苏科版七年级数学下册满分冲刺卷特训03第8-9章压轴题(江苏精选归纳)(原卷版+解析)

这是一份苏科版七年级数学下册满分冲刺卷特训03第8-9章压轴题(江苏精选归纳)(原卷版+解析)，共59页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______；
(2)“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数）
(3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）．
2．（2021春·江苏连云港·七年级统考期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．
(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．如：数列1，3，9，27，为等比数列，其中，公比为．然后解决下列问题．
(1)等比数列3，6，12，的公比为 ，第4项是 ．
(2)如果已知一个等比数列的第一项（设为和公比（设为，则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，，．由此可得第项 （用和的代数式表示）．
(3)若一等比数列的公比，第2项是10，求它的第1项与第4项．
(4)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．
5．（2022春·江苏南京·七年级校考期中）问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ．
(1)请补全小明的解法；
(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．
类比研究
(3)若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．
拓伸延伸
(4)如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．
6．（2022春·江苏苏州·七年级星海实验中学校考期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
(1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________；
(2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
(3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，则当a与b满足____时，S为定值，且定值为______．（用含b的代数式表示）
7．（2022春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）先阅读后解题：
若，求m和n的值．
解：等式可变形为：
即，
因为，，
所以，
即，．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．
请利用配方法，解决下列问题：
(1)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长是______；
(2)求代数式的最小值是多少？并求出此时a，b满足的数量关系；
(3)请比较多项式与的大小，并说明理由．
8．（2021春·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”、理由：因为，所以10是“完美数”．
解决问题：
（1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）．
①29； ②48： ③13： ④28．
探究问题：
（2）若可配方成（为常数），则的值________；
（3）已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
拓展应用：
（4）已知实数满足，求的最小值．
9．（2020秋·江苏盐城·七年级统考期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；
【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式是 ；
（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ；
【知识迁移】
（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ．
10．（2021·江苏镇江·七年级统考期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：．
（1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；（用a、b表示）
（2）利用上面结论解决问题：若，则__________；
（3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示）
（4）利用上面结论解决问题：已知，则__________；
（5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c的小正方形），由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示）
（6）若，请通过计算说明a、b、c满足上面结论．
11．（2019秋·江苏南通·八年级校考期中）我们伟大祖国伟大人民在人类历史上，有过无比睿智的成就，“杨辉三角”就是一例，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由小到大的顺序）的系数规律，例如，第三行的3个数1，2，1，恰好对应着=展开式中各项系数，第四行的4个数1，3，3，1，恰好对应着=展开式中各项系数．
（1）写出的展开式；
（2）求出的展开式中（按的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数．
12．（2020春·江苏徐州·七年级统考期中）阅读以下材料：
；
；
（1）根据以上规律，= ；
（2）利用（1）的结论，求的值
13．（2020春·江苏苏州·七年级统考期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是________________；
（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1:________________________；方法2：_______________________；
（3）观察图②，请你写出（a+b）2、、之间的等量关系是____________________________________________；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题:若，，则=
[知识迁移]
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（5）根据图③，写出一个代数恒等式：____________________________；
（6）已知，，利用上面的规律求的值．
14．（2023春·江苏·七年级专题练习）
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
15．（2022秋·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习） 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现．
(1)填表：【数的角度】
(2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ．
(3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ．
(4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
16．（2023春·江苏·七年级专题练习）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；
17．（2023春·江苏·七年级专题练习）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对(a，b)与(c，d)．我们规定：(a，b)⊗(c，d)=a2+d2−bc．例如：(1，2)⊗(3，4)=12+42−2×3=11．
(1)若(2x，kx)⊗(y，−y)是一个完全平方式，求常数k的值；
(2)若2x+y=12，且(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)=104，求xy的值；
(3)在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB=2x，BC=8x，CE=y，CG=4y，求图中阴影部分的面积．
18．（2019春·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校考阶段练习）你能化简（m﹣1）（m99+m98+…+m+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，探究归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；
（m﹣1）（m2+m+1）＝ ；
（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝ ；
（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+m+1）＝ ．
（2）请你利用上面的结论计算：299+298+297+…+2+1，写出计算过程．
（3）根据以上计算经验，直接写出3n+3n﹣1+3n﹣2+…+3+1结果 ．
19．（2022秋·江苏泰州·七年级统考期中）定义一种新的运算“”：
(1)仔细观察，归纳“”运算法则：两数进行“”运算时，______；
特别地，0与任何数进行“”运算，或任何数与0进行“”运算，结果为______；
(2)计算：；
(3)已知，，，试判断的值是否大于0？并说明理由．
20．（2023春·江苏·七年级专题练习）发现与探索：
（1）根据小明的解答将下列各式因式分解
小明的解答：
①
②
③
（2）根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式无论取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．
①说明：代数式的最小值为．
②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．
21．（2021秋·江苏无锡·七年级校联考期中）【感悟数学方法】
已知：，．
（1）计算：；
（2）若的值与字母的取值无关，求的值．
【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：
新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求的值．
22．（2020春·江苏连云港·七年级统考期末）【阅读理解】我们常将一些公式变形，以简化运算过程．
如，可以把公式“”变形成或等形式，运用于下面这个问题的解答：
问题：若满足，求的值．
我们可以作如下解答：设，，则，，所以．
请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：
（1）若满足，则的值为_______；
（2）若满足，则的值为______；
（3）如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，.沿着、所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形的面积．
23．（2021春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2).
