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2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修二专题4.2 等差数列(7类必考点)
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这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修二专题4.2 等差数列(7类必考点),文件包含专题42等差数列7类必考点人教A版2019选择性必修第二册原卷版docx、专题42等差数列7类必考点人教A版2019选择性必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共42页, 欢迎下载使用。
专题4.2 等差数列 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1" HYPERLINK \l "_Toc119436424" 【考点1:等差数列的有关概念】 PAGEREF _Toc119436424 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc119436425" 【考点2:等差数列的通项】 PAGEREF _Toc119436425 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc119436426" 【考点3:等差数列的前n项和】 PAGEREF _Toc119436426 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc119436427" 【考点4:等差数列的基本性质及应用】 PAGEREF _Toc119436427 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc119436428" 【考点5:等差数列前n项和的最值问题】 PAGEREF _Toc119436428 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc119436429" 【考点6:等差数列的判定与证明】 PAGEREF _Toc119436429 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc119436430" 【考点7:等差数列的实际应用】 PAGEREF _Toc119436430 \h 12【考点1:等差数列的有关概念】【知识点:等差数列的有关概念】(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=eq \f(a+b,2),其中A叫做a,b的等差中项.1.(2023上·江苏镇江·高三统考期中)已知三个互不相等的一组实数,,成等比数列,适当调整顺序后,这三个数又能成等差数列,满足条件的一组实数,,为 .2.(2023下·高二课时练习)判断正误(正确的填“正确”,错误的填“错误”)(1)数列1,1,1,1,1是等差数列.( )(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )(3)任意两个实数都有等差中项.( )(4)等差数列的公差是相邻两项的差.( )3.(2023下·高二课时练习)判断正误(正确的打“正确”,错误的打“错误”)(1)若是等差数列,则也是等差数列.( )(2)若是等差数列,则也是等差数列.( )(3)若是等差数列,则对任意都有.( )(4)等差数列不是递增数列就是递减数列.( )4.(2023·全国·高二课堂例题)判断下列数列是否为等差数列:(1)1,1,1,1,1;(2)4,7,10,13,16;(3)-3,-2,-1,1,2,3.【考点2:等差数列的通项】【知识点:等差数列的通项】通项公式:an=a1+(n-1)d.[方法技巧]解决等差数列通项中的基本量的思路在等差数列{an}中,a1与d是最基本的两个量,一般可设出a1和d,利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可.1.(2022上·河南省直辖县级单位·高二校考期末)设数列是单调递增的等差数列,前三项的和为,前三项的积为,则它的首项是( )A. B. C. D.2.(2022上·甘肃陇南·高二校考期末)已知数列()为等差数列,且,,则数列的通项公式为 .3.(2023下·高二课时练习)已知为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式.(1),;(2)前三项为.4.(2023下·高二课时练习)两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项?5.(2023上·重庆·高二重庆市育才中学校联考阶段练习)已知是等差数列,若,.(1)求的通项公式;(2)证明是等差数列.6.(2023下·高二课时练习)已知数列,满足,,记.(1)试证明数列为等差数列;(2)求数列的通项公式.【考点3:等差数列的前n项和】【知识点:等差数列的前n项和】前n项和公式:Sn=na1+eq \f(nn-1,2)d=eq \f(na1+an,2).[方法技巧]解决等差数列前n项和的基本量的思路 与等差数列有关的基本运算问题,主要围绕着通项公式an=a1+(n-1)d和前n项和公式Sn=eq \f(na1+an,2)=na1+eq \f(nn-1,2)d,在两个公式中共涉及五个量:a1,d,n,an,Sn,已知其中三个量,选用恰当的公式,利用方程(组)可求出剩余的两个量.1.(2023·全国·模拟预测)已知为等差数列的前项和,,则( )A.240 B.60 C.180 D.1202.(2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角,这是中国数学史上的一个伟大成就.在杨辉三角中,第行的和为,若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,……则此数列的前45项和为( )A.4052 B.2047 C.2048 D.20263.