2024年江西省中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年江西省中考数学试卷【含解析】，共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5B．5C．D．﹣
2．“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.25×106B．2.5×105C．2.5×104D．25×103
3．如图所示的几何体，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
4．将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数y（℃）与时间x（min）的关系用图象可近似表示为（ ）
A．B．C．D．
5．如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A．五月份空气质量为优的天数是16天
B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天
D．这组数据的平均数是15天
6．如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．计算：（﹣1）2＝ ．
8．因式分解：a2+2a＝ ．
9．在平面直角坐标系中，将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
10．观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ．
11．将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB＝ ．
12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：π0+|﹣5|；
（2）化简：．
14．（6分）如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）如图1，过点B作AC的垂线；
（2）如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线．
15．（6分）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
（1）“学生甲分到A班”的概率是 ；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
16．（6分）如图，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝90°，双曲线经过点B，过点A（4，0）作x轴的垂线交双曲线于点C，连接BC．
（1）点B的坐标为 ；
（2）求BC所在直线的解析式．
17．（6分）如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°．
（1）求证：BD是半圆O的切线；
（2）当BC＝3时，求的长．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
19．（8分）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°．（结果精确到0.1m）
（1）求“大碗”的口径AD的长；
（2）求“大碗”的高度AM的长．
（参考数据：sin62°≈0.88，cs62°≈0.47，tan62°≈1.88）
20．（8分）追本溯源
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．
方法应用
（2）如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G．
①图中一定是等腰三角形的有 ．
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）近年来，我国肥胖人群的规模快速增长．目前，国际上常用身体质量指数（Bdy Mass Index，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的BMI数值标准为：BMl＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的BMI数值，再参照BMI数值标准分成四组：A.16≤BMI＜20；B.20≤BMI＜24；C.24≤BMI＜28；D.28≤BMI＜32．
将所得数据进行收集、整理、描述．
收集数据
七年级10名男生数据统计表
七年级10名女生数据统计表
整理、描述数据
七年级20名学生BMI频数分布表
应用数据
（1）s＝ ，t＝ ，α＝ ；
（2）已知该校七年级有男生260人，女生240人．
①估计该校七年级男生偏胖的人数；
②估计该校七年级学生BMI≥24的人数．
（3）根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．
22．（9分）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表：
（1）①m＝ ，n＝ ；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系：y＝﹣5t2+vt．
①小球飞行的最大高度为 米；
②求v的值．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）综合与实践
如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，＝m．
特例感知
（1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 ，数量关系是 ．
类比迁移
（2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当BF＝2时，请直接写出AD的长度．
2024年江西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。错选、多选或未选均不得分。
1．﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5B．5C．D．﹣
【分析】根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】解：﹣5的相反数是5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2．“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.25×106B．2.5×105C．2.5×104D．25×103