（1）图2中的阴影部分面积为： ；（用a、b的代数式表示）
（2）观察图2，请你写出（a+b）2、 (a-b)2、 ab之间的等量关系是 ；
（3）利用(2）中的结论，若x+y=5 ，xy=，求(x-y)2的值 ；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式 ；
（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、 BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正 方形CBFG，连接EG、 BG、 BE，当BC=1时，△BEG的面积记为S1，当BC=2时，△BEG的面积记为S2，，以此类推，当BC=n时，△BEG的面积记为Sn，则S2020-S2019的值为 ．
24．（2020春·江苏无锡·七年级校联考期中）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 ；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 、
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为__________________
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
25．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读以下内容解答下列问题．
七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题：
（1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是 ．
（2）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），【注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）】，于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”．
①求式子中m、n的值；
②用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
26．（2019春·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校考阶段练习）我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如图1），多项式乘多项式的运算法则：
（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图3）．
把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．
（1）请设计两个图形说明一下两个等式成立（画出示意图，并标上字母）
①（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2
②（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c．试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）
27．（2019春·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校考阶段练习）借助表格进行多项式乘多项式运算，可以方便合并同类项得出结果．下面尝试利用表格试一试．
例题：（a+b）（a﹣b）
解填表
则（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
根据所学完成下列问题．
（1）如表，填表计算（x+2）（x2﹣2x+4），（m+3）（m2﹣3m+9），直接写出结果．
结果为 ；结果为 ．
（2）根据以上获得的经验填表：
结果为△3+〇3，根据以上探索，请用字母a、b来表示发现的公式为 ．
（3）用公式计算：（2x+3y）（4x2﹣6xy+9y2）＝ ；
因式分解：27m3﹣8n3＝ ．
28．（2020秋·江苏南通·八年级校考期中）阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数.
小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：
也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数.
延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数，可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算所得多项式的一次项系数为____________________.
(2)计算所得多项式的一次项系数为_____________.
(3)若是的一个因式，求、的值.
29．（2019·江苏南京·七年级统考期中）借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论．
初步应用
（1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则______（用图中字母表示）
②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：______（用图中字母表示）
深入探究
（2）仿照图2，构造图形并计算（a+b+c）2
拓展延伸
借助以上探究经验，解决下列问题：
（3）①代数式（a1+a2+a2+a3+a4+a5）2展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有______项；
②若正数x、y、z和正数m、n、p，满足x+m=y+n=z+p=t，请通过构造图形比较px+my+nz与t2的大小（画出图形，并说明理由）；
③已知x、y、z满足x+y+z=2m，x2+y2+z2=2n，xyz=p，求x2y2+y2z2+x2z2的值（用含m、n、P的式子表示）
30．（2019春·江苏常州·七年级校考期中）【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2请解答下列问题:
（1）写出图2中所表示的数学等式________________；
（2）利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a,b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形，则x+y+z=_______；
【知识迁移】(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式：_______________.
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5


；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
a
b
a
a2
ab
﹣b
﹣ab
﹣b2
x2
﹣2x
4
x
x3
﹣2x2
4x
+2
2x2
﹣4x
8
m2
﹣3m
9
m
m3
﹣3m2
9m
+3
3m2
﹣9m
27
△
△3
〇
〇3
特训03 第8-9章 压轴题（江苏精选归纳）
一、解答题
1．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______；
(2)“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数）
(3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）．
【答案】(1)1，﹣2
(2)3
(3)0.6020，0.699．
【分析】（1）由“劳格数”的定义运算转化为同底数幂解答即可；
（2）根据幂的乘方公式转化求解即可；
（3）根据积的乘方公式、幂的乘方转化求解即可.
【解析】（1）解：∵10b＝10，
∴b＝1，
∴d（10）＝1；
10b＝10﹣2，∴b＝﹣2，
∴d（10﹣2）＝﹣2；
故答案为1，﹣2；
（2）解：∵d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）
∴
故答案为3；
（3）解：∵d（2）＝0.3010，
∴d（4）＝2d（2）＝0.6020，
d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.699．
【点睛】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键.
