专题4.3 对数-【初升高衔接】2023年新高一数学初升高考点必杀50题（人教A版2019）（原卷版+解析版）

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一、单选题
1．下列运算中正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D.
【详解】对于选项A，由换底公式可得，故A不正确；
对于选项B，，故B选项错误；
对于选项C，错误，正确的应该是，故C不正确；
对于选项D，，故D正确．
故选：D．
2．若，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，求出的值，即可得解.
【详解】由，得．又，所以．
故选：D.
3．在b＝lg(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<2B．2C．2【答案】B
【详解】由对数的定义知
所以24．已知函数是奇函数, 当时,, 则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义及对数的运算即可求解.
【详解】由题意可知，，
因为函数是奇函数，
所以，
故选：A．
5．已知．若，则a＝（）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】由题可得出，即可求出.
【详解】因为，所以，
因为，所以，解得或2，
因为且，所以.
故选：A.
6．已知，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案．
【详解】因为，，所以
．
故选：D.
7．定义在R上的函数满足，，且当时，，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据条件可得，算出即可.
【详解】∵，
∴
定义在R上的函数满足：，，
∴
故选：C
8．已知，，则可以用、表示为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把指数式改为对数式，用换底公式把换成以18为底的对数，把真数36和45用5，9，18的乘除表示，然后用对数运算法则变形可得．
【详解】，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查对数的运算法则，考查对数的换底公式．解题时注意化为同底的对数，然后考虑对数的运算法则变形．
9．已知，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数和对数的互化以及对数运算法则即可得出结果.
【详解】由可得，又
所以.
故选：B
10．在下列四组函数中，与表示同一函数的是（）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.
【详解】对于A中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数；
对于B中，函数的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；
对于C中，函数的定义域为，而函数的定义域为，但是解析式不一样，所以两个函数不是同一个函数；
对于D中，函数的定义域为，
而函数的定义域为，所以不是同一个函数，
故选:B.
11．已知函数，则（）
A．-1B．0
C．1D．2
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式代入计算可得；
【详解】解：因为
所以，
故选：A.
12．设、，，若，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知变形可得出，可得出，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为、，，，则，即，
由题意可得，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：A.
13．已知为上的奇函数，当时，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出的值，然后利用奇函数的定义得出，即可得出结果.
【详解】由题意得，
由于函数为上的奇函数，因此，，故选A.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，解题时要结合函数的解析式进行计算，考查计算计算能力，属于基础题.
14．已知函数，若，，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由对数函数的性质得出，再根据函数的单调性得出答案.
【详解】
由图可知，，即
当时，函数为增函数，即
故选：A
【点睛】关键点睛：本题在比较大小时，关键是利用对数的运算，结合单调性得出.
15．若，且，则等于
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】设，得到，再结合对数的运算公式，即可求得的值，得到答案.
【详解】由题意，设，则，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了对数的化简、运算求值问题，其中解答中熟记对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16．设函数且，那么是（）．
A．奇函数，且在上是严格增函数B．奇函数，且在上是严格减函数
C．偶函数，且在上是严格增函数D．偶函数，且在上是严格减函数
【答案】A
【分析】利用对数运算整理函数解析式，根据指数函数的单调性以及函数奇偶性的定义，可得答案.
【详解】由，则，即，
因为在上单调递增，在单调递减，
所以在上单调递增；
由，则为奇函数.
故选：A.
17．已知函数关于直线对称，对任意实数恒成立，且当时，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由函数关于直线对称可得为偶函数，由得是周期为的周期函数，最后利用周期性和奇偶性把转化到已知区间上求解.
【详解】因为函数关于直线对称，
所以关于轴对称，
所以为偶函数，又，
所以，
所以是周期为的周期函数，
所以
故选：B
18．党的二十大报告指出，“坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战.加强污染物协同控制，基本消除重污染天气.”按照相关规定，某化工厂产生的废气中的某类污染物经过过滤装置的处理，含量降至过滤前的以下才能排放.已知过滤过程中，废气中污染物的含量（单位：mg/L）与时间（单位：min）的关系为，其中，是常数.若时，该类污染物的含量降为过滤前的，那么废气至少需要过滤（）才能排放（结果保留整数，参考数据：）.
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】依题意可得，两边取对数求出的值，再令，根据指数与对数的关系及对数的运算法则计算可得.
【详解】解：依题意可得，所以，两边取对数可得，
所以，则，
所以，令，即，所以，
即，
所以，
所以废气至少需要过滤才能排放.