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：25000＝2.5×104，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．如图所示的几何体，其主视图为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】结合图形，根据主视图的定义即可求得答案．
【解答】解：由题干中的几何体可得其主视图为，
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数y（℃）与时间x（min）的关系用图象可近似表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；
【解答】解：将常温中的温度计插入一杯60℃的热水中，温度计的度数与时间的关系，图象是C；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，注意温度计的温度升高到60度时温度不变．
5．如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A．五月份空气质量为优的天数是16天
B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天
D．这组数据的平均数是15天
【分析】分析折线统计图中的数据即可求出答案．
【解答】解：A、根据折线图，五月份空气质量为优的天数是16天，故不符合题意；
B、根据折线图，这组数据的众数是15天，故不符合题意；
C、这组数据的中位数是＝15（天），故不符合题意；
D、这组数据的平均数是×（12+14+15+15+16+15）＝14.5，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
6．如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【分析】依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论．
【解答】解：如图所示：
选择标有1或2的位置的空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图，
所以能与阴影部分组成正方体展开图的方法有2种．
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．计算：（﹣1）2＝ 1 ．
【分析】利用有理数的乘方法则计算即可．
【解答】解：（﹣1）2＝（﹣1）×（﹣1）＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查有理数的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
8．因式分解：a2+2a＝ a（a+2） ．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
故答案为：a（a+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
9．在平面直角坐标系中，将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 （3，4） ．
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可．
【解答】解：将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，
则点B的坐标为（1+2，1+3），即（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
10．观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 a100 ．
【分析】根据题意可知，有一列按照一定规律排列的单项式：a，a2，a3，a4，…，据此可以得出第100个式子为：a100．
【解答】解：根据题意可知，有一列按照一定规律排列的单项式：a，a2，a3，a4，…，
∴第100个式子为：a100，
故答案为：a100．
【点评】本题考查的是数字的变化规律和单项式，熟练找出数字间的变化规律是解题的关键．
11．将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB＝ ．
【分析】根据所给拼图，得出四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质及正切的定义即可解决问题．
【解答】解：令AC与BD的交点为O，
∵∠ABD＝∠CDB＝90°，
∴CD∥AB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，
∴OB＝．
∵AB＝BD，
∴OB＝．
在Rt△AOB中，
tan∠CAB＝．
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形、七巧板及平行四边形的判定与性质，能根据所拼图形得出四边形ABCD是平行四边形及熟知正切的定义是解题的关键．
12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 或或2 ．
【分析】根据DE≤AB，可得DE＝1或2，利用勾股定理进行解答即可．
【解答】解：∵AB为直径，DE为弦，
∴DE≤AB，
∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2，
当DE＝2时，即DE为直径，
∴DE⊥AB，
∴将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，
故FB＝2；
当DE＝1时，且在点C在线段OB之间，如图，连接OD，
此时，
∵DE⊥AB，
∴，
∴，
∴，
∴；
当DE＝1时，且点C在线段OA之间，连接OD，
同理可得，
∴；
综上，可得线段FB的长为或或2，
故答案为：或或2．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：π0+|﹣5|；
（2）化简：．
【分析】（1）利用零指数幂及绝对值的性质计算即可；
（2）利用分式的加减法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1+5
＝6；
（2）原式＝
＝1．
【点评】本题考查零指数幂，绝对值，分式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14．（6分）如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）如图1，过点B作AC的垂线；
