2024年山东省枣庄市、聊城市、临沂市、菏泽市、东营市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年山东省枣庄市、聊城市、临沂市、菏泽市、东营市中考数学试卷【含解析】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3B．C．﹣1D．﹣2
2．用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为（ ）
A．0.619×103B．61.9×104C．6.19×105D．6.19×106
4．下列几何体中，主视图是如图的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a4+a3＝a7B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．（a3b）2＝a3b2D．a（2a+1）＝2a2+a
6．为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）
A．200B．300C．400D．500
7．如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
8．某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（ ）
A．B．3C．D．4
10．根据以下对话，
给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为180cm；
②1班学生的最低身高小于150cm；
③2班学生的最高身高大于或等于170cm．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解：x2y+2xy＝ ．
12．写出满足不等式组的一个整数解 ．
13．若关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝ ．
15．如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为 ．
16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 ．
三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）计算：+2﹣1﹣（﹣）；
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝1．
18．（9分）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1：
【问题解决】（1）计算A，P两点间的距离．
（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cs79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
（2）乙小组的方案用到了 ．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形
②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
19．（9分）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
80≤x＜90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．
根据以上信息解决下列问题：
（1）请补全频数分布直方图；
（2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是 分；
（3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3：2的比例确定这次活动各人的综合成绩．
某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：
通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？
20．（10分）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与y＝部分自变量与函数值的对应关系：
（1）求a、b的值，并补全表格；
（2）结合表格，当y＝2x+b的图象在y＝的图象上方时，直接写出x的取值范围．
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以点A为圆心，以AD为半径作交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作所交BC于点F，连接FD交于另一点G，连接CG．
（1）求证：CG为所在圆的切线；
（2）求图中阴影部分面积．（结果保留π）
22．（12分）一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1．
（1）求证：BM＝EN；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P．
①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；
②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系．
23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
（1）求m的值；
（2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围．
2024年山东省枣庄市、聊城市、临沂市、菏泽市、东营市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3B．C．﹣1D．﹣2
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵32＝9，（）2＝，（﹣1）2＝1，（﹣2）2＝4，
∵＜1＜4＜9，
∴最大的数是：9．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
2．用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等，关键是中心对称图形与轴对称图形概念的应用．
3．2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为（ ）
A．0.619×103B．61.9×104C．6.19×105D．6.19×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：61.9万＝619000＝6.19×105，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法的表示方法，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动位数相同，确定a与n的值是解题关键．
4．下列几何体中，主视图是如图的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．根据主视图是从正面看到的图形分析即可．
【解答】解：A．主视图是等腰三角形，不符合题意；
B．主视图是共底边的两个等腰三角形，故不符合题意；
C．主视图是上面三角形，下面半圆，故不符合题意；
D．主视图是上面等腰三角形，下面矩形，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a4+a3＝a7B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．（a3b）2＝a3b2D．a（2a+1）＝2a2+a
【分析】按照运算规律进行计算即可．
【解答】解：A．式子中两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B． （a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故B不符合题意；
C． （a3b）2＝a6b2，故C不符合题意；
D．a（2a+1）＝2a2+a，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项，幂的乘方运算，完全平方公式，单项式乘以多项式，掌握其运算法则是解决此题的关键．
6．为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）
A．200B．300C．400D．500
【分析】设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为（x﹣100），根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为（x﹣100），
根据题意，得：，
解得：x＝300，
经检验x＝300是分式方程的解，且符合题意，
答：改造后每天生产的产品件数300．
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7．如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【分析】先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案．
【解答】解：∵四边形BCMN是正方形，
∴∠NBC＝90°，
∵∠ABN＝120°，
∴∠ABC＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴正n边形的一个外角为180°﹣150°＝30°，
