专题1.2 集合间的基本关系-【初升高衔接】2023年新高一数学初升高考点必杀50题（人教A版2019）（原卷版+解析版）

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一、单选题
1．集合的真子集个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据真子集的概念列出所有真子集即可.
【详解】集合的真子集为：，，，共个.
故选：D
【点睛】本题主要考查真子集的概念，属于简单题.
2．已知集合，．若，则m等于（ ）
A．0B．0或1C．0或2D．1或2
【答案】C
【分析】根据子集的定义和集合元素的互异性进行求解.
【详解】因为，，且，
所以或.
故选：C.
3．已知集合，，，则m的值为（ ）
A．B．2C．4D．16
【答案】D
【分析】根据给定条件利用集合的包含关系列式计算作答.
【详解】集合，，因，则，则，
所以m的值为16.
故选：D
4．以下五个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；正确的个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可.
【详解】对于①：是集合与集合的关系，应该是，①不对；
对于②：空集是任何集合的子集，，②对；
对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，，③不对；
对于④：根据集合的无序性可知，④对；
对于⑤：是空集，表示没有任何元素，应该是，⑤不对；
正确的是：②④．
故选：B．
5．，，若，则的取值集合为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，由，，可得，或，由此能求出的取值集合．
【详解】，
，，
，或，
或或．
的取值集合为．
故选D．
【点睛】本题主要考查集合子集的定义，以及集合空集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．
6．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】可根据特殊元素与集合的关系作答.
【详解】A. 为偶数，故，故
B. ，故B错
C. ，故错
D. ,故D错
故选：A
7．集合的真子集的个数是（ ）
A．16B．8C．7D．4
【答案】C
【解析】先用列举法写出集合，再写出其真子集即可.
【详解】解：∵，
的真子集为：共7个．
故选：C．
8．下列关系式中，正确的是
A．∈{0}B．0{0}
C．0∈{0}D．
【答案】C
【详解】试题分析：，，故选C.
考点：1、元素与集合的关系；2、集合与集合的关系.
9．设集合，则下列正确的是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：由可知1，2是集合中的元素，元素与集合间的关系是，所以
考点：集合和元素的关系
10．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将集合改写为，由是偶数可得出集合与的包含关系.
【详解】，当为整数时，为偶数，
又，因此，.
故选： A.
【点睛】本题考查两个集合间包含关系的判断，考查推理能力，属于基础题.
11．下列六个关系式中正确的个数是（ ）
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据空集的概念及性质、集合相等的含义以及元素与集合、集合与集合的关系，判断各项的正误，即可知正确关系式的个数.
【详解】空集是任意集合的子集，所以（1）、（6）正确；
由集合相等，即所含元素相同，所以（2）错误；
元素与集合只有属于、不属于关系，所以（3）错误；
而正确，错误，所以（4）正确，（5）错误；
∴共有3个正确.
故选：C
12．已知集合，，若，则的值为
．
A．B．或C．或
【答案】A
【详解】试题分析：由得，故，又，所以
考点：集合之间的关系
13．下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）
①与0非常接近的全体实数能构成集合；
②表示一个集合；
③空集是任何一个集合的真子集；
④任何一个非空集合至少有两个子集．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据集合定义，空集性质以及非空集合子集个数为即可得结果.
【详解】①与0非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误；
②，正确；
③空集是任何非空集合的真子集，错误；
④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为，正确.
故选：C
14．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简集合Q，根据子集关系判断即可.
【详解】解：，
显然能推出，反之不成立，
∴，
故选：C
【点睛】本题集合间的包含关系，考查集合的描述法，属于基础题.
15．下列表示集合和的关系的Venn图正确的是．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先用列举法表示,根据与的关系判断Venn图即可
【详解】由,即,可知,
故选B
【点睛】本题考查列举法表示集合,Venn图表示集合之间的关系
16．如果A=（-1，+∞），那么正确的结论是
A．0AB．{0}AC．{0}AD．
【答案】C
【详解】根据集合与集合之间的关系为包含和包含于，元素与集合之间的关系是属于和不属于得：A、元素与集合，故错误；B、集合与集合，故错；C、集合与集合，正确；D、集合与集合，故错；故选C.
