明见解析；【变式思考】相等；理由见解析；【探究延伸】．
【分析】习题回顾：根据角平分线的定义及三角形外角的性质求解即可；
变式思考：根据角平分线的性质和直角三角形的性质可得到结果；
探究延伸：由题可知，证明，即可得结论．
【解析】习题回顾
证明：∵，是高，
∴，，
∴．
∵是角平分线，
∴．
∵，，
∴；
变式思考
解：相等；理由：∵为的平分线，
∴．
∵为边上的高，，
∴．
又∵， ，
∴，
∴，
∴；
探究延伸
解：．理由如下：
∵C，A，G三点共线，AE，AN分别为的平分线，
．
，
，，，，
．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和三角形外角性质，利用角平分线的性质是解题的关键．
10．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）【概念认识】
如图①，在中，若，则BD，BE叫做的三分线．其中，BD是邻AB三分线，BE是邻BC三分线．
【问题解决】
(1)如图②，在中，和外角的三分线交于点E、F，若，求的度数．
(2)如图③，若，射线OC在内部，OM是的邻OA三分线，ON是的邻OB三分线，若OM、ON、OA、OB中有两条直线互相垂直时，求．
【延伸推广】
(3)在（2）的条件下，若时，射线ON以每秒1°的速度顺时针转动至OB便立刻回转，射线OM以每秒3°的速度顺时针转动至OB便立刻回转，然后在间作往返运动，当ON第一次到达OC时，与射线OM同时停止转动，转动几秒后，OM，ON中，有一条射线是OB与另一条射线所成角的邻OB三分线．（直接写出答案）
【答案】(1)40°；
(2)30°或90°；
(3)秒或秒或秒或秒或105秒
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，然后根据三分线的定义结合三角形外角的性质求解即可；
（2）由题意可知，共有三种情况：①当OA⊥ON时，即∠AON＝90°，②当OM⊥OB时，即∠MOB＝90°，③当OM⊥ON时，即∠MON=90°，分别根据角的和差及三分线的定义计算即可；
（3）由（2）可知，当时，∠AOC＝30°，∠BON＝30°，可求得∠BOM＝110°，设运动时间为t秒，根据ON和OM转动后的位置，结合三分线的定义分情况求解即可．
（1）
解：∵，是的一个外角，
∴，
∵BF、CF是和外角的三分线，
∴，，
∴；
（2）
解：由题意可知，共有两种情况：
①当OA⊥ON时，即∠AON＝90°，
∵，
∴∠BON＝，
∵ON是的邻OB三分线，
∴∠BOC＝3∠BON＝90°，
∴∠AOC＝120°－90°＝30°；
②当OM⊥OB时，即∠MOB＝90°，
∵，
∴∠AOM＝，
∵OM是的邻OA三分线，
∴∠AOC＝3∠AOM＝90°，
当OM⊥ON时，即∠MON=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOM+∠BON=120°-90°=30°，
∵OM是∠AOC 的邻OA三分线，ON是∠BOC 的邻OB三分线，
∴∠AOC=3∠AOM，∠BOC=3∠BON，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=3∠AOM+3∠BON=90°，
这与∠AOB=120°矛盾，∴OM⊥ON不成立，
综上，的度数为30°或90°；
（3）
解：由（2）可知，当时，∠AOC＝30°，∠BON＝30°，
∵OM是的邻OA三分线，
∴∠AOM＝∠AOC＝10°，
∴∠BOM＝120°－10°＝110°，
设运动时间为t秒，分情况讨论：
当ON到达OB前，ON是∠BOM的邻OB三分线时，
由题意得：∠BOM＝3∠BON，即，
此方程无解，故此情况不存在；
当ON到达OB前，OM是∠BON的邻OB三分线时，
由题意得：3∠BOM＝∠BON，即，
解得：，
当时，ON已经到达OB，与题意不符，故此情况不存在；
当ON到达OB返回至OC，OM到达OB前，ON是∠BOM的邻OB三分线时，
由题意得：∠BOM＝3∠BON，即，
解得：；
当ON到达OB返回至OC，OM到达OB前，OM是∠BON的邻OB三分线时，
由题意得：3∠BOM＝∠BON，即，
解得：；
当ON到达OB返回至OC，OM到达OB返回至OC前，ON是∠BOM的邻OB三分线时，
由题意得：∠BOM＝3∠BON，即，
此方程无解，故此情况不存在；
当ON到达OB返回至OC，OM到达OB返回至OC前，OM是∠BON的邻OB三分线时，
由题意得：3∠BOM＝∠BON，即，
解得：；
当ON到达OB返回至OC，OM到达OB返回至OC再转向OB前，ON是∠BOM的邻OB三分线时，
由题意得：∠BOM＝3∠BON，即，
解得：，
当时，OM尚未到达OC，与题意不符，故此情况不存在；
当ON到达OB返回至OC，OM到达OB返回OC再转向OB前，OM是∠BON的邻OB三分线时，
由题意得：3∠BOM＝∠BON，即，
解得：；
当ON到达OB返回至OC，OM第二次转向OC时，此时只可能是OM是∠BON的邻OB三分线，
由题意得：3∠BOM＝∠BON，即，
解得：，
综上，当转动秒或秒或秒或秒或105秒后，OM，ON中，有一条射线是OB与另一条射线所成角的邻OB三分线．
【点睛】本题考查了角的和差计算，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，正确理解三分线的定义，分情况讨论是解答本题的关键．
11．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）问题：若，点A在直线上，点B在直线上，点E为，之间一点，探，与之间的关系．
(1)如图1，延长与交于点F（方法一）；如图2，过点E作（方法二），发现：．请选择一种方法说明．
(2)小明同学进行了更进一步的思考：直线，点A、C在直线a上，点B、D在直线b上，直线，分别平分，，且交于点E．
①如图3，若，则_____________．
②如图4，若，则_________．（用含x的代数式表示）
(3)如备用图，射线与射线相交于点O，点A、C在射线上，，点B、D在射线上，其中A、B是定点，C、D是动点，且点D在点B右侧，直线，分别平分，且交于点E．若，，直接写出的度数．（用含m，n的代数式表示）
【答案】(1)见解析
(2)①55°；②
(3)或
【分析】（1）方法一，如图1：延长与交于点F，由平行线的性质可得∠DAE=∠BFE，然后根据三角形外角的性质即可说明；方法二，如图2：过点E作GHCD，根据公理可得PQCDGH，再根据平行线的性质可得∠AEG=∠DAE、∠BEG=∠EBQ，然后运用等量代换即可说明．
（2）①如图3：过点E作GHa，根据（1）的方法可得∠CEB=∠ACE+∠DBE，然后再根据角平分线即可解答；②如图4，根据角平分线的性质可得∠ACE=∠ACD=、∠DBE=∠ABD=35°，然后根据平行的性质可得∠BAC=180°-∠ABD=110°，最后根据四边形内角和定理即可解答．
（3）分点C在点A的左侧和右侧两种情况解答即可．
（1）
解：方法一，如图1：延长与交于点F
∵
∴∠DAE=∠BFE
又∵
∴
方法二，如图2：过点E作GHCD
∵PQCD
∴PQCDGH
∴∠AEG=∠DAE，∠BEG=∠EBQ
∴∠AEB=∠AEG+∠BEG=∠DAE+∠EBQ．
（2）
解：①如图3：过点E作GHa，
∵ab
∴abGH
∴∠CEG=∠ACE，∠BEG=∠EBD
∴∠CEB=∠CEG+∠BEG=∠ACE+∠DBE
∵CE、BE分别为∠ACD、∠ABD的角平分线
∴∠ACE=∠ACD=20°，∠DBE=∠ABD=35°
∴∠CEB=∠ACE+∠DBE=55°．
故答案为：55°．
②如图4：∵CE、BE分别为∠ACD、∠ABD的角平分线，
∴∠ACE=∠ACD=，∠ABE=∠ABD=35°
∵ab
∴∠BAC=180°-∠ABD=110°