2．（2021春·江苏连云港·七年级统考期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+
【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；
（2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果；
（3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果；
（4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解．
【解析】解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
（2）设s＝①，
s＝②，
②−①得，s−s＝-s＝-1，
∴s＝2-，
故答案为：2-；
（3）设s＝①
-2s＝②
②−①得，-2s−s＝-3s＝+2
∴s＝；
（4）设s＝①，
as＝②，
②-①得：as-s=-a-，
设m=-a-③，
am=-④，
④-③得：am-m=a-，
∴m=，
∴as-s=+，
∴s=+．
【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．
(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
【答案】(1)2，4，6
(2)
(3)
(4)证明见解析
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：，；
（3）由特殊到一般，得出结论：．
（4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论．
【解析】（1）∵，，
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵，，，，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）的结果可得，
故答案为：．
（4）设，，
则，
∴
，
∴，
∴．
【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．如：数列1，3，9，27，为等比数列，其中，公比为．然后解决下列问题．
(1)等比数列3，6，12，的公比为 ，第4项是 ．
(2)如果已知一个等比数列的第一项（设为和公比（设为，则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，，．由此可得第项 （用和的代数式表示）．
(3)若一等比数列的公比，第2项是10，求它的第1项与第4项．
(4)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．
【答案】(1)2，24
(2)
(3)第1项是5，第4项是40
(4)1536
【分析】（1）根据第一项是3，第二项是6求出公比为2，再根据第三项是12求出第四项为24；
（2）发现的q的幂指数为项数减1，第n项；
（3）用第二项的10除以公比2得第一项是5，第四项为；
（4）设这个等比数列的第一项为，公比为q，根据第三项为12，第六项为96列方程组求出第一项为3，公共比为2，再求第十项是1536．
【解析】（1）根据题意知公比，第4项是，
故答案为：2，24；
（2）根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，．由此可得第项，
故答案为：；
（3）根据题意知， 第1项为，第4项为；
（4）设这个等比数列的第一项为，公比为q，
根据题意知，
，即，
则，
这个等比数列的第10项为．
【点睛】本题考查了等比数列的概念，理解等比数列的概念，熟练运用等比数列的概念和性质进行计算是解决本题的关键．
5．（2022春·江苏南京·七年级校考期中）问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ．
(1)请补全小明的解法；
(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．
类比研究
(3)若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．
拓伸延伸
(4)如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．
【答案】(1)2，5，21
(2)120
(3)﹣1009
(4)44
【分析】（1）根据题干步骤进行求解即可；
（2）由（1）的步骤进行求解即可；
（3）根据题干的步骤反向求解即可；
（4）先表示出相应的量，再按照题干方法步骤求解即可；
【解析】（1）解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝2，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21．
（2）设（30﹣x）＝m，（x﹣20）＝n，
则mn＝（30﹣x）（x﹣20）＝-10，m+n＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10．
所以（30﹣x）2+（x﹣20）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝120．
（3）设（2023﹣x）＝t，（x﹣2021）＝h，
则（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝t2+h2＝（t+h）2﹣2th＝2022．
因为t+h＝（2023﹣x）+（x﹣2021）＝2．
所以th＝（2023﹣x）（x﹣2021）＝(22-2022)÷2=-1009．
（4）∵
∴
∵，
∴
阴影部分的面积为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，将完全平方公式进行变换求解是解题的关键．
6．（2022春·江苏苏州·七年级星海实验中学校考期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
(1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________；
(2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
(3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，则当a与b满足____时，S为定值，且定值为______．（用含b的代数式表示）
【答案】(1)＝
(2)见解析
(3)时，
【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；
（2）由a2+4ab+3b2可得A型卡片1张，B型卡片3张，C型卡片4张，根据题意画出图形即可；
（3）设DG的长为x，求出S1，S2即可解决问题．
【解析】（1）解：方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图中四部分的面积和为a2+2ab+b2，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）解：如图3，
（3）解：设DG的长为x，
∵S1=a[x-（a+b）]=ax-a2-ab，S2=2b（x-a）=2bx-2ab，
∴S=S2-S1
=2bx-2ab-（ax-a2-ab）
=（2b-a）x-ab+a2，
若S为定值，则2b-a=0，
∴a=2b，
∴当a与b满足a=2b时，S为定值，且定值为，
故答案为：a=2b，．
【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的特点，数形结合的数学思想是解决问题的关键．
7．（2022春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）先阅读后解题：
若，求m和n的值．
解：等式可变形为：
即，
因为，，
所以，
即，．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．
请利用配方法，解决下列问题：
(1)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长是______；
(2)求代数式的最小值是多少？并求出此时a，b满足的数量关系；
(3)请比较多项式与的大小，并说明理由．
【答案】(1)9
(2)3，
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据配方法，可得a，b的值，在根据三角形三边的关系，可得c的值，根据三角形的周长，可得答案；
（2）根据配方法，可得非负数的和，根据非负数的性质，可得答案；
（3）根据多项式的减法计算，然后根据配方法化简多项式的差，可得结论．
(1)
已知的三边长a，b，c都是正整数，
的周长是
故答案为：
(2)
当时，的最小值为3
(3)
【点睛】本题考查了非负数的性质，利用配方法得出非负数的和是解题关键．
8．（2021春·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”、理由：因为，所以10是“完美数”．
解决问题：
（1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）．
①29； ②48： ③13： ④28．
探究问题：
（2）若可配方成（为常数），则的值________；
（3）已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