17．已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（ ）
A．1B．﹣1C．0，1D．﹣1，0，1
【答案】D
【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围．
【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集，
（1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，，
（2）当a≠0时 则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1，
当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，，
当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，．
综上所述，a的取值为﹣1，0，1．
故选：D．
18．已知集合，，若，则实数=（ ）
A．B．2C．或2D．1或或2
【答案】C
【分析】由得或求出值并根据集合元素互异性检验得解.
【详解】,或
解得或或，代入检验，根据集合元素互异性得或
故选：C
【点睛】本题考查子集及集合元素互异性，属于基础题.
19．集合M＝{x|x＝(2k＋1)，k∈Z}，N＝{x|x＝±，k∈Z}，则集合M与N的关系为（ ）
A．M＝N
B．MN
C．NM
D．M与N关系不确定
【答案】A
【分析】对k分奇偶进行讨论，即可判断M与N关系.
【详解】对于集合M，当k＝2n(n∈Z)时，M＝{x|x＝＋，n∈Z}，当k＝2n－1，n∈Z时，
M＝{x|x＝－，n∈Z}，所以M＝N，
故选：A．
20．在下列选项中，能正确表示集合和关系的是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意，求解一元二次方程，可得，即可判断集合和的关系．
【详解】由题意，解方程，
得：或，
，
又
所以，
故选：B．
【点睛】本题考查了集合的包含关系判断及应用，其中解答中正确求解集合是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于简单题．
二、多选题
21．给出下列关系：其中不正确的是（ ）
①；②；③；④.
A．①B．②C．③D．④
【答案】BCD
【解析】根据空集是任何集合的子集，即可判断①；由于是无理数，而表示有理数集，即可判断②；根据集合间的关系及元素和集合的关系，即可判断③；由于0是自然数，表示自然数集，即可判断④；从而可判断得出答案.
【详解】解：①由于空集是任何集合的子集，则正确，故①正确；
②因为是无理数，而表示有理数集，∴，故②不正确；
③由于和均为集合，故不正确，故③不正确；
④因为0是自然数，表示自然数集，∴，故④不正确.
故选：BCD.
22．下列集合的关系，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据元素与集合的关系､集合与集合的关系､空集是任意集合的子集逐项判断.
【详解】解：A．空集是任意非空集合的真子集，故A正确；
C.空集是任意集合的子集，因为是含有一个元素的集合，所以正确；
D.空集是空集构成的集合中的元素，满足属于关系，故D正确，
B中左边是空集，右边是含有一个元素的集合，不相等，B不正确；
故选：ACD.
23．设集合，则下列表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】转化条件为，再由元素与集合、集合与集合间的关系即可得解.
【详解】因为，
所以，，，.
故选：ABD.
【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合间的关系的判断，属于基础题.
24．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（ ）
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
【答案】ABD
【分析】选项A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，解出集合M和P.
选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.
【详解】选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=，故M=P；
选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．
故选ABD．
25．下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据元素和集合的关系、集合与集合的关系依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，表示没有任何元素的集合，，A错误；
对于B，，，且，故，B正确；
对于C，，不是的子集，C错误；
对于D，，，D正确.
故选：BD.
26．设集合，且，则实数可以是（ ）
A．B．1C．D．0
【答案】ACD
【分析】首先求出集合，再根据，可得，再对分类讨论，即可得解；
【详解】解：，因为，所以，
因为，所以当时，，满足，
当时，满足，
当时，满足，
故选：ACD
27．定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．可取两个值，可取两个值，有4个式子
C．中有4个元素
D．的真子集有7个
【答案】BD
【分析】根据集合的定义可求出，从而可判断各项的正误.
【详解】，
故中有3个元素，其真子集的个数为，故C错误，D正确.
当，时，，故A错误.
可取两个值，可取两个值，共有4个算式，
分别为：
，，
故B正确．
故选：BD．
【点睛】本题考查新定义背景下集合的计算、集合子集个数的计算，注意不同的算式可以有相同的计算结果，另外，注意集合中元素的互异性对于集合表示的影响，本题属于基础题．
28．已知集合，且，则实数的取值可以为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】ABC
【分析】先判断时， 符合题意，再由时化简集合B，即得或，解得结果即可.