∵∠CEB+∠ABE+∠BAC+∠ACE=360°
∴∠CEB=360°-（∠ABE+∠BAC+∠ACE）=．
故答案为：；
（3）
解：如图：当点C在A点的右侧
∵∠ABD=∠AOD+∠OAB，∠ABD=70°，∠AOB=n°
∴∠OAB=∠ABD-∠AOD=70°-n°
∴∠BAC=180°-∠OAB=110°+n°
∵CE、BE分别为∠ACD、∠ABD的角平分线
∴∠ACE=∠ACD=，∠ABE=∠ABD=35°
∴∠CEB=360°-（∠ABE+∠BAC+∠ACE）=．
如图：当点C在A点的左侧，
设∠CEB=x，∠CDB=y
∵CE、BE分别为∠ACD、∠ABD的角平分线
∴∠ACE=∠DCE=∠ACD=，∠ABE=∠DBE=∠ABD=35°
根据三角形外角的性质可得：
，解得：x=
∴∠CEB=
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、四边形内角和、三角形外角的性质等知识点，灵活应用相关性质成为解答本题的关键．
12．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；
阅读下面的内容，并解决后面的问题：
(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；
(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；
②；
③
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P+∠3=∠1+∠ABC，∠P+∠2=∠4+∠ADC，相加得到2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，继而得到2∠P=∠ABC+∠ADC，代入数据得∠P的值；
（2）①按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠PAD+∠P=∠PCD+∠D，∠PAB+∠P=∠4+∠B，分别用∠2，∠3表示出∠PAD和∠PCD，再整理即可得解；
②按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAP+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，分别用∠2，∠3表示出∠BAP和∠PCD，再整理即可得解；
③按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∠2+∠P=∠PCD+∠D，分别用∠2，∠3表示出∠BAD、∠BCD和∠PCD，再整理即可得解；
【解析】（1）解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=∠1+∠4，
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠ABC①，∠P+∠2=∠4+∠ADC②，
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P=∠ABC+∠ADC，
∴∠P=（∠ABC+∠ADC）=（36°+16°）=26°．
（2），理由如下：
①∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D③，∠PAB+∠P=∠4+∠B④，
∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，
∴∠PAB=∠2，
∴∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，
∴∠2+∠P=∠3+∠B⑤，
③+⑤得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，
∴∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D
即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，
∴．
②，理由如下：
如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，
由题干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，
∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，
在四边形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，
即（180°﹣∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥
在四边形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，
即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦
⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°
∴2∠P+∠B+∠D=360°，
∴；
③，理由如下：
如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由题干结论得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，
∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，
⑨×2﹣⑧得：2∠P﹣∠B=180°+∠D，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
13．（2022春·江苏泰州·七年级校考期中）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】(1)AB∥CD，理由见详解；
(2)①；②当点G在点F的右侧时，；当点G在点F的左侧时， ；理由见详解
【分析】（1）依据角平分线，可得∠AEF=∠FME，根据∠FEM=∠FME，可得∠AEF=∠FEM，进而得出AB∥CD；
（2）①依据平行线的性质可得∠AEG=124°，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH=∠AEG=62°，再根据HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN=90°-62°=28°；
②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，．当点G在点F的左侧时， ．
【解析】（1）解：∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM=∠MEF，
又∵∠FEM=∠FME，
∴∠AEM=∠EMF，
∴AB∥CD；
（2）解：①如图2，
∵AB∥CD，β=56°，
∴∠AEG=124°，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠AEG=62°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-62°=28°，
即α=28°；
②分两种情况讨论：
如图2，当点G在点F的右侧时，α=β．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG=180°-β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠AEG=（180°β），
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH=90°（180°β）=β，
即α=β；
如图3，当点G在点F的左侧时，α=90°β．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠EGF=β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠MEF-∠HEF
=（∠AEF-∠FEG）
=∠AEG
=β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH，
即α=90°β．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
14．（2022春·江苏南通·七年级统考期中）已知，连接，两点．
(1)如图1，与的平分线交于点，则等于__________度；
(2)如图2，点在射线反向延长线上，点在射线上．与的平分线交于点．若，，求的度数；
(3)如图3，图4，，分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点．设，，请直接写出图中的度数（用含，的式子表示）．
【答案】(1)90；
(2)；
(3)或
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而可求出；
（2）过E作EF∥AB，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．
（3）分两种情况，过E作EF∥AB，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．
【解析】（1）
∵与的平分线交于点，
即
故答案为：
（2）如图，过点作，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵平分，平分，
∴，
．
∴；
（3）过点E作如图3，
∵∠与∠的平分线交于点E，∠
∴∠
如图4，
∵AB//CD
∵AB//CD
综上，的度数为或
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．
15．（2022春·江苏连云港·七年级统考期中）（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，当点G在AB、CD之间，且在线段EF左侧时，连接EG、FG，则一定有，为什么？请帮助小明再次说明理由；
（2）【变式思考】如图2，当点G在AB上方时，且，请直接写出与之间的数量关系______；
（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使与互补，作的平分线与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL和∠DKL的平分线，交点为L1；第二次操作，分别作∠BEL1和∠DKL1的平分线，交点为L2；……第n次操作，分别作∠BELn-1和∠DKLn-1的平分线，交点为L、则∠Ln=______．
【答案】（1）理由见解析；（2）；（3）①FG∥KL，理由见解析，②
【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质即可求解；
（2）过点作，则，根据平行线的性质即可求解；
（3）①根据与互补，可得，即平分，根据角平分线的定义，进而可得，即可得出；
②根据①的结论，求得发现规律，即可求解．
【解析】（1）如图，过点作，则，
，
；
（2）如图，过点作，则，
，
，
，
，
，
；
（3）①+=180°，，
，
是的角平分线，
，
平分，
，
又平分，
，
，
，
同（1）可得
，
又∵∠EGF=90°，
∴∠EGF=∠ELK,
FG∥KL；
②根据题意可得
同理可得
……
．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
16．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图1，在△ABC中，∠B＝90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
(1)∠E的度数为__________°；
(2)如图2，若再分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F，试求∠AFC的度数；
(3)在（2）的条件下，如图3，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM＝∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN＝∠AHC，射线HN与FM交于点P，若
∠FAH、∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH（m、n为常数），请直接写出m、n的值：m＝__________，n＝__________．
【答案】(1)45；
(2)；
(3)3，－4
【分析】（1）根据角平分线的性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的外角性质求解；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，根据三角形的内角和定理和对顶角相等列等式，可得结论；
（3）先根据条件画图，设∠FAH＝∠FAE＝α，根据三角形的内角和定理分别表示∠FCH和∠FPH，代入∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH求解．
（1）
解：∠E=45°．
理由如下：∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACB，
∴∠DAC=2∠2，∠ACB=2∠1，
∵∠DAC=∠B+∠ACB，∠B=90°，
∴2∠2=90°+2∠1，
∴∠2=45°+∠1，
又∵∠2=∠E+∠1
∴∠E=45°；
（2）
解：如图2所示，
∵CF平分∠ECB，
∴∠ECF=y．
∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，
∴45°+∠EAF=∠F+y①，
同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，
∴45°+2∠EAF=90°+y，
∴∠EAF=②，
把②代入①得：45°+=∠F+y，
∴∠AFC=67.5°；
故答案为：67.5°；
（3）
解：如图3，设∠FAH＝∠FAE＝α，
∵∠AFM＝∠AFC＝×67.5°＝ ．
∵∠E+∠EAF＝∠AFC+∠FCH，
∴∠FCH＝∠E+∠EAF－∠AFC＝45°+α－67.5°＝α－ ①．
∵∠AHN＝∠AHC＝（∠B+∠BCH）＝（90°+2∠FCH）＝+∠FCH．
又∵∠FAH+∠AFM＝∠AHN+∠FPH，∠AFM＝∠AFC＝×67.5°＝，
∴α+＝+∠FCH +∠FPH②，
将①代入②得．
∵∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH，
∴α－＝mα+n[]，
∴m＋n＝1，n＝－22.5，
解得 m＝3，n＝－4．
故答案为：3，－4．
【点睛】本题考查了三角形内角和与外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．
17．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期中），点，分别在、上运动不与点重合．