拓展应用：
（4）已知实数满足，求的最小值．
【答案】（1）①③；（2）；（3）当时，S是完美数，理由见详解；（4）的最小值为．
【分析】（1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论；
（4）利用配方法和非负数的性质求得的最小值．
【解析】解：（1）根据题意，
∵，，48和28不能拆解为两数的平方和，
∴“完美数”有29和13；
故答案为：①③；
（2）∵，
又∵，
∴，，
∴；
故答案为：；
（3）当时，S是完美数；
理由如下：
；
∵是整数，
∴和也是整数，
∴当时，S是完美数；
（4）根据题意，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了新定义的运算法则，因式分解的应用，配方法的应用，完全平方公式，解题的关键是仔细阅读材料理解分组分解的方法，难度不大．
9．（2020秋·江苏盐城·七年级统考期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；
【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式是 ；
（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ；
【知识迁移】
（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ．
【答案】（1）（a-b）2，（a+b）2-4ab；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）80；（4）x3-x=x（x+1）（x-1）
【分析】（1）利用直接和间接的方法表示出阴影部分面积；
（2）由阴影部分面积相等可得结果；
（3）直接根据（2）的结论代入求值即可；
（4）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可．
【解析】解：（1）方法1：直接根据正方形的面积公式得，（a-b）2，
方法2：大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2-4ab；
（2）由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
（3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得：102-4×5=（a-b）2，
∴（a-b）2=80；
（4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1），
∴恒等式为x3-x=x（x+1）（x-1）．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
10．（2021·江苏镇江·七年级统考期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：．
（1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；（用a、b表示）
（2）利用上面结论解决问题：若，则__________；
（3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示）
（4）利用上面结论解决问题：已知，则__________；
（5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c的小正方形），由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示）
（6）若，请通过计算说明a、b、c满足上面结论．
【答案】（1）；（2）28；（3）；（4）21；（5）；（6）见解析
【分析】（1）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；
（2）由（1）得到，再将已知等式代入计算即可；
（3）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；
（4）根据（3）中结论，将已知等式代入计算即可；
（5）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；
（6）分别计算出，，，根据整式的混合运算法则可得结论．
【解析】解：（1）大正方形整体表示面积为：，
大正方形部分和表示面积为：，
∴由此可得等式为：；
（2）由（1）可得：
，
∴x+y=6，xy=2，
∴，
∴；
（3）大正方形面积整体表示为：，
大正方形面积部分和表示为：，
故由此可得公式为：
；
（4）∵a+b+c=7，ab+bc+ac=14，
∴由（3）可得：
，
∴；
（5）由题可得：
大正方形面积整体表示为：，
大正方形面积部分和表示为：，
∴，
∴；
（6）∵，，，
∴，
，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，用不同的方式表示出同一个图形的面积，解题时注意数形结合思想的运用．
11．（2019秋·江苏南通·八年级校考期中）我们伟大祖国伟大人民在人类历史上，有过无比睿智的成就，“杨辉三角”就是一例，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由小到大的顺序）的系数规律，例如，第三行的3个数1，2，1，恰好对应着=展开式中各项系数，第四行的4个数1，3，3，1，恰好对应着=展开式中各项系数．
（1）写出的展开式；
（2）求出的展开式中（按的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数．
【答案】（1）（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（2）105
【分析】根据规律能得出（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4，（a+b）5的值，即可推出（a+b）6的值；
（2）分别得出（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4，（a+b）5的展开式中倒数第三项的系数，得出规律再求解即可．
【解析】解：（1）∵（a+b）1=a+b，
（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
∴（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
（2）由图中规律可得：
（a+b）2的展开式中倒数第三项的系数为：1，
（a+b）3的展开式中倒数第三项的系数为：1+2=3，
（a+b）4的展开式中倒数第三项的系数为：1+2+3=6，
（a+b）5的展开式中倒数第三项的系数为：1+2+3+4=10，
∴的展开式中倒数第三项的系数为：1+2+...+14=105．
【点睛】本题考查了数字的变化类、数学常识、多项式、完全平方式，解决本题的关键是理解“杨辉三角”．
12．（2020春·江苏徐州·七年级统考期中）阅读以下材料：
；
；
（1）根据以上规律，= ；
（2）利用（1）的结论，求的值
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）仔细观察上式就可以发现得数中x的指数是式子中x的最高指数减1，根据此规律就可求出本题.
（2）不难看出所求式子是材料中等号左边式子的一个因式，将所求式子转化成
形式，即可利用（1）的结论进行求解.
【解析】（1）中最高次项为，
所以=-1；
（2）
=（5-1）（）
=
【点睛】仔细观察式子，总结出运算规律，是解决此类题的关键.
13．（2020春·江苏苏州·七年级统考期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是________________；
（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1:________________________；方法2：_______________________；
（3）观察图②，请你写出（a+b）2、、之间的等量关系是____________________________________________；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题:若，，则=
[知识迁移]
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（5）根据图③，写出一个代数恒等式：____________________________；
（6）已知，，利用上面的规律求的值．
【答案】（1） a-b；（2）； ； （3）；（4） 14；（5） （a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；（6） 9．
【分析】（1）由图直接求得边长即可，
（2）已知边长直接求面积，阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，可得答案，
（3）利用面积相等推导公式；
（4）利用（3）中的公式求解即可，
（5）利用体积相等推导；
（6）应用（5）中的公式即可．
【解析】解：（1）由图直接求得阴影边长为a-b；
故答案为：a-b；
（2）方法一：已知边长直接求面积为；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为；
故答案为；；
（3）由阴影部分面积相等可得；
故答案为：
（4）由，
可得，
∵，
∴ ，
∴ ；
故答案为；