【详解】依题意，
当时， ，满足题意；
当时，，要使，则有或，解得.
综上，或或.
故选：ABC.
29．下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．由实数x，－x，，，所组成的集合最多含2个元素
C．集合中只有一个元素
D．集合是有限集
【答案】BCD
【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案.
【详解】对于A，空集不含任何元素，集合有一个元素0，所以不正确；
对于B，由于，，且在x，－x，中，当时，，当时，，当时，，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故B正确；
对于C，，故该集合中只有一个元素，故C正确；
对于D，集合是有限集，故D正确．
故选：BCD．
30．已知集合，，若，则实数可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】分和两种情况讨论，结合可求得实数的取值.
【详解】当时，成立；
当时，则，
，或，解得或.
综上所述，实数可能的取值为、、.
故选：ABC.
【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数值，求解时不要忽略了对空集的讨论，考查计算能力，属于基础题.
三、填空题
31．已知集合，若，则实数的取值范围是___
【答案】
【详解】次考查集合的运算和集合间的关系
思路分析：因为，要使，即中任意元素都在中，必须满足.
32．满足条件的集合的个数是________
【答案】
【分析】用列举法，直接写出满足条件的集合，即可得出结果.
【详解】满足条件的集合有：
，，，，，，.
共个.
故答案为：.
【点睛】本题主要由集合的包含关系确定集合的个数，属于基础题型.
33．已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是_____.
【答案】
【分析】结合数轴图与集合包含关系，观察即可得到参数的范围.
【详解】在数轴上表示出集合A，B，
由于，如图所示，则.
34．设，且，则_______，________．
【答案】
【分析】集合是方程的解集，集合中点元素坐标满足方程.
【详解】，则，解得，.
故答案为：；.
【点睛】此题为基础题，考查集合集合间包含关系.
35．已知集合，若，则实数的值为_________．
【答案】0，±1
【详解】试题分析：当时，集合，满足；当时，，又，所以若，则有，综上实数的值为0，±1．
考点：利用子集关系求参数．
36．设全集，集合，满足的集合的个数是________．
【答案】8
【分析】求解出，根据已知可知为的子集，根据个元素的集合，子集有个，可直接求解出结果.
【详解】由题意知：，共有个元素
，即为的子集，则共有个
本题正确结果：
【点睛】本题考查集合的包含关系、补集运算，关键是明确集合子集个数的结论，直接得到结果；也可以采用列举的方式求解.
37．设集合，，且，则______
【答案】1
【分析】由集合相等列方程组，有两种情形，分类讨论可以成立的情形，即可求出，进而可求解.
【详解】∵，∴或解方程组得，或或为任意实数.
由集合元素的互异性得，，故.
故答案为：1
38．已知集合，，且，则实数的值是_______．
【答案】1
【详解】试题分析：∵，，∴.
考点：集合间的关系.
39．集合⊆{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝____.
【答案】2
【详解】得 ，代入y＝3x＋b得b＝2.
故答案为2
40．已知集合．给出如下四个结论：
①，且；
②如果，那么；
③如果，那么对于，则有；
④如果，，那么．
其中，正确结论的序号是__________．
【答案】①②④．
【解析】①：举例子可证，由的性质可知，其结果为奇数或能被4整除的偶数，即可判断；②由可得；③当时，由①可得；④设，则由.
【详解】解：①：，由的奇偶一致，若同为奇数，此时为奇数；
若同为偶数，此时为偶数，且能被4整除，因此.当时，，
所以.综上所述，①正确.
②：因为，所以，即，则②正确.
③：假设③正确，则对于，成立，当时，，
由①知，为奇数或能被4整除的数，因此，故③错误；
④：设，则
，
即，所以④正确.
故答案为: ①②④.
【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，考查了运算求解能力和化归思想.
四、解答题
41．已知集合A满足，用列举法写出所有可能的A．
【答案】见解析.
【解析】根据题意写出所有含有的子集去掉自身即可.
【详解】集合A满足
，
因此集合可以是：
．
【点睛】本题主要考查的是子集和真子集的概念，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是基础题.