（2）如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线．
【分析】（1）连接BD，根据菱形的性质可知，BD即为所求．
（2）结合菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，连接CE并延长，交DA的延长线于点F，作直线BF，则直线BF即为所求．
【解答】解：（1）如图1，连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
则BD即为所求．
（2）如图2，连接CE并延长，交DA的延长线于点F，作直线BF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴DF∥BC，
∴∠AFE＝∠BCE，∠FAE＝∠CBE，
∵点E为线段AB的中点，
∴AE＝BE，
∴△AEF≌△BEC（AAS），
∴AF＝BC，
∴四边形ACBF为平行四边形，
∴BF∥AC，
则直线BF即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（6分）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
（1）“学生甲分到A班”的概率是 ；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中学生甲分到A班的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位新生分到同一个班的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中学生甲分到A班的结果有1种，
∴“学生甲分到A班”的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位新生分到同一个班的结果有3种，
∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
16．（6分）如图，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝90°，双曲线经过点B，过点A（4，0）作x轴的垂线交双曲线于点C，连接BC．
（1）点B的坐标为 （2，2） ；
（2）求BC所在直线的解析式．
【分析】（1）过点B作x轴的垂线，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：（1）过点B作x轴的垂线，垂足为M，
∵点A坐标为（4，0），
∴OA＝4．
又∵△OAB是等腰直角三角形，
∴BM＝OM＝AM＝，
∴点B的坐标为（2，2）．
故答案为：（2，2）．
（2）将点B坐标代入反比例函数解析式得，
k＝2×2＝4，
∴反比例函数解析式为y＝．
∵AC⊥x轴，
∴xC＝xA＝4．
将x＝4代入反比例函数解析式得，
y＝1，
∴点C的坐标为（4，1）．
令直线BC的函数解析式为y＝mx+n，
将点B和点C的坐标代入函数解析式得，
，
解得，
所以直线BC的函数解析式为y＝．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数和一次函数解析式及等腰直角三角形的性质，熟知待定系数法及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
17．（6分）如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°．
（1）求证：BD是半圆O的切线；
（2）当BC＝3时，求的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠D+∠A＝90°，求得∠ABD＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接OC，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝120°，根据等边三角形的性质得到OC＝BC＝3，根据弧长公式即可得到的长＝＝2π．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠D＝∠ABC，
∴∠D+∠A＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是半圆O的直径，
∴BD是半圆O的切线；
（2）解：连接OC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC＝BC＝3，
∴的长＝＝2π．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，弧长的计算，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
【分析】（1）根据数学本和语文本的厚度，结合数学书和语文书的本书即可解决问题．
（2）用书架宽减去10本语文书的厚度，再利用数学书的本书即可解决问题．
【解答】解：（1）设书架上数学书x本，则语文书（90﹣x）本，
根据题意得，
0.8x+1.2（90﹣x）＝84，
解得x＝60，
所以90﹣x＝30，
答：书架上数学本60本，语文书30本．
（2）设数学书还可以摆m本，
则10×1.2+0.8m≤84，
解得m≤90，
所以数学书最多还可以摆90本．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，能根据题意找出题中的等量关系并建立方程及不等式是解题的关键．
19．（8分）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°．（结果精确到0.1m）
（1）求“大碗”的口径AD的长；
（2）求“大碗”的高度AM的长．
（参考数据：sin62°≈0.88，cs62°≈0.47，tan62°≈1.88）
【分析】（1）根据垂直定义可得∠AMN＝∠DNM＝90°，再利用平行线的性质可得∠DAM＝90°，从而可得四边形AMND是矩形，然后利用矩形的性质可得AD＝MN，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答；
（2）延长CB交AM于点G，根据题意可得：BE＝GM＝2.4m，BG＝ME＝20.0m，BG⊥AM，∠EBG＝90°，从而可得∠ABG＝62°，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵AM⊥MN，DN⊥MN，
∴∠AMN＝∠DNM＝90°，
∵AD∥MN，