（5）方法一：正方体棱长为a+b， ∴体积为，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，
即，
∴；
故答案为；
（6）∵；
将a+b=3，ab=1，代入得：

；
【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；同时考查对公式的熟练的应用，能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
14．（2023春·江苏·七年级专题练习）
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
②43或
【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可．
（2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可．
【解析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以．
故答案为：．
（2）①把二次项系数2写成，，满足，所以．
故答案为：．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，
所以．
故答案为：．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，
所以．
故答案为：．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，
所以m=或m=，
故m的值为43或-78．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．
15．（2022秋·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习） 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现．
(1)填表：【数的角度】
(2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ．
(3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ．
(4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
【答案】(1)5，
(2)
(3)
(4)1275
【分析】(1)a=3，b=-2时，;
时，a-b=．
(2)小空1 大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，作差即可．
小空2 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可．
(3)根据第(2)小题发现的规律写出等量关系即可．
(4)每两个数为一组按照根据第（3）小题写出的规律进行变形，问题即可解决．
【解析】（1）
（2）小明的方法:大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，，
∴阴影部分的面积为a2-b2；
小红的方法：长方形的长为a+b，宽为a-b，
∴阴影部分的面积为(a+b)(a-b)．
故答案为：
（3）a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是．
（4）502－492＋482－472＋462－452…＋22－1
=(502－492)＋(482－472)＋(462－452 )…＋(22－1)
=(50+49) ×(50-49)+(48+47) ×（48-47）+(46+45) ×(46-45) …+(2+1) ×(2-1)
=50+49+48+47+46+45+…+2+1
=
=1275
【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律．
16．（2023春·江苏·七年级专题练习）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；
【答案】(1)25；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；
（2）原式常数项35分为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；
（3）配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出，，的值，代入原式计算即可．
【解析】（1）解：；
故答案为：25；
（2）解：
；
（3）解：
，
当，即时，取最小值，最小值为；
故答案为：；
（4）解：，
，
即，
，，，
，，，
解得：，，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式．
17．（2023春·江苏·七年级专题练习）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对(a，b)与(c，d)．我们规定：(a，b)⊗(c，d)=a2+d2−bc．例如：(1，2)⊗(3，4)=12+42−2×3=11．
(1)若(2x，kx)⊗(y，−y)是一个完全平方式，求常数k的值；
(2)若2x+y=12，且(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)=104，求xy的值；
(3)在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB=2x，BC=8x，CE=y，CG=4y，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)k=±4；
(2)xy=10；
(3)S阴=128．
【分析】（1）根据新定义，求出(2x，kx)⊗(y，−y)，再根据完全平方式的特征，即可求出k；
（2）根据新定义，求出(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)=104的左边，从而得出方程，再配方将2x+y=12整体代入，即可求出xy；
（3）根据阴影部分的面积等于三角形BCD的面积-三角形BGF的面积-三角形CGE的面积-三角形DFE的面积，代入相关数据求解即可．
【解析】（1）解：(2x，kx)⊗(y，−y)
=（2x）2+（-y）2-kx• y
=4x2-kxy+y2，
∵4x2-kxy+y2是一个完全平方式，
∴k=±4；
（2）解：(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)
=（3x+y）2+（x-3y）2-3（2x2+3y2）
=9x2+6xy+y2+x2-6xy+9y2-6x2-9y2
=4x2+y2
=（2x+y）2-4xy=104，
∵2x+y=12，
∴122-4xy=104，
∴xy=10；
（3）解：S△BDC=•2x•8x=8x2，
S△BGF= (8x−4y)•y=4xy−2y2，
S△DEF=•4y•(2x−y)=4xy−2y2，
S△GEC=•4y⋅y=2y2，
∴S阴=8x2−(4xy−2y2)−( 4xy−2y2)−2y2
=8x2−4xy+2y2−4xy+2y2−2y2
=2(4x2+y2−4xy)
=2[(2x+y) 2−8xy]，
∵2x+y=12，xy=10，
∴S阴=2(122−8×10)=128．
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特征是本题的关键．
18．（2019春·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校考阶段练习）你能化简（m﹣1）（m99+m98+…+m+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，探究归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；
（m﹣1）（m2+m+1）＝ ；
（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝ ；
（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+m+1）＝ ．
（2）请你利用上面的结论计算：299+298+297+…+2+1，写出计算过程．
（3）根据以上计算经验，直接写出3n+3n﹣1+3n﹣2+…+3+1结果 ．
【答案】（1）m3﹣1；m4﹣1；mn+1﹣1；（2），计算过程见解析；（3）．
【分析】（1）根据平方差公式总结规律，即可写出结果；
（2）先对原式变形后，然后再利用得（1）的规律计算即可；
（3）第一个因式：把3-1作为公因式，对原式进行变形，再根据规律解答即可.
【解析】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；
（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；
（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4﹣1；
（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+m+1）＝mn+1﹣1；
（2）∵（2﹣1）（299+298+297+…+2+1）＝2100﹣1，
∴299+298+297+…+2+1＝2100﹣1；
（3）∵（3﹣1）（3n+3n﹣1+3n﹣2+…+3+1）＝3n+1﹣1，
∴3n+3n﹣1+3n﹣2+…+3+1＝．
【点睛】本题考查了平方差公式及其应用，掌握平方差找公式的特点和整式乘法的运算法则是解答本题的关键.