∴n的值为．
故选：A．
【点评】本题考查的是正方形的性质，多边形内角和外角，关键是正方形性质的应用．
8．某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及甲与乙恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C，
画树状图如下，
共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，
故他们选择同一项活动的概率是，
故选：C．
【点评】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．．
9．如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（ ）
A．B．3C．D．4
【分析】作辅助线如图，由平行正相似先证△DEC∽△GAE，再证△BGF∽△AGE，即可求得结果．
【解答】解：延长DF和AB，交于G点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB即DC∥AG，
∴△DEC∽△GAE
∴，
∵AC＝5，CE＝1，
∴AE＝AC﹣CE＝5﹣1＝4，
∴，
又∵EF＝DE，，
∴，
∵，DC＝AB，
∴，
∴，
∴
∴AE∥BF，
∴△BGF∽△AGE，
∴，
∵AE＝4，
∴BF＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点，正确作辅助线是解题关键．
10．根据以下对话，
给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为180cm；
②1班学生的最低身高小于150cm；
③2班学生的最高身高大于或等于170cm．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】设1班同学的最高身高为x cm，最低身高为y cm，2班同学的最高身高为a cm，最低身高为b cm，根据1班班长的对话，得x≤180，x+a＝350，然后利用不等式性质可求出a≥170，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得b＞140，y+b＝290，然后利用不等式性质可求出y＜150，即可判断②．
【解答】解：设1班同学的最高身高为x cm，最低身高为y cm，2班同学的最高身高为a cm，最低身高为b cm，
根据1班班长的对话，得x≤180，x+a＝350，
∴x＝350﹣a，
∴350﹣a≤180，
解得a≥170，
故①，③正确；
根据2班班长的对话，得b＞140，y+b＝290，
∴b＝290﹣y，
∴290﹣y＞140，
∴y＜150，
故②正确，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，解答本题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解：x2y+2xy＝ xy（x+2） ．
【分析】直接提取公因式xy即可．
【解答】解：原式＝xy（x+2），
故答案为：xy（x+2）．
【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
12．写出满足不等式组的一个整数解 ﹣1（答案不唯一） ．
【分析】先解出一元一次不等式组的解集为﹣1≤x＜3，然后即可得出1个整数解．
【解答】解：∵，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∴不等式组的一个整数解为：﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．
13．若关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×4×m＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×4×m＝4﹣16m＝0，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝ 40° ．
【分析】利用圆周角定理求出∠AOB的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出∠OAB的度数，利用平行线的性质求出∠OAC的度数，即可求解．
【解答】解：连接OB，如图，
∵∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵OA＝OB，
∴，
∵OA∥CB，
∴∠OAC＝∠ACB＝25°，
∴∠CAB＝∠OAB﹣∠OAC＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理．
15．如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为 ．
【分析】如图，过F作FH⊥AC于H，证明∠BAP＝∠CAP，DE⊥AB，，再证明∠FAH＝45°，再结合勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，过F作FH⊥AC于H，
由作图可得：∠BAP＝∠CAP，DE⊥AB，，
∵∠PQE＝67.5°，
∴∠AQF＝67.5°，
∴∠BAP＝∠CAP＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠FAH＝45°，
∴，
∴F到AN的距离为；
故答案为：．
【点评】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作．
16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 （2，1） ．
【分析】根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可．
【解答】解：点（1，4）经过1次运算后得到点为（1×3+1，4÷2），即为（4，2），
经过2次运算后得到点为（4÷2，2÷1），即为（2，1），
经过3次运算后得到点为（2÷2，1×3+1），即为（1，4），
……，
发现规律：点（1，4）经过3次运算后还是（1，4），
∵2024÷3＝674⋯2，
∴点（1，4）经过2024次运算后得到点（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是找到规律点（1，4）经过3次运算后还是（1，4）．
三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）计算：+2﹣1﹣（﹣）；
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝1．
【分析】（1）根据求算术平方根和负整数指数幂、有理数的减法的运算法则计算即可；
（2）先通分，然后求解即可．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）（2）原式＝÷
＝×
＝a﹣3；
将a＝1代入，得：
原式＝1﹣3＝﹣2．
【点评】本题主要考查实数的运算、分式的运算，解答本题的关键是熟练掌握实数与分式的运算法则．
18．（9分）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1：
【问题解决】（1）计算A，P两点间的距离．
（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cs79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
（2）乙小组的方案用到了 ② ．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形
②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
【分析】（1）如图，过B作BH⊥AP于H，先求解AH＝AB•cs79°≈60×0.19＝11.4米，BH＝AB•sin79°≈60×0.98＝58.8米，再求解∠APB＝37°及PH即可；
（2）由全等三角形的判定方法可得△ADP≌△EDF（ASA），可得AP＝EF，从而可得答案．
【解答】解：（1）如图，过B作BH⊥AP于H，
∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cs79°≈0.19，
∴AH＝AB•cs79°≈60×0.19＝11.4（米），
BH＝AB•sin79°≈60×0.98＝58.8（米），
∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，
∴∠APB＝180°﹣79°﹣64°＝37°，
∴，
∴（米），
∴AP＝AH+PH＝11.4+78.4＝89.8（米）；
即A，P两点间的距离为89.8米；
（2）∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，
∴∠ADP＝∠EDF，
∴△ADP≌△EFD（ASA），
∴AP＝EF，
∴只需测量EF即可得到AP长度；
∴乙小组的方案用到了②；
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键．
19．（9分）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
80≤x＜90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．
根据以上信息解决下列问题：
（1）请补全频数分布直方图；
（2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是 83 分；