(1)如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，当AO=BO时 ；
(2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，随着点，的运动的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．
【答案】(1)135°
(2)∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，值为45°
(3)60°或45°
【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；
（2）利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；
（3）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质不难得出=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍．
【解析】（1）解：∵、分别是和的平分线，
∴∠EBA=∠OBA，∠BAE=∠BAO，
∵，
∴∠EAB+EBA=90°，
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，
∴，
，
，
，
；
（2）解： ∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+α，
∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°；
（3）解：∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，
∴∠AOE=135°，
∴，
，
，
，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，
∴，
在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当∠EAF=3∠E时，得∠E=30°，此时∠ABO=60°；
②当∠EAF=3∠F时，得∠E=60°，
此时∠ABO=120°＞90°，舍去；
③当∠F=3∠E时，得，
此时∠ABO=45°；．
④当∠E=3∠F时，得，
此时∠ABO=135°＞90°，舍去．
综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．
【点睛】前两问熟练运用三角形内角和定理、直角三角形的两锐角互余、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明=90°，再分情况进行讨论，熟练运用三角形的内角和定理及角平分线的性质是解题的关键．
18．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，在四边形中，，．
(1)如图1，若，则的度数为 ．
(2)如图2，点是边上的一点，交的延长线于点，平分，交于点，若，，
求的度数．
(3)如图3，若点是边上的一点，交的延长线于点，分别作、的角平分线，两条角平分线所在的直线交于点，直线交于点．试猜想与的数量关系，并说明理由．
图3
(4)如图4，若点是延长线上的一点，(3)中的其余条件不变，请直接写出与之间的等量关系式：
【答案】(1)
(2)
(3)，详见解析
(4)
【分析】（1）先根据平行线的性质证∠A+∠B=180°，∠C+∠B=180°，再利用补角的性质，即可得出∠C=∠A=30°；
（2）先由角平分线定义求得∠FDC=2∠HDC=2×45°=90°，现圸（1）知由（1）知∠C=∠A=50°，即可由∠F=180°-∠FDC-∠C求解；
（3）利用角平分线定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质求解即可；
（4）利用角平分线定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，邻补角性质可求解．
（1）
解：∵，
∴∠A+∠B=180°，
∵，
∴∠C+∠B=180°，
∴∠C=∠A=30°，
故答案为：30°；
（2）
解：∵DH平分∠FDC，
∴∠FDC=2∠HDC=2×45°=90°，
由（1）知∠C=∠A=50°，
∴∠F=180°-∠FDC-∠C=180°-90°-50°=40°．
（3）
解：，
理由：∵DG平分∠FDC，
∴∠FDC=2∠GDC，
∴∠C=180°-∠FDC-∠DFC=180°-2∠GDC -∠DFC，
∵ABCD，
∴∠C+∠CBM=180°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBM，
∴∠C+2∠CBM=180°，
∴∠C=180°-2∠CBM，
∴180°-2∠GDC -∠DFC=180°-2∠CBM，
∴2∠GDC +∠DFC=2∠CBM，
∵∠CMG=∠DGB+∠GDC，∠CMG=180°-∠C-∠CBM=180°-(180°-2∠CBM）-∠CBM=∠CBM
∴∠DGB+∠GDC=∠CBM
∴2∠DGB+2∠GDC=2∠CBM，
∴2∠DGB+2∠GDC=2∠GDC +∠DFC，
∴∠DFC =2∠DGB．
（4）
解：∵ABCD，
∴∠C+∠ABC =180°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBM，
∴∠C+2∠CBM =180°，
∵∠C+∠DFC+∠FDC=180°，
∴∠C+2∠CBM=∠C+∠DFC+∠FDC
∴2∠CBM=∠DFC+∠FDC
∵DG平分∠FDC，
∴∠FDC=2∠EDG，
∴2∠CBM=∠DFC+2∠EDG，
∵∠CBM+∠BFD=∠FDG+∠DGB，
∴2∠CBM+2∠BFD=2∠FDG+2∠DGB，
∴∠DFC+2∠EDG+2∠BFD=2∠FDG+2∠DGB，
∴∠DFC+2∠BFD=2∠DGB，
∵∠BFD=180°-∠DFC，
∴∠DFC+2(180°-∠DFC)= 2∠DGB，
∴360°-∠DFC=2∠DGB，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理与外角的性质，角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理与外角的性质是解题的关键．
19．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图1，被直线所截，点E是线段上一点，过点E作，连接．
(1)与平行吗？为什么？
(2)将线段沿着直线进行平移，平移后得到的对应线段记为线段，连接；
①当线段在E点下方时，如图2，若，求的度数．
②在整个平移的过程中，当时，求的度数．
【答案】(1)；理由见解析
(2)①∠DEG＝75°；②∠EGF的值为45°或90°
【分析】（1）结论：，延长DE交AC于点T．利用平行线的性质以及判定证明即可；
（2）①过点E作，利用平行线的性质求解即可；
②分两种情形：当点F在线段BE上时，过点E作，当点F在点B的上方时，过点E作，分别利用平行线的性质求解即可．
（1）
解：结论：．理由如下：
延长DE交AC于点T，如图所示：
∵，
∴∠DTC＝∠A＝60°，
∵∠D＝60°，
∴∠D＝∠DTC，
∴．
（2）
①过点E作，
∵，
∴，
∴∠EGF＝∠KEG＝15°，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠DEK＋∠KEG＝75°．
②当点F在线段BE上时，过点E作，如图所示：
∵，