19．（2022秋·江苏泰州·七年级统考期中）定义一种新的运算“”：
(1)仔细观察，归纳“”运算法则：两数进行“”运算时，______；
特别地，0与任何数进行“”运算，或任何数与0进行“”运算，结果为______；
(2)计算：；
(3)已知，，，试判断的值是否大于0？并说明理由．
【答案】(1)同号相乘，异号相除，0
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出“”运算的运算法则即可；
（2）根据（1）中的结论求解即可；
（3）先分别运算A和B，然后求和判断正负即可．
【解析】（1）解：由题意可得，“”运算法则：两数进行“”运算时，同号相乘，异号相除;
0与任何数进行“”运算，或任何数与0进行“”运算，结果为0．
故答案为：同号相乘、异号相除，0．
（2）解：
=
=
=
=．
（3）解：,理由如下：
∵
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、新定义、整式的四则混合运算等知识点，解审清题意、归纳出“”运算法则是解答本题的关键．
20．（2023春·江苏·七年级专题练习）发现与探索：
（1）根据小明的解答将下列各式因式分解
小明的解答：
①
②
③
（2）根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式无论取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．
①说明：代数式的最小值为．
②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．
【答案】（1）①（a-10）（a-2）；②（a-8）（a-2）；③（a-5b）（a-b）；（2）①见解析；②28
【分析】（1）仿照小明的解答过程、利用完全平方公式、平方差公式计算；
（2）仿照小丽的思考过程，利用完全平方公式、平方差公式计算、偶次方的非负性解答．
【解析】解：（1）①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-42
=（a-10）（a-2）；
②（a-1）2-8（a-1）+7
=（a-1）2-8（a-1）+16-16+7
=（a-5）2-32
=（a-8）（a-2）；
③a2-6ab+5b2
=a2-6ab+9b2-9b2+5b2
=（a-3b）2-4b2
=（a-5b）（a-b）；
（2）①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-16，
无论a取何值（a-6）2都大于等于0，再加上-16，
则代数式（a-6）2-16大于等于-16，
则a2-12a+20的最小值为-16；
②无论a取何值-（a+1）2都小于等于0，再加上8，
则代数式-（a+1）2+8小于等于8，
则-（a+1）2+8的最大值为8，
-a2+12a-8．
=-（a2-12a+8）
=-（a2-12a+36-36+8）
=-（a-6）2+36-8
=-（a-6）2+28
无论a取何值-（a-6）2都小于等于0，再加上28，
则代数式-（a-6）2+28小于等于28，
则-a2+12a-8的最大值为28．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．
21．（2021秋·江苏无锡·七年级校联考期中）【感悟数学方法】
已知：，．
（1）计算：；
（2）若的值与字母的取值无关，求的值．
【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：
新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求的值．
【答案】感悟数学方法：（1）；（2）；解决实际问题：．
【分析】感悟数学方法：（1）将A、B的值代入计算整式的加减即可得；
（2）根据“值与字母的取值无关”建立方程，再解方程即可得；
解决实际问题：设经销商购进甲型口罩箱，从而可得购进乙型口罩箱，再根据题意列出利润的表达式，然后参照（2）的方法求解即可得．
【解析】感悟数学方法：（1），，
，
，
；
（2），
的值与字母的取值无关，
，
解得；
解决实际问题：设经销商购进甲型口罩箱，则购进乙型口罩箱，
则经销商的利润为，
，
，
要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，
则，
解得．
【点睛】本题考查了整式乘法与加减法的应用、以及无关型问题、一元一次方程的应用，正确列出利润的表达式是解题关键．
22．（2020春·江苏连云港·七年级统考期末）【阅读理解】我们常将一些公式变形，以简化运算过程．
如，可以把公式“”变形成或等形式，运用于下面这个问题的解答：
问题：若满足，求的值．
我们可以作如下解答：设，，则，，所以．
请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：
（1）若满足，则的值为_______；
（2）若满足，则的值为______；
（3）如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，.沿着、所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形的面积．
【答案】（1）120；（2）2021；（3）长方形NDMH的面积为192．
【分析】（1）根据题中提供方法进行计算即可；
（2）设a=2020-x，b=2017-x，计算出a-b的值，利用2ab=a2+b2-（a-b）2，进行计算即可；
（3）由题意知，a2+b2=400，a-b=4．利用（a-b）2+2ab=a2+b2计算ab的值即可；
【解析】解：（1）设a=80-x，b=x-70，则ab=-10，a+b=80-x+x-70=10，
∴（80-x）2+（x-70）2的值=a2+b2=（a+b）2-2ab=100+20=120，
故答案为：120；
（2）设a=2020-x，b=2017-x，则a-b=2020-x-2017+x=3，
∴（2020-x）（2017-x）=ab=[a2+b2-（a-b）2]= （4051-9）=2021，
故答案为：2021；
（3）设LD=a，DK=b，则AD=8+a，DC=b+12．
由题意知，8+a=b+12，a2+b2=400，
∴a-b=4．
∴（a-b）2+2ab=a2+b2
∴42+2ab=400，
所以ab=192．
所以长方形NDMH的面积为ab=192．
即：S矩形NDMH=ab=192．
【点睛】考查完全平方公式的意义和应用，理解公式的变形和结构特征是正确应用的前提．
23．（2021春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2).
（1）图2中的阴影部分面积为： ；（用a、b的代数式表示）
（2）观察图2，请你写出（a+b）2、 (a-b)2、 ab之间的等量关系是 ；
（3）利用(2）中的结论，若x+y=5 ，xy=，求(x-y)2的值 ；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式 ；
（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、 BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正 方形CBFG，连接EG、 BG、 BE，当BC=1时，△BEG的面积记为S1，当BC=2时，△BEG的面积记为S2，，以此类推，当BC=n时，△BEG的面积记为Sn，则S2020-S2019的值为 ．
【答案】（1）；（2）；（3）16；（4）；（5）
【分析】（1）首先根据图形分析得出阴影部分是个边长为的正方形，由此进一步计算即可；
（2）通过观察图形可以发现，大正方形是由四个矩形与中间的小正方形组成，据此进一步分析求解即可；
（3）根据（2）中的结论进一步代入计算即可；
（4）通过观察图形可以发现该大矩形由三个边长为的正方形、四个边长分别为的矩形和一个边长为的正方形组成，由此进一步分析求解即可；
（5）首先连接EC，然后证明出EC∥BG，再利用△BEG的面积与△BGC的面积相等从而得出，据此进一步计算即可.