（3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3：2的比例确定这次活动各人的综合成绩．
某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：
通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？
【分析】（1）先求解总人数，再求解70≤x＜80的人数，再补全图形即可；
（2）根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数；
（3）由总人数乘以80分（含80以上）的人数百分比即可得到答案；
（4）根据加权平均数公式分别计算甲，乙二人成绩，再比较即可
【解答】解：（1）∵5÷10%＝50，而80≤x＜90有20人，
∴70≤x＜80有50﹣20﹣5﹣10＝15，
补全图形如下：
（2）∵5+15＝20，
而80≤x＜90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．
∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：83，83；
中位数为：，
故答案为：83；
（3）全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为：
（人）；
（4）甲的成绩为：（分）；
乙的成绩为：（分）；
∴甲的综合成绩比乙高．
【点评】本题考查的是频数分布直方图，中位数的含义，利用样本估计总体，加权平均数的含义，掌握基础的统计知识是解本题的感觉．
20．（10分）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与y＝部分自变量与函数值的对应关系：
（1）求a、b的值，并补全表格；
（2）结合表格，当y＝2x+b的图象在y＝的图象上方时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据表格信息建立方程组求解a，b的值，再求解k的值，再补全表格即可；
（2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图象可得答案．
【解答】解：（1）当时，2x+b＝a，即﹣7+b＝a，
当x＝a时，2x+b＝1，即2a+b＝1，
∴，
解得：，
∴一次函数为y＝2x+5，
当x＝1时，y＝7，
∵当x＝1时，，即k＝7，
∴反比例函数为：，
当时，，
当y＝1时，x＝a＝﹣2，
当x＝﹣2时，，
补全表格如下：
故答案为：7；﹣2；﹣；
（2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，（1，7），
∴当y＝2x+b的图象在的图象上方时，x的取值范围为或x＞1；
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图象法写自变量的取值范围，解答本题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的性质．
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以点A为圆心，以AD为半径作交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作所交BC于点F，连接FD交于另一点G，连接CG．
（1）求证：CG为所在圆的切线；
（2）求图中阴影部分面积．（结果保留π）
【分析】（1）根据圆的性质，证明BF＝BE＝AD＝AE＝CF，即可证明四边形ABFD是平行四边形，再证明△BFG是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果．
（2）先求出平行四边形的高DH，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：连接BG，如图1，
根据题意可知：AD＝AE，BE＝BF，
又∵AB＝BC，
∴CF＝AE＝AD，
∵BC＝2AD，
∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴∠BFD＝∠DAB＝60°，
∵BG＝BF，
∴△BFG是等边三角形，
∴GF＝BF，
∴GF＝BF＝FC，
∴G在以BC为直径的圆上，
∴∠BGC＝90°，
∴CG为所在圆的切线；
（2）解：过D作DH⊥AB于点H，连接BG，如图2，
由图可得：S阴影＝S▱ABFD﹣S扇AED﹣S扇BEG﹣S△BFG，
在Rt△AHD中，AD＝1，∠DAB＝60°，
∴，
∴，
由题可知：扇形ADE和扇形BGE全等，
∴，
等边三角形BFG的面积为：，
∴．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形ABFD是平行四边形是解题关键．
22．（12分）一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1．
（1）求证：BM＝EN；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P．
①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；
②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系．
【分析】（1）利用等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质可得结论；
（2）①证明∠CND＝90°，∠DCN＝90°﹣30°＝60°，可得∠ACN＝90°，证明∠PMC＝∠BMC＝90°，可得四边形PMCN为矩形，结合BM＝EN，即BM＝CN，而BM＝CM，可得CM＝CN，从而可得结论；②如图，当30°＜α＜60°时，连接CP，证明△PMC≌△PNC，可得PM＝PN，结合∠D＝30°，可得；
②如图，当60°＜α＜120°时，连接CP，同理△PMC≌△PNC，结合∠CDF＝30°，可得．
【解答】（1）证明：设AC＝DE＝a，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°，
∴AB＝BC，
∵BM⊥AC，
∴，
∵∠EDF＝30°，EN⊥DF，
∴，
∴BM＝EN；
（2）①证明：∵∠D＝30°，CN⊥DF，
∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°﹣30°＝60°，
∵α＝∠ACD＝30°，
∴∠ACN＝90°，
∵BM⊥AC，
∴∠PMC＝∠BMC＝90°，
∴四边形PMCN为矩形，
∵BM＝EN，即BM＝CN，
而BM＝CM，
∴CM＝CN，
∴四边形PMCN是正方形；
②解：当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为．理由如下：
如图1，当30°＜α＜60°时，连接CP，
由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵CP＝CP，
∴△PMC≌△PNC（SAS），
∴PM＝PN，
∴MP+DP＝PN+DP＝DN，
∵∠D＝30°，
∴，
∴；
如图，当60°＜α＜120°时，连接CP，
由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵CP＝CP，
∴△PMC≌△PNC（SAS），
∴PM＝PN，
∴DN＝PN﹣DP＝MP﹣DP，
∵∠CDF＝30°，
∴，
∴，
综上，当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为．
【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
（1）求m的值；
（2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围．
【分析】（1）把点P（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3（a＞0）可得b＝﹣2a，再利用抛物线的对称轴公式可得答案；
（2）把点Q（1，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3，可得：a＝1，可得抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）由根与系数的关系可得x1+x2＝2，，结合，4＜x2﹣x1＜6，再建立不等式组求解即可．
【解答】解：（1）∵点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，
∴4a+2b﹣3＝﹣3，
解得：b＝﹣2a，
∴抛物线为：y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴m＝1；
（2）∵点Q（1，﹣4）在y＝ax2﹣2ax﹣3的图象上，
∴a﹣2a﹣3＝﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1，
∵0≤x≤4，
∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为（4﹣1）2+1＝10
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11；
（3）∵y＝ax2﹣2ax﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．
∴x1+x2＝2，，
∵，
∴，
∵4＜x2﹣x1＜6，
∴即，
解得：．
【点评】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键．
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