2024朔州怀仁大地学校高中部高一下学期6月月考试题数学含解析

这是一份2024朔州怀仁大地学校高中部高一下学期6月月考试题数学含解析，共12页。试卷主要包含了 本试卷分第Ⅰ卷两部分， 考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知i是虚数单位，则
A．B．C．D．
2．已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为
A．16B．30C．24D．18
3．如图，在平行四边形中，
A．B．C．D．
4．以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是
A．90B．89C．88D．88.5
5．在中，已知，，，则的面积为
A．4B．C．2D．1
6．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623B．328C．072D．457
7．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
8．在三棱锥中，平面，，为边长等于的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积是
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，且，则
10．某校高一年级甲，乙两名同学8次数学测试（100分制）成绩如茎叶图所示，则下列结论正确的是
A．甲、乙的中位数都是83B．甲的方差小于乙的方差
C．甲、乙同学成绩的极差分别是17和20D．甲的分位数是80、乙的分位数是83
11．对于中角所对的边分别为则下列说法正确的有
A．若则为等腰三角形 B．若则为等腰三角形
C．若则 D．若则为锐角三角形
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．复数是纯虚数，则实数 ．
13．在中，若，则
14．在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15（13分）．已知向量，．
(1)若，求；
(2)若，，求与的夹角的余弦值．
16（15分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b.
(1)求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数；
(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值．
17（15分）．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的体积.
18（17分）．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角C的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
19（17分）．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正切
参考答案：
1．A
【分析】根据复数模的运算法则求解即可.
【详解】由题意.
故选：A
2．C
【分析】利用分层随机抽样及已知，求出三个班级分配到的优秀学生人数即得.
【详解】甲、乙、丙三个班级人数比为，由分层随机抽样，三个班级优秀学生名额分别为8，6，10，
所以高三年级三个班优秀学生总人数为人.
故选：C
3．A
【分析】根据给定图形，利用向量加法的平行四边形法则计算即得.
【详解】依题意，，
所以.
故选：A
4．A
【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】从小到大排序这10个数据为72，78，80，81，83，86，88，90，91，92，
因为，所以这10个成绩的第75百分位数是第8个数90.
故选：A.
5．B
【分析】利用正弦定理和余弦定理得到，，由三角形面积公式求出答案.
【详解】由正弦定理得，
由余弦定理得，即，
解得，
故，
所以.
故选：B
6．A
【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可
【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，
第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，
下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.
故选：A.
7．B
【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可.
【详解】连接，取的中点，连接,，

由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角），
在中，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
8．D
【分析】将三棱锥补形为一个直三棱柱,分别是上下底的外心，则的中点是外接球的球心，求出球半径后可得表面积．
【详解】易知的外接圆的半径为1，将三棱锥补形为一个直三棱柱，
如图，分别是上下底的外心，则的中点是外接球的球心，
由题设，易得底面外接圆半径，，则，即外接球的半径为，
其外接球的表面积是，
故选：D．
9．BD
【分析】根据空间中直线，平面的位置关系分别去判断各个选项.
【详解】对于A，若，，则与可能平行，相交或异面，故A错误；
对于B，若，，则，故B正确；
对于C，根据面面平行的判定定理，只有当与是平面内的两条相交直线时，方可确定，故C错误；
对于D，，，或，又，，故D正确.
故选：BD.
10．BC
【分析】根据茎叶图求甲乙的中位数、方差、极差，结合百分数求法求甲的分位数、乙的分位数，即可判断各项正误.
【详解】由茎叶图知：甲数据为，乙数据为，
甲乙中位数分别为，，A错；
甲的平均值，
乙的平均值，
故甲的方差，
故乙的方差，
所以甲的方差小于乙的方差，B对；
甲乙的极差分别为，，C对；
由，甲的分位数为，
由，乙的分位数为，D错.
故选：BC
11．ACD
【分析】对于A，利用正弦定理角化边可得；对于B，根据为三角形内角，结合正弦函数性质可得；对于C，假设，则，根据余弦定理，利用进行放缩，分离出，结合基本不等式可推得矛盾，可判断C；对于D，利用正切的两角和公式整理变形，结合已知可得，根据角的范围可得.
【详解】对于A，利用正弦定理角化边得，所以为等腰三角形，A正确；
对于B，若因为且，
所以或，即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，B错误；
对于C，假设，则，
由余弦定理得，
所以，
又，所以，
则，即，
因为，当且仅当时等号成立，
此时，即，，假设不成立，
所以，C正确；
对于D，因为，
所以，
所以，
所以中的负数有0个或2个，
因为，所以最多有一个为负数，
所以都为正数，即都是锐角，D正确.
故选：ACD
12．1
【分析】结合纯虚数的定义，即可求解．
【详解】是纯虚数，
则，解得．
故答案为：1．
13．
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得.
【详解】在中，由，得，
由余弦定理得，而，
所以.
故答案为：
14．
【分析】证明平面平面，得点的轨迹，由此可得的最大值为的长，最小值为到平面的距离，求出距离后可得．
【详解】连接，正方体中由与平行且相等得是平行四边形，从而，
又平面，平面，所以平面，同理平面，
又，平面，所以平面平面，
平面，则平面，
所以动点的轨迹形成的区域为的边界及内部，的最大值为即的长，
的最小值为到平面的距离，
连接交于点，连接交于点，，
由平面，平面，得，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以，同理，
又因为，平面，所以平面，
同理可证，所以，从而，
故线段的长的取值范围是．
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量垂直求得的值，代入向量坐标，利用向量模长公式计算即得；
（2）利用向量共线求得的值，代入向量坐标，利用向量夹角公式计算即得.
【详解】（1）由题意，
因为，则，得，
则，所以；
（2）由已知，又，，
所以，得，
则，，
故．
16．(1)a=，众数为4.5吨.
(2)5.8
【分析】（1）由频率直方图的面积和为建立方程组.由此即可求出的值.再根据估计众数的定义即可求解；
（2）分别求出前组.前组的频率和，估计出的范围.再根据范围建立方程，由此即可求解．
【详解】（1）由题意可得 .
解得，.
由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数为吨.
（2）因为前6组的频率和为，
前5组的频率和为.
所以，由，解得，
所以估计月用水量标准为吨时，的居民每月的用水量不超过标准．
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）借助中位线的性质与线面平行判定定理推导即可得；
（2）借助线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理推导即可得；
（3）借助点为线段的中点，可得点与点到平面距离相等，即有，结合体积公式计算即可得.
【详解】（1）连接交于点，连接，
由底面是正方形，故为中点，
又点为线段的中点，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）由点为线段的中点，，故，
由平面，平面，故，
又底面是正方形，故，
又、平面，，
故平面，又平面，
故，又、平面，，
故平面；
（3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等，
故.
18．(1)
(2)12
【分析】（1）借助正弦定理边化角后结合三角形内角和与两角和的正弦公式计算即可得；
（2）借助余弦定理与面积公式计算即可得.
【详解】（1）由正弦定理得：，
∵，
∴，
∴，又，∴，∴，
∵，∴．
（2）∵，∴，
由余弦定理得：，
∴，解得：，
∴的周长为．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证明出平面平面；
（2）先根据条件作出二面角的平面角，假设边长后利用即可求出结果.
【详解】（1）证明：由条件有，
且平面，，
平面，又平面，；
又，是的中点，；
又平面，，
平面，平面，．
由已知，且平面，，
平面．又平面，
平面平面．
（2）取中点，则，作于，连结．
底面，底面．
为在平面内的射影，
，，
为二面角的平面角．
设，
在中，，，
；
二面角的正切值为．
.