【解析】（1）∵阴影部分是个边长为的正方形，
∴该阴影部分面积=，
故答案为：；
（2）∵大正方形是由四个矩形与中间的小正方形组成，
∴，
即：，
故答案为：；
（3）由（2）可得：，
∵，，
∴，
故答案为：16；
（4）∵该大矩形由三个边长为的正方形、四个边长分别为的矩形和一个边长为的正方形组成，
∴，
故答案为：；
（5）
如图，连接EC，
∵四边形ACDE与四边形GCBF皆为正方形，EC、GB皆为对角线，
∴∠ECA=∠GBC=45°，
∴EC∥GB，
∴△BEG的边BG上的高与△BGC的边BG上的高相等，
∴△BEG的面积=△BGC的面积，
当BC=时，△BEG的面积记为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，观察图形，找出相应的规律是解题关键.
24．（2020春·江苏无锡·七年级校联考期中）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 ；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 、
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为__________________
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
【答案】（1）（b﹣a）；（2）c2﹣2ab、（b﹣a）2；（3）a2+b2＝c2；（4）13；（5）（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（6）a3+b3＝40．
【分析】（1）根据直角三角形的两边长即可得到结论；
（2）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；
（3）根据（1）的结果，即可得出答案；
（4）代入求出即可；
（5）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；
（6）代入（5）中的等式求出即可．
【解析】解：（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a），
故答案为：（b﹣a）；
（2）图中阴影部分的面积为c2﹣2ab或（b﹣a）2，
故答案为：c2﹣2ab，（b﹣a）2；
（3）由（1）知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，
即a2＋b2＝c2，
故答案为：a2＋b2＝c2；
（4）∵a2＋b2＝c2，a＝5，b＝12，
∴c＝13，
故答案为：13；
（5）图形的体积为（a＋b）3或a3＋b3＋a2b＋a2b＋a2b＋ab2＋ab2＋ab2，
即（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2，
故答案为：（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2；
（6）∵a＋b＝4，ab＝2，（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2，＝a3＋b3＋3ab（a＋b）
∴43＝a3＋b3＋3×2×4，
解得：a3＋b3＝40．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键．
25．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读以下内容解答下列问题．
七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题：
（1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是 ．
（2）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），【注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）】，于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”．
①求式子中m、n的值；
②用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
【答案】（1）降次；（2）①m＝﹣3，n＝﹣5；②（x+1）（x+2）2．
【分析】（1）根据材料回答即可；
（2）①分别令x=0和x=1即可得到关于m和n的方程，即可求出m和n的值；
②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得出多项式含有因式（x+1），再利用①中方法解出a和b，即可代入原式进行分解.
【解析】解：（1）根据因式分解的定义可知：因式分解的作用也可以看做是降次，
故答案为：降次；
（2）①在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中，
令x＝0，可得：，解得：n=-5，
令x=1，可得：，
解得：m=﹣3，
故答案为：m＝﹣3，n＝﹣5；
②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得x3+5x2+8x+4=0，
则多项式x3+5x2+8x+4可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，
同①方法可得：a＝4，b＝4，
所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），
＝（x+1）（x+2）2．
【点睛】本题考查了因式分解，二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂材料中的意思，利用所学知识进行解答.
26．（2019春·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校考阶段练习）我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如图1），多项式乘多项式的运算法则：
（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图3）．
把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．
（1）请设计两个图形说明一下两个等式成立（画出示意图，并标上字母）
①（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2
②（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c．试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）
【答案】（1）①如图1，见解析；②如图2，见解析；（2）a2+b2＝c2．
【分析】（1）①根据图1、图2、图3类比画出即可；
②由题意可得图形为边长是a+b+c的正方形；
（2）先求出小正方形和四个三角形的面积并求和，再用正方形公式求大正方形的面积，然后根据面积相等列出等式，最后化简即可解答.
【解析】解：（1）①如图1，（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2，
②如图2，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
（2）如图4，小正方形的面积＝c2﹣ab×4＝c2﹣2ab＝（b﹣a）2，
即a2+b2＝c2．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能正确列代数式和掌握数形结合思想是解答本题的关键.
27．（2019春·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校考阶段练习）借助表格进行多项式乘多项式运算，可以方便合并同类项得出结果．下面尝试利用表格试一试．
例题：（a+b）（a﹣b）
解填表
则（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
根据所学完成下列问题．
（1）如表，填表计算（x+2）（x2﹣2x+4），（m+3）（m2﹣3m+9），直接写出结果．
结果为 ；结果为 ．
（2）根据以上获得的经验填表：
结果为△3+〇3，根据以上探索，请用字母a、b来表示发现的公式为 ．
（3）用公式计算：（2x+3y）（4x2﹣6xy+9y2）＝ ；
因式分解：27m3﹣8n3＝ ．
【答案】（1）x3+8；m3+27；（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；（3）8x3+27y3，（3m﹣2n）（9m2+6mn+4n2）．
【分析】（1）总结从所给表格得到的规律，然后再按照规律填写表格即可；
（2）依此类推填写表格即可；
（3）利用得出的公式计算即可.