故选：C
19．已知某抽气机每次可抽出容器内空气的，要使容器内的空气少于原来的，则至少要抽的次数是（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意得出，将指数式化为对数式，解出的取值范围，即可得出结果.
【详解】抽气机抽次后，容器内的空气为原来的，
由题意可得，
，
因此，至少要抽的次数是.
故选：B.
【点睛】本题考查指数模型的应用，同时也考查了指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
20．当，且时，下列说法正确的是（）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则
A．①与②B．②与④
C．②D．①②③④
【答案】C
【分析】对于①④，，无意义；由对数函数的性质可判断②③.
【详解】对于①，若，无意义，则①不正确；
对于②，若，则，则②正确；
对于③，若，则，则或，则③不正确；
对于④，若，无意义，则④不正确；
故选：C.
二、多选题
21．已知，现有下面四个命题中正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AB
【分析】当时，由可得，进而得，当时，利用指对互化及换底公式可得.
【详解】当时，由，可得，则，此时，所以A正确；
当时，由，可得，
则，所以B正确.
故选：AB.
【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题.
22．已知，，，则下列结论正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】先判断，即可判断A；利用判断B；利用B的结论判断C；利用C的结论判断D.
【详解】因为，所以，即A不正确；
因为，所以，即B正确；
由可知，，C正确；
由可知，，则，即D正确．
故选：BCD.
23．已知函数，若，则的值可能为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】AC
【解析】根据，分和两种情况，利用对数方程和一元二次方程的解法求解.
【详解】当时，，
解得，
当时，，
解得，
所以实数的值是2或－1，
或
故选：AC
24．对于函数定义域内的任意当时，下述结论中正确的是（）
A．B．
C． D．
E．
【答案】CD
【分析】利用对数的基本运算性质进行检验：A：根据对数的定义域可知，B：，
C:，D:在单调递增，E:根据对数的运算法则和基本不等式即可得到．
【详解】对于，函数的定义域为，故无意义，错误，
对于，当，时，，，错误；
对于，，正确．
对于，在单调递增，则对任意的，都有即；∴正确
对于，， =，
∵
∴，∴错误．
故选
【点睛】本题主要考查了对数的基本运算性质，对数函数单调性的应用，基本不等式的应用，属于知识的简单综合应用
25．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（）
A．函数的最大值为1B．函数的最小值为0
C．方程有无数个根D．函数是增函数
【答案】BC
【分析】画出的图象，数形结合得到AD错误，B正确，再结合，在同一坐标系内画出，结合交点个数可得C正确.
【详解】画出的图象，如下：
可以看出无最大值，最小值为0，在每一段上单调递增，但在R上不具有单调性，
故AD错误，B正确，
因为，在图中画出，与有无数个交点，故有无数个根，C正确.
故选：BC
26．已知，，且，则（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式判断AB，由不等式性质和指数函数性质判断C．由基本不等式结合对数运算法则判断D．
【详解】对于A，，则，当且仅当，时，等号成立．
对于B，变形得，所以，当且仅当，即时，等号成立，故B错误．
对于C，因为，所以，即，则．
对于D，由可得，，，当且仅当，即，时等号成立．
故选：ACD．
27．下列计算结果为有理数的有（）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】利用指数运算、对数运算化简选项ABD并判断结果，再分析选项C的结果作答.
【详解】对于A，，结果是有理数；
对于B，，结果是有理数；
对于C，因为，且是无理数，因此不是有理数；
对于D，，而，
且是无理数，因此不是有理数.
故选：AB
28．已知正实数，满足，且，则的值可以为（）
A．6B．7C．8D．9
【答案】AD
【分析】根据指对互化公式和指数的运算律即可求解.
【详解】因为正实数，满足，且，
所以，所以，
所以，
所以即解得或，
当时，当时，
故选：AD.
29．下列命题正确的是（）
A．函数的图象过定点
B．已知，，则
C．若，则a的取值范围是
D．为偶函数
【答案】CD
【分析】由函数的奇偶性、对数函数及指数函数的性质对选项逐一判定即可求得结果.
【详解】对于A：令，则，故A错误；
对于B：因为，所以，又得，两式相乘得，即，故B错误；
对于C：因为即；若则，与矛盾；
若则，故a的取值范围是，故C正确；
对于D：函数的定义域为关于原点对称，，则为偶函数，故D正确.
故选：CD
30．设函数定义域为，若存在，且，使得，则称函数是上的“函数”，下列函数是“函数”的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】对于A，根据基本不等式可知A不正确；对于B，当，时，计算可知B正确；对于C，根据基本不等式可知C不正确；对于D，当，时，计算可知D正确.
