上海市莘庄中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份上海市莘庄中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共11页。试卷主要包含了06，2; 2，或; 10，C 14等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的最小正周期是______．
2．直线倾斜角大小为______
3．已知复数z满足（i是虚数单位），则______．
4．已知，，，若向量与垂直（O为坐标原点），则实数x的值为______．
5．若是方程的一个根，则______．
6．若直线：与直线：平行，则实数______．
7．若，则的值为______．
8．平面向量与是单位向量，夹角为60°，那么，向量、构成平面的一个基．若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为．设，，则______．
9．已知直线与直线：的夹角为，且经过点，直线的方程是______．
10．已知，点是平面上一个动点，则当t由0连续变到时，线段AP扫过的面积是______．
11．已知平面向量，满足，，，若平面向量满足，则的最大值为______．
12．已知复数，，i为虚数单位，若，复数，对应的向量分别为，，存在θ使得等式成立，则实数λ的取值范围为______．
二．选择题（本大题共4题，13、14题4分，15、16题5分，共18分）
13．已知函数的图象关于y轴对称，则实数φ的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
14．点关于直线l：的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
15．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（ ）
A．B．C．D．
16．已知向量、、满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）．
①若，则的最小值为；
②若，则存在唯一的y，使得；
③若，则的最小值为；
④若，则的最小值为．
A．1B．2C．3D．4
解答题（本大题共5题，共78分）
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知复数，且为纯虚数．
（1）求实数a的值；
（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数b的取值范围．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为2，求b．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km、．测得，．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．码头Q在第一象限，且三个码头A、B、Q均在一条航线上．
（1）求码头Q点的坐标；
（2）海中有一处景点P（设点P在平面xOy内，，且），游轮无法靠近．求游轮在水上沿旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知函数的图象如图所示．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值；
（3）在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求m的值．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
在梯形ABCD中，，，，，P，Q分别为直线BC，CD上的动点．
（1）当P，Q为线段BC，CD上的中点，试用和来表示；
（2）若，求；
（3）若，，，，G为的重心，若D，G，B在同一条直线上，求λμ的最大值．
参考答案
一、填空题
1.2; 2.; 3.5; 4.; 5.13; 6.2; 7.; 8.1;
9.或; 10.； 11. 12.
11．已知平面向量，满足，，，若平面向量满足，则的最大值为______．
【答案】
【解析】如图,设,设,
则
又向量满足,即
在以为圆心,1为半径的圆上,即
当三点共线,且在之间时,取得最大值.
故答案为:.
12．已知复数，，i为虚数单位，若，复数，对应的向量分别为，，存在θ使得等式成立，则实数λ的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意,等式成立,
即
即
整理可得：
而所以,
可得,因为,所以,
所以,所以,即,解得,
所以实数的取值范围为.
二、选择题
13.C 14.D 15.A 16.D
16．已知向量、、满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）．
①若，则的最小值为；
②若，则存在唯一的y，使得；
③若，则的最小值为；
④若，则的最小值为．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】对①,若,
则,
当且仅当时,取得等号,的最小值为的最小值为①正确;
对②,若,由得
存在唯一的,使得,②正确;
对③,若,则
当且仅当时,取得等号,
又,当且仅当,时取得等号,③正确;
对④,若,则,
由③知,④正确.
故答案为:D.
三．解答题
17.（1）-3 （2）
18.（1） （2）2
19.（1）（4，2） (2)（1，5）
20．已知函数的图象如图所示．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值；
（3）在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求m的值．
【答案】（1） （2） （3）或.
【解析】（1）由图可得,最小正周期,则,
由,可得,
又,所以,所以,
由,可得,
所以的单调递减区间为
(2)由题意得,
所以的最小值为
(3)
令,可得令,得,
由于,故方程必有两个不同的实数根,且,
由知异号,不妨设,,若,则,
,无解,在内有四个零点,不符题意;
若,则在内有2个零点,
在内有4个零点,符合题意,此时,得;
若,在有4个零点,
故在内应恰有2个零点,,此时,
综上所述,或.
21．在梯形ABCD中，，，，，P，Q分别为直线BC，CD上的动点．
（1）当P，Q为线段BC，CD上的中点，试用和来表示；
（2）若，求；
（3）若，，，，G为的重心，若D，G，B在同一条直线上，求λμ的最大值．
【答案】（1） （2） （3）1
【解析】（1）由已知可得
,;
(3)设线段的中点为,连接,交与点,由已知为的重心，
由重心性质可得,又
设
,可得,
当且仅当时等号成立,的最大值为1.