∴，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝60°−∠FGE，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝15°，
∴∠EGF＝45°；
当点F在点B的上方时，过点E作，如图所示：
∵，
∴，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠FGE−60°，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝30°，
∴∠EGF＝90°．
综上所述，满足条件的∠EGF的值为45°或90°．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，平移变换等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
20．（2022春·江苏苏州·七年级苏州市相城实验中学校考期中）如图，AB  CD，垂足为 O，点 P、Q 分别在射线 OC、OA 上运动（点 P、Q 都不与点 O 重合），QE 是∠AQP 的平分线．
(1)如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °；
②随着点 P、Q 分别在 OC、OA 的运动，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE 的度数；如果不是定值，请说明理由；
(2)如图 2，若 QE 所在直线交∠QPC 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四边形PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①45°；②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）①先根据垂直的定义求出∠POQ=90°，即可利用三角形内角和定理和邻补角的定义求出∠QPO=30°，∠AQP=120°，再由角平分线的定义分别求出，，最后根据三角形外角的性质求解即可；②同①方法求解即可；
（2）如图所示，连接， 先求出∠CPQ+∠PQA=270°，再由角平分线的定义求出，则∠PEQ=45°，由折叠的性质可知，进而推出即可得到答案．
【解析】（1）解：①∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠PQB=60°，
∴∠QPO=30°，∠AQP=120°，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴，
故答案为：45；
②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由如下：
∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∴∠QPO=90°-∠PQO，∠AQP=180°-∠PQO，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，连接，
∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠CPQ+∠QPO=180°，∠PQA+∠PQO=180°，
∴180°-∠CPQ+180°-∠PQA=90°，
∴∠CPQ+∠PQA=270°，
∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ，
∴，
∴，
∴∠PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，邻补角，熟知三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．
21．（2022春·江苏无锡·七年级无锡市江南中学校考期中）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
(1)若三角板如图1摆放时，则∠α＝ ，∠β＝ ；
(2)现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠FHG的度数；
(3)现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，则∠BAM＝ ．（直接写出答案）
【答案】(1)15°；150°
(2)∠FHG=67.5°；
(3)30°或90°或120°
【分析】（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（3）分当BC∥DE时，当BC∥EF时，当BC∥DF时，三种情况进行解答即可．
【解析】（1）解：∵PQ∥MN，
∴∠E=∠α+∠BAC，
∴α=∠E-∠BAC=60°-45°=15°，
∵E、C、A三点共线，
∴∠β=180°-∠DFE=180°-30°=150°；
故答案为：15°；150°；
（2）解：∵PQ∥MN，
∴∠GEF=∠CAB=45°，
∴∠FGQ=75°，
∵GH，FH分别平分∠FGQ和∠GFA，
∴∠FGH=37.5°，∠GFH=75°，
∴∠FHG=67.5°；
（3）解：当BC∥DE时，如图1，
此时∠CAE=∠DFE=30°，
∴∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE，
∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=45°+30°-45°=30°；
当BC∥EF时，如图2，
此时∠BAE=∠ABC=45°，
∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°；
当BC∥DF时，如图3，
此时，AC∥DE，∠CAN=∠DEG=15°，
∴∠BAM=∠MAN-∠CAN-∠BAC=180°-15°-45°=120°．
综上所述，∠BAM的度数为30°或90°或120°．
故答案为：30°或90°或120°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．
22．（2022春·江苏盐城·七年级景山中学校考期中）如图，直线PQMN，一副直角三角板ABC、DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
(1)若△ABC，△DEF如图1摆放时，则∠PDE＝ ．
(2)若图1中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图2），求∠GHF的度数．
(3)若图1中△DEF固定，（如图3）将ABC绕点A顺时针旋转，30秒转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与DEF的一条边平行时，求旋转的时间．
【答案】(1)15°
(2)67.5°
(3)5秒或15秒或20秒
【分析】（1）如图2，过点作，利用平行线性质即可求得答案；
（2）如图3，分别过点、作，，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（3）设旋转时间为秒，由题意旋转速度为转半圈，即每秒转，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
【解析】（1）如图2，过点作，
，
，
，，
，
，
又．
；
故答案为：；
（2）解：如图3，分别过点、作，，
，，
，，，
，
，，
和的角平分线、相交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：设旋转时间为秒，由题意旋转速度为秒转半圈，即每秒转，
