2024年云南省玉溪市易门县九年级中考数学二模试卷

这是一份2024年云南省玉溪市易门县九年级中考数学二模试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列各组数中，比0小的数是（ ）
A．5B．C．0D．﹣5
2．（2分）地处北京怀柔科学城的“北京光源”（HEPS）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级．lnm＝0.000000001m．将0.000000001用科学记数法表示应为（ ）
A．1×10﹣8B．1×10﹣9C．10×10﹣10D．0.1×10﹣8
3．（2分）下面四个几何体，同一个几何体从正面看和从左面看的形状图相同，这样的几何体共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a6C．a6÷a2＝a3D．a3+a2＝a5
5．（2分）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为（ ）
A．22.5°B．45°C．60°D．135°
6．（2分）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凸透镜的折射后，折射光线BE，DF交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝170°，则∠EPF的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
7．（2分）“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．100（1+x）2＝121
B．100（1+x%）2＝121
C．100（1+2x）＝121
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝121
8．（2分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度为（ ）
A．20mB．25mC．30mD．35m
9．（2分）近年来，计算步数的软件悄然兴起，每天监测自己的行走步数已成为当代入的一种习惯．某机构调查了某小区部分居民当天行走的步数（单位：千步），并将数据整理绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据统计图，得出下面四个结论，其中错误的是（ ）
A．此次一共调查了200位小区居民
B．行走步数为8～12千步的人数超过调查总人数的一半
C．行走步数为12～16千步的人数为40人
D．扇形图中，表示行走步数为4～8千步的扇形圆心角是90°
10．（2分）按一定规律排列的多项式：2a+b，3a2﹣2b3，4a3+3b5，5a4﹣4b7，…，第n个多项式是（ ）
A．（n+1）an+（﹣1）n﹣1nb2n﹣1
B．（n+1）an+1+（﹣1）nnb2n﹣1
C．（n+1）an﹣（﹣1）n﹣1nb2n﹣1
D．（n+1）an+1﹣（﹣1）nnb2n﹣1
11．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（ ）
A．68°B．64°C．58°D．32°
12．（2分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2分）关于一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况，正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有且只有一个实数根
D．没有实数根．
14．（2分）如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（ ）
A．1.5B．3C．4D．5
15．（2分）面积为15的正方形的边长为m，则m的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）当x＝ 时，分式＝0．
17．（2分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD：AB＝2：3，则S△ADE：S△ABC＝ ．
18．（2分）如图，反比例函数经过点A、点B，则m＝ ．
19．（2分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝4cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角θ＝ °．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20．（7分）先化简，再求值：，其中a＝4．
21．（6分）已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：∠B＝∠E．
22．（7分）列方程解应用题：
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
23．（6分）小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯．在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是 ．
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别过A，C作BC，AD的平行线交于点E，AC平分∠DAE，连接DE交AC于点O．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）连接OB，若四边形ADCE的周长为20，cs∠BAD＝，求OB的长．
25．（8分）某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）
（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．
27．（12分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．
如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，E是BA延长线上一点，连接CE，∠ACE＝∠ACD，H是线段AO上一点，连接CH并延长交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝DH，求证：AH•AO＝HB•AE；
（3）如图2，若AE＝AH，＝，点G是BC的中点，AG与CF交于点P，连接BP．请猜想PA，PB，PF的数量关系，并证明．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1．（2分）下列各组数中，比0小的数是（ ）
A．5B．C．0D．﹣5
【解答】解：∵5＞0，＞0，0＝0，﹣5＜0，
∴所给的各组数中，比0小的数是﹣5．
故选：D．
2．（2分）地处北京怀柔科学城的“北京光源”（HEPS）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级．lnm＝0.000000001m．将0.000000001用科学记数法表示应为（ ）
A．1×10﹣8B．1×10﹣9C．10×10﹣10D．0.1×10﹣8
【解答】解：0.000000001＝1×10﹣9．
故选：B．
3．（2分）下面四个几何体，同一个几何体从正面看和从左面看的形状图相同，这样的几何体共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：正方体、球，圆锥与圆柱四种几何体从正面看和从左面看，看到的相同，
故选：D．
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a6C．a6÷a2＝a3D．a3+a2＝a5