∴∠DAM＝180°﹣∠AMN＝90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴AD＝MN＝ME+EF+FN＝20.0+40.0+20.0＝80.0（m），
∴“大碗”的口径AD的长为80.0m；
（2）延长CB交AM于点G，
由题意得：BE＝GM＝2.4m，BG＝ME＝20.0m，BG⊥AM，∠EBG＝90°，
∵∠ABE＝152°，
∴∠ABG＝∠ABE﹣∠EBG＝62°，
在Rt△ABG中，AG＝BG•tan62°≈20.0×1.88＝37.6（m），
∴AM＝AG+MG＝37.6+2.4＝40.0（m），
∴“大碗”的高度AM的长约为40.0m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（8分）追本溯源
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．
方法应用
（2）如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G．
①图中一定是等腰三角形的有 B ．
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长．
【分析】（1）由角平分线的定义得出∠ABD＝∠CBD．由平行线的性质得出∠EDB＝∠CBD，证出∠EDB＝∠ABD，则可得出结论；
（2）①由等腰三角形的判定可得出结论；
②由（1）可知，∠ABE＝∠EBG＝∠AEB．AB＝AE＝3，证出CG＝CF，则可得出答案．
【解答】解：（1）△BDE 的形状是等腰三角形，
理由如下：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵BC∥ED，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴EB＝ED，
∴△BDE是等腰三角形．
（2）①共有四个等腰三角形．分别是：△ABE，△ABG，△AFD，△CGF，
故答案为：B；
②由（1）可知，∠ABE＝∠EBG＝∠AEB．AB＝AE＝3，
∵AF⊥BE，
∴∠BAF＝∠EAF．
∵BC∥AD，
∴∠EAG＝∠AGB，
∴∠BAF＝∠AGB，
∴AB＝AG＝3，
∵AB∥FD，
∴∠BAF＝∠CFG，
∵∠AGB＝∠CGF，
∴∠CGF＝∠CFG，
∴CG＝CF，
∵CG＝BC﹣BG＝5﹣3＝2，
∴CF＝2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）近年来，我国肥胖人群的规模快速增长．目前，国际上常用身体质量指数（Bdy Mass Index，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的BMI数值标准为：BMl＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的BMI数值，再参照BMI数值标准分成四组：A.16≤BMI＜20；B.20≤BMI＜24；C.24≤BMI＜28；D.28≤BMI＜32．
将所得数据进行收集、整理、描述．
收集数据
七年级10名男生数据统计表
七年级10名女生数据统计表
整理、描述数据
七年级20名学生BMI频数分布表
应用数据
（1）s＝ 22 ，t＝ 2 ，α＝ 72° ；
（2）已知该校七年级有男生260人，女生240人．
①估计该校七年级男生偏胖的人数；
②估计该校七年级学生BMI≥24的人数．
（3）根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．
【分析】（1）根据公式计算可得s；用10分别减去其它组男生的频数可得t的值；用360°乘C组人数所占比例可得α的值；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）根据七年级20名学生BMI频数分布表数据解答即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）由题意得，s＝＝22，
t＝10﹣3﹣4﹣1＝2，
α＝360°×＝72°，
故答案为：22，2，72°；
（2）①估计该校七年级男生偏胖的人数有：260×＝52（人）；
②估计该校七年级学生BMI≥24的人数有：260×+240×＝126（人）；
（3）由统计表可知，该校七年级学生的偏瘦、偏胖或肥胖的人数约半数，建议该校加强学生的体育锻炼，加强科学饮食习惯的宣传．（答案不唯一）．
【点评】本题考查了频数分布表和用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键．
22．（9分）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表：
（1）①m＝ 3 ，n＝ 6 ；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系：y＝﹣5t2+vt．
①小球飞行的最大高度为 8 米；
②求v的值．
【分析】（1）①由抛物线的顶点坐标为（4，8）可建立过于 a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；
②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标；
（2）①根据第一问可知最大高度为8米；
②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．
【解答】解：（1）①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知，
抛物线顶点坐标为（4，8），
，
解得：，
∴二次函数解析式为y＝x2+4x，
当y＝时，﹣x2+4x＝，
解得：x＝3或x＝5（舍去），
∴m＝3，
当x＝6时，n＝y＝﹣62+4×6＝6，
故答案为：3，6．
②联立得：，
解得：或，
∴点A的坐标是（，）．
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8．
②y＝﹣5t2+vt＝﹣5（t﹣）2+，
则＝8，
解得v＝4（负值舍去）．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，从图象和表格中获取数据是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）综合与实践
如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，＝m．
特例感知
（1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 AD⊥BE ，数量关系是 AD＝BE ．