42．已知集合，，且，求a的取值范围．
【答案】.
【分析】直接根据，列出不等式，即可得解.
【详解】解：因为，，且，
所以.
43．已知，，全集.
（1）求和；
（2）已知非空集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）先由题意求出，再由交集的概念以及并集的概念，即可求出结果；
（2）先由得到，进而可求出结果.
【详解】（1），.
，
.
（2），..
又，
.
即实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查集合的混合运算，以及由集合间的关系求参数的问题，熟记集合的基本关系，以及集合基本运算的概念即可，属于常考题型.
44．已知M={x|x>1}，N={x|x>a}且MN，求实数a取值范围.
【答案】
【解析】由题意结合集合间的关系可得，即可得解.
【详解】因为M={x|x>1}，N={x|x>a}且MN，
所以，即实数a取值范围为.
【点睛】本题考查了由集合间的关系确定参数的取值范围，考查了运算求解能力，属于基础题.
45．已知集合A=｛x | x+x－6=0｝，B=｛x | mx+1=0｝，若BA，求由实数m所构成的集合M．
【答案】
【详解】试题分析：根据题意可得因为，可得两种情况讨论，即可得到
试题解析：由题意可得
因为，可得
当时，满足条件；
当时，，此时或，
综上所述可得由实数m所构成的集合
考点：集合间的关系
46．设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集.
【答案】答案见解析
【分析】首先写出的正约数，即可得到集合，再用列举法列出的所有子集；
【详解】解：因为的正约数有、、、，所以，所以的子集有：、、、、、、、、、、、、、、、共16个；
47．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.设，则满足条件的所有组成的集合为，集合.
(1)求集合；
(2)若、两个集合可以构成“全食”或“偏食”，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）分析可知，由已知条件可得出或，可求得正实数的值，即可的集合；
（2）分、两种情况讨论，结合题中定义可得出关于的等式，即可求得实数的值.
(1)
由题意可知，，故，
所以，或，解得或，故.
(2)
当时，，则满足是的真子集，此时与构成“全食”；
当时，，此时与无法构成“全食”，可构成“偏食”，
则或，解得或.
故的值为或或.
48．已知集合，，且，求实数p的取值范围.
【答案】
【分析】解分式不等式得集合，分为，和三种情形讨论即可得结果.
【详解】∵，，
∴当时，满足条件；
当时，，∴，即；
当时，，∴，即.
综上，
【点睛】本题考查了分式不等式的解，由集合的关系求参数的范围，分类讨论思想的应用，属于中档题.
49．已知集合，集合.
（1）若,求实数a的取值范围
（2）若,求实数a的取值范围;
（3）A，B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.
【答案】（1）或 （2） （3）能，
【分析】（1）由是的子集，确定实数的取值范围，
（2）由是的子集，确定实数的取值范围；
（3）假定、相等，确定的值
【详解】（1）当时，，不满足；
当时，，
由，得解得；
当时，，
由，得解得；.
综上可知，当时，或.
（2）当时，，满足；
当时，得解得；
当时，得解得
综上可知，当时，.
（3）当且仅当且时，，由第（1）（2）分析可知.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的包含关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．
50．设整数，集合，是的两个非空子集，，记为所有满足的集合对的个数．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）； （2）.
【分析】正难则反，通过求出的情况下对应的集合对的个数，再用总的非空真子集个数减去即可；借鉴第一问的求解方法，结合排列组合公式进行求解
【详解】（1）集合对共个，先考虑的情况：
时，，，，，
时，，，，，
时，，，，
时，，，时，， 时，．
所以的集合对的个数为37，即．
（2）集合对共个，先考虑的情况：
当中有个元素时，共有种选法，则中不能包括这个元素中任何一个，只能从包含剩余个元素的集合中选取非空子集，共有种选法，故此时有种，
所以，
，
所以，．
【点睛】对于集合类新题型，解题方法还是基于常规知识，考生应对集合的子集、真子集、非空真子集的求法牢牢掌握，对于延伸类问题，可借鉴前问解题方法，我们的考题中，有很多题型在设问方式上衔接性非常密切