【详解】对于A，当时，所以，
所以，故函数不是“函数”故A不正确；
对于B，当，时，，
，满足，故函数是“函数”，故 B正确；
对于C，当正数时，所以，故函数不是“函数”，故C不正确；
对于D，当，时，，，满足，故函数是“函数”，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：理解新函数的定义是解题关键.
三、填空题
31．计算＝________.
【答案】0
【分析】利用对数运算性质和换底公式可得结果.
【详解】.
故答案为:0
32．计算：______________．
【答案】
【分析】利用指数、对数的运算性质以及对数恒等式可计算得出所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
【点睛】本题考查指数式与代数式的混合运算，考查指数、对数的运算性质以及对数恒等式的应用，考查计算能力，属于基础题.
33．指数式的对数形式为_______.
【答案】
【分析】根据对数的概念和指数式和对数式的互换公式即可求解.
【详解】由，根据指数式和对数式的互换公式，得.
故答案为：.
34．计算结果是_．
【答案】4
【分析】利用对数和指数的运算性质即可求解.
【详解】因为，，，
，
所以．
故答案为：.
35．若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
【答案】＜
【分析】作商法比较大小，结合对数的运算律和性质，即得解
【详解】易知a，b都是正数，＝＝lg89＞1，所以b＞a.
故答案为：＜
36．已知，，则______.
【答案】
【分析】利用指数互化及对数运算性质求解
【详解】则，故
故答案为：
【点睛】本题考查指对互化及对数运算性质，是基础题，注意对数运算性质的合理运用．
37．已知函数是定义域为的奇函数，当x<0时,，则___________.
【答案】
【分析】根据x<0时,，利用是定义域为的奇函数求解.
【详解】解：因为函数是定义域为的奇函数，且当x<0时,，
所以，
故答案为：
38．______．
【答案】
【分析】由指数和对数运算法则直接计算即可.
【详解】.
故答案为：.
39．=______
【答案】/
【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质即可求解.
【详解】
，
故答案为：.
40．若为奇函数，当时，，则______．
【答案】-2
【分析】求出的值，利用奇函数的定义可求得的值.
【详解】当时，，，
又为奇函数，
所以.
故答案为：.
四、解答题
41．已知，，试用a，b表示下列各对数：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】根据对数的运算性质及计算可得解.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）
42．不用计算器，求下列各式的值：
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）2
【分析】根据对数的基本公式与求解即可
【详解】（1）；
（2）
43．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用指数的运算性质化简可得结果；
（2）利用指数的运算性质以及换底公式化简可得结果.
(1)
解：原式.
(2)
解：原式.
44．计算：
(1)＋－＋；
(2)2lg－lg＋lg－．
【答案】(1)
；
(2)－1
【分析】（1）根据指数运算法则求得结果；
（2）根据对数运算法则求得结果.
(1)
原式＝10＋9－＋27＝；
(2)
原式＝lg－lg＋lg－3＝lg()－3＝2－3＝－1．
45．求值：（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）5.
【解析】（1）利用指数的运算性质即可求解；
（2）利用对数的运算性质及换底公式即可求解．
【详解】解：（1）
（2）
46．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)7
(2)1
(3)0
(4)-1
【分析】利用对数的运算求解.
(1)
解：；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
47．若，求的最小值.
【答案】
【分析】先求出，再利用基本不等式可求的最小值.
【详解】由得，
，，
，，当且仅当时等号成立，
，故的最小值为.
【点睛】本题考查对数的运算以及基本不等式的应用，一般地，对于二元等式条件下的二元函数的最值问题，我们可以用消元法、基本不等式或线性规划等方法来求最值，本题属于基础题.
48．（1）计算化简：
①；
②.
（2）已知，，试用表示.
【答案】（1）①；②；（2）.
【分析】（1）①利用根式、指数的性质、运算法则直接求解．
②利用指数的性质、运算法则直接求解．
（2）利用对数的性质与换底公式以及对数运算法则直接求解．
【详解】解：（1）①
②
（2）由换底公式得：
49．（1）化简：；
（2）计算：.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据根式与指数幂的互化，及分数指数幂的运算性质化简即可：；
（2）利用指数幂与对数的运算性质即可得解.
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】关键点点睛：本题考查指数幂与对数的运算性质，熟悉根式与指数幂的互化，指数幂与对数的运算性是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.
50．已知，求的值．
【答案】
【分析】利用即可得解.
【详解】，
∵，∴，．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了对数的运算性质，利用公式及是解题的关键，属于中档题.