【解答】解：A、根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加可知a3•a2＝a5，故本选项错误；
B、根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘可知，（a3）2＝a6，故本选项正确；
C、根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可知a6÷a2＝a4，故本选项错误；
D、由于a2和a3不是同类项，故不能合并，故本选项错误．
故选：B．
5．（2分）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为（ ）
A．22.5°B．45°C．60°D．135°
【解答】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为360°，
∴它的一个外角∠1＝360°÷8＝45°．
故选：B．
6．（2分）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凸透镜的折射后，折射光线BE，DF交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝170°，则∠EPF的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【解答】解：∵AB∥MN∥CD，
∴∠ABE+∠BPM＝180°，∠CDF+∠DPM＝180°，
又∵∠ABE＝150°，∠CDF＝170°，
∴∠BPM＝180°﹣∠ABE＝180°﹣150°＝30°，∠DPM＝180°﹣∠CDF＝180°﹣170°＝10°，
∴∠BPD＝∠BPM+∠DPM＝30°+10°＝40°，
∴∠EPF＝∠BPD＝40°．
故选：C．
7．（2分）“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．100（1+x）2＝121
B．100（1+x%）2＝121
C．100（1+2x）＝121
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝121
【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
根据题意得100（1+x）2＝121．
故选：A．
8．（2分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度为（ ）
A．20mB．25mC．30mD．35m
【解答】解：在Rt△ABC中，sinα＝，
则＝，
∵BC＝15m，
∴AB＝25m，
故选：B．
9．（2分）近年来，计算步数的软件悄然兴起，每天监测自己的行走步数已成为当代入的一种习惯．某机构调查了某小区部分居民当天行走的步数（单位：千步），并将数据整理绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据统计图，得出下面四个结论，其中错误的是（ ）
A．此次一共调查了200位小区居民
B．行走步数为8～12千步的人数超过调查总人数的一半
C．行走步数为12～16千步的人数为40人
D．扇形图中，表示行走步数为4～8千步的扇形圆心角是90°
【解答】解：此次一共调查了70÷35%＝200位小区居民，故A选项正确；
行走步数为8～12千步的人数为70，未超过调查总人数的一半，故B选项错误；
行走步数为12～16千步的人数为200×20%＝40人，故C选项正确；
行走步数为4～8千步的扇形圆心角是360°×25%＝90°，故D选项正确；
故选：B．
10．（2分）按一定规律排列的多项式：2a+b，3a2﹣2b3，4a3+3b5，5a4﹣4b7，…，第n个多项式是（ ）
A．（n+1）an+（﹣1）n﹣1nb2n﹣1
B．（n+1）an+1+（﹣1）nnb2n﹣1
C．（n+1）an﹣（﹣1）n﹣1nb2n﹣1
D．（n+1）an+1﹣（﹣1）nnb2n﹣1
【解答】解：∵2a+b，3a2﹣2b3，4a3+3b5，5a4﹣4b7，…，
∴a的系数规律为：n+1，a的指数的规律为：n，b的系数规律为：（﹣1）n﹣1n，b的指数的规律为：2n﹣1，
∴第n个多项式为：（n+1）an+（﹣1）n﹣1nb2n﹣1，
故选：A．
11．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（ ）
A．68°B．64°C．58°D．32°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠CDB＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝90°﹣32°＝58°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝58°，
故选：C．
12．（2分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
D、可以看作轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
13．（2分）关于一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况，正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有且只有一个实数根
D．没有实数根．
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣3）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
14．（2分）如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（ ）
A．1.5B．3C．4D．5
【解答】解：由作图可知，OH平分∠AOB，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴PF＝PE＝3，
故选：B．
15．（2分）面积为15的正方形的边长为m，则m的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【解答】解：面积为20的正方形的边长为m，
∴m＝，
∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴m的值在3和4之间，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）当x＝ 1 时，分式＝0．
【解答】解：由题意可得x﹣1＝0且x+2≠0，
解得x＝1．
故答案为x＝1．
17．（2分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD：AB＝2：3，则S△ADE：S△ABC＝ 4：9 ．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
故答案为：．
18．（2分）如图，反比例函数经过点A、点B，则m＝ 2 ．
【解答】解：将A（﹣3，﹣1）代入得：﹣1＝，
解得：k＝3，
∴反比例函数解析式为y＝．
当y＝时，＝，
解得：m＝2，
故答案为：2．
19．（2分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝4cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角θ＝ 120 °．
【解答】解：根据题意得，
解得θ＝120．
故答案为：120．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20．（7分）先化简，再求值：，其中a＝4．