(2023上·上海浦东新·高三统考期末)已知是等差数列的前项和,若,则满足的正整数的值为 .4.(2023上·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习)数列满足:,则数列前60项和为 .5.(2023上·新疆克孜勒苏·高三统考期中)已知数列是等差数列.(1)若,,求;(2)若,,,求.6.(2023上·天津·高二天津市第九十五中学益中学校校考阶段练习)已知等差数列满足:,.(1)求数列的通项公式以及前n项和;(2)求的值.7.(2022上·黑龙江佳木斯·高二校考期末)已知:数列的前n项和,其中(1)求;(2)设,求数列的前项和.8.(2023·陕西西安·校联考模拟预测)设等差数列满足,.(1)求的通项公式;(2)记为的前项和,若,求的值.9.(2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习)已知为等差数列,.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.10.(2022上·陕西铜川·高二校考期末)已知数列为等差数列,且.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和的最大值11.(2023·山西·校考模拟预测)已知等差数列满足.(1)求的通项公式;(2)设数列的前项和为,且,若,求的最小值.12.(2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习)设数列满足,且.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和公式.【考点4:等差数列的基本性质及应用】【知识点:等差数列的常用性质】(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d.(5)S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1),遇见S奇,S偶时可分别运用性质及有关公式求解.(6){an},{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn,Tn,则eq \f(an,bn)=eq \f(S2n-1,T2n-1).(7)若{an}是等差数列,则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的eq \f(1,2).[方法技巧]利用等差数列性质求解问题的注意点(1)如果{an}为等差数列,m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).因此,若出现am-n,am,am+n等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件;若求am项,可由am=eq \f(1,2)(am-n+am+n)转化为求am-n,am+n或am+n+am-n的值.(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用,如an=am+(n-m)d,d=eq \f(an-am,n-m),S2n-1=(2n-1)an,Sn=eq \f(na1+an,2)=eq \f(na2+an-1,2)(n,m∈N*)等.[提醒] 一般地,am+an≠am+n,等号左、右两边必须是两项相加,当然也可以是am-n+am+n=2am. 1.(浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题)已知数列an与bn均为等差数列,且a3+b5=4,a5+b9=8,则a4+b7=( )A.5 B.6 C.7 D.82.(2022·福建漳州·高二期中)已知等差数列{an}中,a5,a15是函数f(x)=x2−3x−2的两个零点,则a3+a8+a12+a17=( )A.2 B.3 C.4 D.63.(2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a5=6,a11+a12+a13=27,则S16=( )A.120 B.60 C.160 D.804.(2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习)已知数列an,bn均为等差数列,且其前n项和分别为Sn和Tn.若SnTn=2n+1n+2,则a7b7=( )A.53 B.95 C.2916 D.35.(2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习)等差数列an的前n项和Sn,若Sn=1,S3n−Sn=5,则S4n=( )A.10 B.20 C.30 D.156.(2022·江苏省震泽中学高二阶段练习)已知Sn,Tn分别是等差数列an与bn的前n项和,且SnTn=2n+14n−2n=1,2,⋯,则a10b3+b18+a11b6+b15=( )A.1120 B.4178 C.4382 D.23427.(2021·浙江·测试·编辑教研五高二期中)在等差数列{an}中,Sn为其前n项和.若a4=2,则S7=______ .8.(2022·上海市行知中学高三期中)设等差数列an的前n项之和Sn满足S10−S5=20,那么 a8=_________.9.(2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中(理))已知Sn是等差数列an的前n项和,若S20=15,S60=75,则S40=__________.【考点5:等差数列前n项和的最值问题】【知识点:等差数列前n项和的最值问题】等差数列的通项an及前n项和Sn均为n的函数,通常利用函数法或通项变号法解决等差数列前n项和Sn的最值问题.[方法技巧]求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.(2)通项变号法①a1>0,d