类比迁移
（2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当BF＝2时，请直接写出AD的长度．
【分析】（1）由＝1，得到CE＝CD，CB＝CA，根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠ABC＝45°，∠ACD＝∠BAE，根据全等三角形的性质得到AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，根据垂直的定义得到AD⊥BE；
（2）根据相似三角形的判定定理得到△ADC∽△BEC，求得＝m，∠CBE＝∠A，得到BE＝mAD，根据垂直的定义得到AD⊥BE；
（3）①连接CF交DE于O，由（1）知，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，求得AB＝6，得到BD＝6﹣x，根据勾股定理得到DE2＝BD2+BE2＝（6﹣x）2+x2，根据线段垂直平分线的性质得到CE＝EF，CD＝DF，推出四边形CDFE是正方形，根据正方形的面积公式即可得到y＝DE2＝[（6﹣x）2+x2]，根据二次函数的性质即可得到结论；
②过D作DH⊥AC于H，根据等腰直角三角形 到现在得到AH＝DH＝AD＝x，求得CH＝6﹣x，连接OB，推出OB＝，得到∠CBF＝90°，根据勾股定理得到结论．
【解答】解：（1）AD⊥BE，AD＝BE，
理由：∵＝1，
∴CE＝CD，CB＝CA，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，∠ACD＝∠BAE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠ABE＝90°，
∴AD⊥BE；
故答案为：AD⊥BE，AD＝BE；
（2）BE＝mAD，AD⊥BE，
证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BAE，
∵＝m，
∴△ADC∽△BEC，
∴＝m，∠CBE＝∠A，
∴BE＝mAD，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AD⊥BE；
（3）①连接CF交DE于O，
由（1）知，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝6，
∴BD＝6﹣x，
∴DE＝AD＝BE＝x，∠DBE＝90°，
∴DE2＝BD2+BE2＝（6﹣x）2+x2，
∵点F与点C关于DE对称，
∴DE垂直平分CF，
∴CE＝EF，CD＝DF，
∵CD＝CE，
∴CD＝DF＝EF＝CE，
∵∠DCE＝90°，
∴四边形CDFE是正方形，
∴y＝DE2＝[（6﹣x）2+x2]，
∴y与x的函数表达式为y＝x2﹣6+36（0＜x≤6），
∵y＝x2﹣6+36＝（x﹣3）2+18，
∴y的最小值为18；
②过D作DH⊥AC于H，
则△ADH是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝AD＝x，
∴CH＝6﹣x，
连接OB，
∴OB＝OE＝OD＝OC＝OF，
∴OB＝，
∴∠CBF＝90°，
∵BC＝6，BF＝2，
∴CF＝＝2
∴CD＝CF＝2，
∵CH2+DH2＝CD2，
∴（6﹣x）2+（x）2＝（2）2，
解得x＝4或x＝2，
∴AD＝4或2．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/20 7:28:37；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高（m）
1.56
1.50
1.66
1.58
1.50
1.70
1.51
1.42
1.59
1.72
体重（kg）
52.5
49.5
45.6
40.3
55.2
56.1
48.5
42.8
67.2
90.5
BMI
21.6
s
16.5
16.1
24.5
19.4
21.3
21.2
26.6
30.6
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高（m）
1.46
1.62
1.55
1.65
1.58
1.67
1.55
1.46
1.53
1.62
体重（kg）
46.4
49.0
61.5
56.5
52.9
75.5
50.3
47.6
52.4
46.8
BMI
21.8
18.7
25.6
20.8
21.2
27.1
20.9
22.3
22.4
17.8
组别
BMI
男生频数
女生频数
A
16≤BMI＜20
3
2
B
20≤BMI＜24
4
6
C
24≤BMI＜28
t
2
D
28≤BMI＜32
1
0
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
6
8
n
…
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
编号
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
身高（m）
1.56
1.50
1.66
1.58
1.50
1.70
1.51
1.42
1.59
1.72
体重（kg）
52.5
49.5
45.6
40.3
55.2
56.1
48.5
42.8
67.2
90.5
BMI
21.6
s
16.5
16.1
24.5
19.4
21.3
21.2
26.6
30.6
编号
1
2
3
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6
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8
9
10
身高（m）
1.46
1.62
1.55
1.65
1.58
1.67
1.55
1.46
1.53
1.62
体重（kg）
46.4
49.0
61.5
56.5
52.9
75.5
50.3
47.6
52.4
46.8
BMI
21.8
18.7
25.6
20.8
21.2
27.1
20.9
22.3
22.4
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组别
BMI
男生频数
女生频数
A
16≤BMI＜20
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B
20≤BMI＜24
4
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C
24≤BMI＜28
t
2
D
28≤BMI＜32
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