分三种情况：
当时，如图5，
此时，
，
，
解得：；
②当时，如图6，
，
，
，
，
解得：；
③当时，如图7，
延长交于，延长交于，
，
，
，
，
，
，
解得：，
综上所述，绕点顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行．
【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．
23．（2022春·江苏苏州·七年级太仓市第一中学校考期中）如图1，在中，平分，平分．
(1)若，则的度数为_________；
(2)若，直线经过点．
①如图2，若MNAB，求的度数（用含的代数式表示）；
②如图3，若绕点旋转，分别交线段于点，试问旋转过程中的度数是否会发生改变？若不变，求出的度数（用含的代数式表示），若改变，请说明理由；
③如图4，继续旋转直线，与线段交于点，与的延长线交于点，请直接写出与的关系（用含的代数式表示）．
【答案】(1)120°
(2)①90°- ②不变，90°- ③与的关系是+=．
【分析】（1）利用角平分线的定义，三角形内角和定理，分步计算即可．
（2）①利用平角的定义，变形代入计算，注意与第（1）的结合．
②与 ①结合起来求解即可．
③根据平角的定义，变形后结合前面的计算，求解即可．
【解析】（1）∵ 平分，平分，
∴∠CBD=，∠BCD=，
∴∠CBD+∠BCD=+=，
∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴180°-∠BDC=，
∴∠BDC=，
∵∠A=60°，
∴∠BDC==120°，
故答案为：120°．
（2）①∵∠NDC=180°-∠MDC，
∴=180°-∠MDC-∠MDB
=180°-（∠MDC+∠MDB）
=180°-∠BDC
=180°-（）
=．
②保持不变，恒等于90°-．理由如下：
∵∠NDC=180°-∠MDC，
∴=180°-∠MDC-∠MDB
=180°-（∠MDC+∠MDB）
=180°-∠BDC
=180°-（）
=．
故保持不变，且为．
③与的关系是+=．理由如下：
∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°，
∴∠NDC+∠MDB=180°-∠BDC，
∵∠BDC=，
∴∠NDC+∠MDB=180°-（）=．
【点睛】本题考查了角的平分线的定义，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握三角形内角和定理，平角的定义是解题的关键．
24．（2022春·江苏南通·七年级统考期中）已知，直线ABCD，与交于点．
(1)如图1，，则_________°；
(2)如图2，的平分线交于点，则与有怎样的数量关系，请说明理由；
(3)如图3，，在的平分线上任取一点，连接，当时，请直接写出的度数（用含有的式子表示）．
【答案】(1)100；
(2)∠F=，理由见解析；
(3)∠BPD=，证明见解析．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠BAD=∠ADC，结合图象及三角形外角的性质即可得出结果；
（2）设AD与BF的交点为G，BC与DF的交点为H，根据三角形内角和定理及对顶角相等得出∠BAD+∠ABF=∠F+∠ADF①，∠BCD+∠CDF=∠F+∠CBF②，结合角平分线可得∠BAD+∠BCD=2∠F，找准图中各角之间的数量关系即可得出结果；
（3）利用三角形外角的性质得出∠ADC=α-∠BCD，由平行线的性质可得∠ABC=∠BCD=β，结合角平分线及各角之间的数量关系进行等量代换求解即可得出结果．
【解析】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC，
∵∠AEC是∆ABE的一个外角，
∴∠AEC=∠ABC+∠BAD，
∴∠AEC=∠ABC+∠ADC，
∵∠AEC=100°，
∴∠ABC+∠ADC=100°，
故答案为：100；
（2）解：∠F=，理由如下：
设AD与BF的交点为G，BC与DF的交点为H，
∵∠BAD+∠ABF+∠AGB=180°，∠AGB=∠DGF，∠F+∠ADF+∠DGF=180°，
∴∠BAD+∠ABF=∠F+∠ADF①，
∵∠BCD+∠CDF+∠CHD=180°，∠F+∠CBF+∠BHF=180°，∠BHF=∠CHD，
∴∠BCD+∠CDF=∠F+∠CBF②，
①+②得：∠BAD+∠ABF+∠BCD+∠CDF=2∠F+∠CBF+∠ADF，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ACD，
∴∠ABF=∠CBF，∠CDF=∠ADF，
∴∠BAD+∠BCD=2∠F，
∵∠BAD=∠AEC-∠ABC，∠BCD=∠AEC-∠ADC，
∴∠BAD+∠BCD=2∠AEC-∠AEC=∠AEC，
∴2∠F=∠AEC，
∴∠F=∠AEC；
（3）解：∠BPD=，理由如下：
如图所示，DF平分，且，连接AP，
∵∠AEC是∆ECD的一个外角，∠AEC=α，
∴∠AEC=∠BCD+∠ADC=α，
∴∠ADC=α-∠BCD，
∵AB∥CD，∠ABC=β，
∴∠ABC=∠BCD=β，
∴∠ADC=∠DAB=α-β，
∵DP是∠ADC的角平分线，
∴∠ADP=∠ADC=，
∵∠ABP=∠PBC，
∴∠PBC=2∠ABP，
∵∠ABP+∠PBC=∠ABC=β，
∴∠ABP+2∠ABP=β，
即3∠ABP=β，
在∆ADP中，
∠APD+∠DAP+∠ADP=180°，
即∠BPD+∠APB+∠DAP+∠ADP=180°，
在∆ABP中，
∠BAP+∠APB+∠ABP=180°，
即∠DAP+∠DAB+∠APB+∠ABP=180°，
∴∠BPD+∠APB+∠DAP+∠ADP=∠DAP+∠DAB+∠APB+∠ABP，
∴∠BPD+∠ADP=∠DAB+∠ABP，
∴∠BPD+，
∴∠BPD=．
【点睛】题目主要考查平行线的性质，三角形内角和与外角的性质，角平分线的定义等，理解题意，找准图中各角之间的数量关系是解题关键．
25．（2022春·江苏泰州·七年级统考期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在边AC、AB上运动（不与顶点重合），点F在线段CD上（不与点D、C重合），射线ED与射线BF相交于点G．
(1)如图1，若DEBC，∠EDB=2∠G，说明：BG平分∠DBC．
(2)如图2，若∠EDB=m∠ADB，∠DBG=n∠DBC，∠G=45°．
①若m=，n=，求∠DBC的值．
②若n=，求m的值．
③若3m-n=1且m≠，求∠DBC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①30°；②；③45°
【分析】（1）利用平行线的性质证明，再由外角的性质证明，结合∠EDB=2∠G得出，进而得出，即可证明BG平分∠DBC；
（2）①利用三角形外角的性质得，，再利用，，进行等量代换，将，代入即可求得；②同①可推出，变形得，即可求得；③同上可得，结合3m-n=1可得，由m≠可得，进而求得．
（1）
证明：∵DEBC，
∴，
∵，
又∵∠EDB=2∠G，
，
，
∴BG平分∠DBC．
（2）
解：①∵，
又∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
②∵，
又∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
③∵，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和），并根据已知条件进行等量代换是解题的关键．
26．（2021春·江苏常州·七年级常州市第二十四中学校考期中）已知，如图：射线分别与直线、相交于、两点，的角平分线与直线相交于点，射线交于点，设，且．