【解析】解：（1）如表，
（x+2）（x2﹣2x+4）结果为：x3+8；
（m+3）（m2﹣3m+9）结果为：m3+27；
故答案为：x3+8；m3+27；
（2）根据以上获得的经验填表：
（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
故答案为：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
（3）（2x+3y）（4x2﹣6xy+9y2）＝8x3+27y3；
27m3﹣8n3＝（3m﹣2n）（9m2+6mn+4n2）．
故答案为：8x3+27y3，（3m﹣2n）（9m2+6mn+4n2）．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、公式法因式分解以及根据表格总结规律，弄清题意并根据表格总结规律是解答本题的关键.
28．（2020秋·江苏南通·八年级校考期中）阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数.
小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：
也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数.
延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数，可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算所得多项式的一次项系数为____________________.
(2)计算所得多项式的一次项系数为_____________.
(3)若是的一个因式，求、的值.
【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．
【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；
（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；
（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a、一次项系数为b列出方程组求出a、b的值，可得答案．
【解析】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，
故答案为19；
（2）所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1，
故答案为1；
（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，则（x2-3x+1）（x2+mx+2）=x4+ax2+bx+2，
解得：
故答案为a= -6，b= -3．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
29．（2019·江苏南京·七年级统考期中）借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论．
初步应用
（1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则______（用图中字母表示）
②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：______（用图中字母表示）
深入探究
（2）仿照图2，构造图形并计算（a+b+c）2
拓展延伸
借助以上探究经验，解决下列问题：
（3）①代数式（a1+a2+a2+a3+a4+a5）2展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有______项；
②若正数x、y、z和正数m、n、p，满足x+m=y+n=z+p=t，请通过构造图形比较px+my+nz与t2的大小（画出图形，并说明理由）；
③已知x、y、z满足x+y+z=2m，x2+y2+z2=2n，xyz=p，求x2y2+y2z2+x2z2的值（用含m、n、P的式子表示）
【答案】（1）①（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，②（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．（3）①15；②px+my+nz＜t2；③4m4-4m2n+n2-4pm
【分析】（1）①根据长方形的面积可得结论；
②图中大正方形的面积可以用正方形的面积公式来求，也可把正方形分成四个小图形分别求出面积再相加，从而得出（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）直接作图即可得出（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac成立；
（3）①分别计算两个数的平方，三个数的平方，…，得出规律即可求出答案；
②画图4可得结论；
③先将x+y+z=2m两边同时平方得：xz+xy+yz=2m2-n，继续平方后化简可得结论．
【解析】解：（1）①如图1，得（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，
②如图2，由②得：（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为①（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，②（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）已知大正方形的边长为a+b+c，
利用图形3的面积关系可得：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
（3）①（a1+a2）2=a12+a22…2项
+2a1a2….1项
所以一共有2+1=3项；
（a1+a2+a3）2=a12+a22+a32…3项
+2a1a2+2a1a3…2项
+2a2a3…1项
所以一共有3+2+1=6项；
（a1+a2+a3+a4）2=a12+a22+a32+a42…4项
+2a1a2+2a1a3+2a1a4…3项
+2a2a3+2a2a4…2项
+2a3a4…1项
所以一共有4+3+2+1=10项；
（a1+a2+a3+a4+a5）2=a12+a22+a32+a42+a52…5项
+2a1a2+2a1a3+2a1a4+2a1a5…4项
+2a2a3+2a2a4+2a2a5…3项
+2a3a4+2a3a5…2项
+2a4a5…1项
所以一共有5+4+3+2+1=15项；
故答案为15；
②如图4，由图形得：px+my+nz＜t2；
③∵x+y+z=2m，
∴x2+y2+z2+2xz+2xy+2yz=4m2，
∵x2+y2+z2=2n，
∴2xz+2xy+2yz=4m2-2n，
∵xz+xy+yz=2m2-n，
∴（xz+xy+yz）2=x2y2+y2z2+x2z2+2x2yz+2y2xz+2z2xy=（2m2-n）2，
∴x2y2+y2z2+x2z2=4m4-4m2n+n2-2xyz（x+y+z）=4m4-4m2n+n2-2p•2m=4m4-4m2n+n2-4pm．
【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合的思想是解本题的关键．
30．（2019春·江苏常州·七年级校考期中）【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2请解答下列问题:
（1）写出图2中所表示的数学等式________________；
（2）利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a,b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形，则x+y+z=_______；
【知识迁移】(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式：_______________.
【答案】（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）45；（3）x+y+z=9；（4）.
【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，ab+bc+ac=38作为整式代入即可求出．
（3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件．
【解析】（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由（1）得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
∵a+b+c=11,ab+bc+ac=38
∴121=a2+b2+c2+2×38，所以a2+b2+c2=121-76=45.
（3）（a+2b）（2a+b）=2a2+2b2+5ab，
所以x=2，y=2，z=5，所以x+y+z=9.
（4）x3-x=x（x-1）（x+1）.
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5


a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5
5
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
a
b
a
a2
ab
﹣b
﹣ab
﹣b2
x2
﹣2x
4
x
x3
﹣2x2
4x
+2
2x2
﹣4x
8
m2
﹣3m
9
m
m3
﹣3m2
9m
+3
3m2
﹣9m
27
△
△3
〇
〇3
x2
﹣2x
4
x
x3
﹣2x2
4x
+2
2x2
﹣4x
8
m2
﹣3m
9
m
m3
﹣3m2
9m
+3
3m2
﹣9m
27
△2
﹣〇△
〇2
△
△3
﹣〇△2
△〇2
+〇
〇△2
﹣△〇2
〇3