【解答】解：（1﹣）÷
＝÷
＝•
＝，
当a＝4时，
原式＝
＝
＝1．
21．（6分）已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：∠B＝∠E．
【解答】证明：∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，即AC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E．
22．（7分）列方程解应用题：
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
【解答】解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．
23．（6分）小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯．在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是 ．
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．
【解答】解：（1）小明任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：；
故答案为：；
（2）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别过A，C作BC，AD的平行线交于点E，AC平分∠DAE，连接DE交AC于点O．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）连接OB，若四边形ADCE的周长为20，cs∠BAD＝，求OB的长．
【解答】（1）证明：∵AE∥DC，AD∥CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，∠EAC＝∠ACD，
∵AC平分∠DAE，
∴∠EAC＝∠DAC，
∴∠ACD＝∠DAC，
∴AD＝DC，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）解：如图，
∵四边形ADCE是菱形，周长＝20，
∴AD＝DC＝CE＝EA＝5，OA＝OC，
∵∠ABC＝90°，
∴cs∠BAD＝，
∴AB＝4，
∵AB2+BD2＝AD2，
∴42+BD2＝52，
∴BD＝3，
∴BC＝BD+DC＝8，
∴AC＝＝4，
∵∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴OB＝．
25．（8分）某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）
（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；
当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）代入得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+920；
综上所述，y＝；
（2）设每天的销售利润为w元，
当10＜x≤14时w＝640×（x﹣10）＝640x﹣6400，
∵k＝640＞0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x＝14时，w＝4×640＝2560元；
当14＜x≤30时，w＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，
∵﹣20＜0，14＜x≤30，
∴当x＝28时，w有最大值，最大值为6480，
∵2560＜6480，
∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得：a+2a＝3，
解得：a＝1，
∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴图象顶点的坐标为（1，﹣1）；
（2）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点A，
∴﹣2+b＝3，
∴b＝5，
∴y＝2x+5，
∵点（m，y1）在一次函数y＝2x+5的图象上，
∴y1＝2m+5，
∵点（m+4，y2）在二次函数y＝x2﹣2x的图象上，
∴y2＝（m+4）2﹣2（m+4）＝m2+6m+8，
∵y1＞y2，
∴2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，
令y＝m2+4m+3，
当y＝0时，m2+4m+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（﹣3，0），
∵抛物线开口向上，
∴m2+4m+3＜0的解为：﹣3＜m＜﹣1，
∴m的取值范围是﹣3＜m＜﹣1．
27．（12分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．
如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，E是BA延长线上一点，连接CE，∠ACE＝∠ACD，H是线段AO上一点，连接CH并延长交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝DH，求证：AH•AO＝HB•AE；
（3）如图2，若AE＝AH，＝，点G是BC的中点，AG与CF交于点P，连接BP．请猜想PA，PB，PF的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAD＝∠ACO，
又∵∠ACE＝∠ACD，
∴∠ACE+∠ACO＝90°，
即∠ECO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠B＝90°，
又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD＝∠B，
∴∠ACE＝∠B，
∵AD＝DH，CD⊥AB，
∴CA＝CH，∠CAD＝∠CHD，
∴∠CAE＝∠BHC，
∴△CAE∽△BHC，
∴，
∴AC•HC＝AE•HB，
又∵∠CAD＝∠CHD，∠CAD＝∠OCA，
∴△OCA∽△CAH，
∴，
∴AC•HC＝AH•AO，
∴AH•AO＝HB•AE；
（3）解：PA，PB，PF的数量关系为：PA2+PF2＝PB2．理由如下：
连接AF、BF，如图，
∵＝，
∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB＝45°，AF＝BF，
∴∠ECH＝∠ACH+∠ACE＝45°+∠ACE，∠EHC＝∠BCH+∠HBC＝45°+∠ABC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠ACE＝∠ABC，
∴∠ECH＝∠EHC，
∴EC＝EH，
∵AE＝AH，EH＝AE+AH
∴EC＝EH＝2AE，
∵∠ACE＝∠CBE，∠CEA＝∠BEC，
∴△EAC∽△ECB，
∴，
∴BC＝2AC，
∵点G是BC的中点，
∴BC＝2CG＝2GB，
∴AC＝CG，∠ACF＝∠BCF，
∴CP⊥AG，AP＝PG，∠CAG＝∠CGA，
设AC＝CG＝GB＝x，
则AG＝，
∴，
又∠PGB＝∠BGA，
∴△PGB∽△BGA，
∴∠GBP＝∠GAB，
∴∠BPF＝∠GBP+∠BCF，∠BAC＝∠GAB+∠GAC，
∴∠BPF＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BFP，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF，
∴PB＝AF．
在Rt△APF中，
∵PA2+PF2＝AF2，
∴PA2+PF2＝PB2．