（1）________，________；直线与的位置关系是______；
（2）如图，若点是射线上任意一点，且，试找出与之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
（3）若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图）分别与、相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；
（2）先根据内错角相等证GH∥PN，再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°；
（3）作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，先根据同位角相等证ER∥FQ，得∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，得出∠EPM1=2∠R，即可得=2．
【解析】解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，
∴α=β=35，
∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，
∴∠EMF=∠MFN，
∴AB∥CD；
（2）∠FMN+∠GHF=180°；
理由：由（1）得AB∥CD，
∴∠MNF=∠PME，
∵∠MGH=∠MNF，
∴∠PME=∠MGH，
∴GH∥PN，
∴∠GHM=∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM=180°，
∴∠FMN+∠GHF=180°；
（3）的值不变，为2，
理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，
∵AB∥CD，
∴∠PEM1=∠PFN，
∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，
∴∠PER=∠PFQ，
∴ER∥FQ，
∴∠FQM1=∠R，
设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，
则有：，
可得∠EPM1=2∠R，
∴∠EPM1=2∠FQM1，
∴==2．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
27．（2021春·江苏南京·七年级统考期中）【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：
（1）探究1：如图1，在中，P是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下：
∵和分别是和的角平分线，
∴，．
∴．
又∵在中，，
∴
∴
（2）探究2：如图2中，H是外角与外角的平分线和的交点，若，则______．若，则与有怎样的关系？请说明理由．
（3）探究3：如图3中，在中，P是与的平分线和的交点，过点P作，交于点D．外角的平分线与的延长线交于点E，则根据探究1的结论，下列角中与相等的角是______；
A． B． C．
（4）探究4：如图4中，H是外角与外角的平分线和的交点，在探究3条件的基础上，①试判断与的位置关系，并说明理由；
②在中，存在一个内角等于的3倍，则的度数为______
【答案】（2）；；理由见解析；（3）B；（4）①，理由见解析；②45°或60°
【分析】（2）由（1）中结论可得，依据角平分线的定义，即可得出和均为直角；再根据四边形内角和进行计算，即可得到的度数以及与的关系；
（3）由（1）中结论可得，再根据垂线的定义以及三角形外角性质，即可得出，进而得到；
（4）①根据，即可得到，再根据角平分线的定义，即可得到，依据，即可判定；
②由①可得，即可得出，再根据在中一个内角等于的倍，分三种情况讨论，即可得出的度数．
【解析】解：（2）由（1）可得，，
∵是外角与外角的平分线和的交点，是与的平分线和的交点，
∴，
同理可得，
∴四边形中，，
故答案为：；
若，则与关系为：．
理由：由（1）可得，，
∵是外角与外角的平分线和的交点，是与的平分线和的交点，
∴，
同理可得，
∴四边形中，．
（3）由（1）可得，，
∵，平分，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∴，
故答案为：；
（4）①．
理由：∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②由①可得，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
分三种情况：
①若，则，
解得（不合题意），
②若，则，
∴，
解得，
∴，
由（2）可得，，即，
∴；
③若，则，
∴，
解得，
∴，
由（2）可得，，即，
∴；
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查的是角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理以及平行线的判定的综合运用，熟记基本图形中的结论，准确识图并灵活运用基本结论是解题的关键．
28．（2021春·江苏南京·七年级校联考期中）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
已知：如图，AB∥CD， ．
求证： ．
证明：
（2）如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．
（3）如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN， MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数．
【答案】（1）直线MN分别交直线AB、CD于点E、F，∠AEF和∠CFE的角平分线 OE、OF交于点O，OE⊥OF，见解析；（2）见解析；（3）51°．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可证明；
（2）延长交于点，过点作交于点，结合（1）的方法即可证明；
（3）延长、交于点，过点作交于点．结合（1）的方法可得，再根据角平分线定义即可求出结果．
【解析】（1）已知：如图①，，直线分别交直线，于点，，、分别平分、，
求证：；
证法，
，
、分别平分、，
．
，
．
；
证法2：如图，过点作交直线于点．
，
，
、分别平分、，
．
，，
．
．
；
故答案为：直线分别交直线，于点，，、分别平分、，；
（2）证明：如图，延长交于点，过点作交于点，
，
，
，
．
、分别平分、，
，
，，
．
．
；
（3）解：如图，延长、交于点，过点作交于点．
，，
，
由（1）证法2可知，
、分别平分、，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
29．（2021春·江苏扬州·七年级统考期中）如图1，将一副三角板与三角板摆放在一起；如图2，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角（）．
（1）当________度时，；当________度时；
（2）当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数；
（3）当，连接，利用图4探究的度数是否发生变化，并给出你的证明．
【答案】（1）105，15；（2）旋转角的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°；（3），保持不变；见解析
【分析】（1）三角板ADE顺时针旋转后的三角板为，当时，，则可求得旋转角度；当∥BC时，，则可求得旋转角度；
（2）分五种情况考虑：AD∥BC，DE∥AB，DE∥BC，DE∥AC，AE∥BC，即可分别求出旋转角；
（3）设BD分别交、于点M、N，利用三角形的内外角的相等关系分别得出：及，由的内角和为180°，即可得出结论．
【解析】（1）三角板ADE顺时针旋转后的三角板为，当时，如图，
∵，∠EAD=45°
∴
即旋转角
当时，如图，则
∴=45°-30°=15°
即旋转角°
故答案为：105，15
（2）当的一边与的某一边平行（不共线）时，有五种情况
当AD∥BC时，由（1）知旋转角为15°；
如图（1），当DE∥AB时，旋转角为45°；
当DE∥BC时，由AD⊥DE，则有AD⊥BC，此时由（1）知，旋转角为105°；
如图（2），当DE∥AC时，则旋转角为135°；
如图（3），当AE∥BC时，则旋转角为150°；
所以旋转角的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°
（3）当，，保持不变；
理由如下：
设BD分别交、于点M、N，如图
在中，
，
，
【点睛】本题考查了图形旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角与不相邻的两个内角的相等关系等知识，注意旋转的三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度．
30．（2021春·江苏扬州·七年级统考期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，交BC边于点E．

（1）如图1，过点A作AD⊥BC于D，若已知∠C＝50°，则∠EAD的度数为 ；
（2）如图2，过点A作AD⊥BC于D，若AD恰好又平分∠EAC，求∠C的度数；
（3）如图3，CF平分△ABC的外角∠BCG，交AE的延长线于点F，作FD⊥BC于D，设∠ACB＝n°，试求∠DFE﹣∠AFC的值；（用含有n的代数式表示）
（4）如图4，在图3的基础上分别作∠BAE和∠BCF的角平分线，交于点F1，作F1D1⊥BC于D1，设∠ACB＝n°，试直接写出∠D1F1A﹣∠AF1C的值．（用含有n的代数式表示）
【答案】（1）10°；（2）∠C的度数为70°；（3）∠DFE﹣∠AFC的值为；（4）∠D1F1A﹣∠AF1C的值为．
【分析】（1）根据∠EAD=∠EAC-∠DAC，求出∠EAC，∠DAC即可解决问题．
（2）设∠CAD=x，则∠EAD=∠CAD=x，∠EAB=∠EAC=2x，利用三角形内角和定理构建方程求出x即可解决问题．
（3）设∠CAD=x，则∠EAD=∠CAD=x，∠EAB=∠EAC=2x，用n，x表示出∠DFE，∠AFC，再结合三角形内角和定理解决问题即可．
（4）设∠FAC=∠FAB=y．用n，x表示出∠D1F1A，∠AF1C，再结合三角形内角和定理解决问题即可．
【解析】解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC=50°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-50°=40°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=50°-40°=10°．
（2）设∠CAD=x，则∠EAD=∠CAD=x，∠EAB=∠EAC=2x，
∵AD⊥EC，
∴∠ADE=∠ADC=90°，
∴∠AED+∠EAD=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠AED=∠C=∠B+∠EAB=30°+2x，
在△ABC中，由三角形内角和定理可得：30°+30°+2x+4x=180°，
解得x=20°，
∴∠C=30°+40°=70°．
（3）设∠FAC=∠FAB=x．则有∠AEC=∠DEF=180°-n-x，
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠DFA=90°-(180°-n-x)=n+x-90°，
∵CF平分∠BCG，
∴∠FCG=(180°-n)，
∵∠AFC=∠FCG-∠FAC=(180°-n)-x=90°-n-x=15°，
∴∠DFE-∠AFC=n+x-105°，
∵2x+30°+n=180°，
∴x=75°-n，
∴∠DFE-∠AFC=n-30°．
（4）设∠FAC=∠FAB=y．
由题意同法可得：∠D1F1A=90°-(180°-n-y)=n+y-90°，
∠AF1C=180°-y-n-(180°-n)=135°-y-n，
∴∠D1F1A-∠AF1C=n+y-90°-(135°-y-n)=n+3y-225°，
∵2y+30°+n=180°，
∴y=75°-n，
∴∠D1F1A-∠AF1C=n+y-90°-(135°-x-n)=n+225°-n-225°=n．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，本题有一定的难度．
31．（2021·江苏镇江·七年级统考期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．
【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0
【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；
②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入计算即可；
（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入计算可得；
②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入计算即可；
③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）计算可得；
④根据两个凹四边形ABOD和ABOC得到两个等式，联立可得结论．
【解析】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；
②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；
（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1
=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）
=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=∠BOC-（120°-50°）
=120°-35°
=85°；
②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=120°-（120°-50°）
=120°-21°
=99°；
③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）
=180°-（∠BOC-∠C）
=180°-（120°-44°）
=142°；
④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，
∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，
联立得：∠B-∠C+2∠D=0．
【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质．