2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修二专题4.3 等比数列（6类必考点）

这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修二专题4.3 等比数列（6类必考点），文件包含专题43等比数列6类必考点人教A版2019选择性必修第二册原卷版docx、专题43等比数列6类必考点人教A版2019选择性必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。

专题4.3 等比数列 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc120045717" 【考点1：等比数列的有关概念】  PAGEREF _Toc120045717 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc120045718" 【考点2：等比数列的通项】  PAGEREF _Toc120045718 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc120045719" 【考点3：等比数列的前n项和】  PAGEREF _Toc120045719 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc120045720" 【考点4：等比数列的性质】  PAGEREF _Toc120045720 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc120045721" 【考点5：等比数列的判定与证明】  PAGEREF _Toc120045721 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc120045721" 【考点6：等比数列的简单应用】 9【考点1：等比数列的有关概念】【知识点：等比数列的有关概念】(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.1．（2023下·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）（1）若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( )（2）等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( )（3）常数列一定为等比数列．( )（4）任何两个数都有等比中项．( )2．（2023下·北京·高二校考期中）我国古代哲学著作《庄子》中有一句话：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”这句话的意思是：一尺长的木棍，每天截去一半，永远也截不完. 从数学上来说，如果木棍初始长度为1，记第n天截去一半之后木棍剩余的长度为，则数列的各项依次为（    ）A．1， ， ， ， … B．， ， ， ， …C．， ， ， ， … D．， ， ， ， …3．（2022上·陕西西安·高二校考期中）若为实数，数列﹣1，，﹣25是等比数列，则的值为（    ）A．5 B．﹣5 C． D．﹣104．（2023上·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ）A．0 B．1 C．2 D．35．（多选）（2023下·高二课时练习）下面四个选项中，正确的有（    ）A．由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列B．常数列b，b，…，b一定为等比数列C．等比数列中，若公比，则此数列各项相等D．等比数列中，各项与公比都不能为零【考点2：等比数列的通项】【知识点：等比数列的通项公式】（1）an＝a1qn-1.1．（2023上·黑龙江大兴安岭地·高三大兴安岭实验中学校考阶段练习）在等比数列中，若，则的公比（    ）A． B． C． D．42．（2022上·广东佛山·高三统考阶段练习）若一数列为，1，，，，…，其中，则是这个数列的（    ）A．不在此数列中 B．第337项 C．第338项 D．第339项3．（2023上·广东汕头·高三汕头市潮阳黄图盛中学校考阶段练习）在正项等比数列中，，，则的通项公式 .4．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知为等比数列，公比，，且成等差数列，则通项公式 ．5．（2023上·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）已知数列满足，，则满足不等式的k（k为正整数）的值为 ．6．（2023上·浙江湖州·高二湖州中学校考阶段练习）在等比数列中，若，则 .7．（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知公比不为等于1的无穷等比数列各项均为整数,且有连续四项在集合中,请写出数列的一个通项公式: （写出一个正确的即可）．8．（2023·全国·高二课堂例题）已知等比数列的首项为，公比．(1)求；(2)判断18是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．【考点3：等比数列的前n项和】【知识点：等比数列的前n项和公式】（1）Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))（2）解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).1．（河南省豫南九校2022-2023学年高三上学期第一次联考数学（文）试题）已知等比数列an的前n项和为Sn，若a4=81，a1=3，则S6=（    ）A．364 B．1094 C．368 D．10922．（2022·江苏·马坝高中高二期中）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3=72,S6=632，则公比q=（    ）A．4 B．−2 C．2 D．−43．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）设等比数列an的前n项和为Sn，公比q≠−1，且S8=3S4，则S8−S4S12=（    ）A．27 B．23 C．32 D．724．（2022·山东青岛·高二期中）集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前n次操作中共去掉的线段长度之和不小于2930，则n的最小值为（    ）（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）A．9 B．8 C．7 D．65．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）若等比数列an的公比为13，且a1+a4+a7+⋯+a97=90，则an的前99项和为___________.6．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+Sn=1n∈N∗(1)证明：数列an是等比数列；(2)求S10a10的值．7．（2023·江西景德镇·高三阶段练习（文））数列an满足2an+1+an=3，且a1=32(1)证明：数列an−1为等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn．【考点4：等比数列的性质】【知识点：等比数列的性质】(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2s＝p＋r，则apar＝aeq \o\al(2,s)，其中p，s，r∈N*.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(pan,qbn)))(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．(4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.(5)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，其公比为qk.(6)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq \f(T2n,Tn)，eq \f(T3n,T2n)，…成等比数列．(7)若数列{an}的项数为2n，S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和，则eq \f(S偶,S奇)＝q；若项数为2n＋1，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝q.[易错提醒](1)在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N*)，则不一定有m＋n＝p＋q成立，如当数列{an}是非零常数列时，此结论不成立．(2)当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．　　1．（2022·江苏·盱眙县第二高级中学高二期中）正项等比数列an中，a2=2，a4=8则a1a7=（    ）A．4 B．8 C．32 D．642．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））an为公比大于1的正项等比数列，且a3和a2a6是方程x2−5x+4=0的两根，若正实数x，y满足x+y=a4，则1x+2y的最小值为（    ）A．1+2 B．32+2 C．2+2 D．3+223．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）记Sn为等比数列an的前n项和.若S2=4，S4=6，则S8=（    ）A．152 B．8 C．7 D．1724．（2022·全国·高二课时练习）关于递增等比数列an，下列说法正确的是（    ）．A．当a1>0时，q>1 B．当a1>0时，q<0C．当a1<0时，01，a2022a2023>1，a2022−1a2023−1<0，则下列选项正确的是（    ）A．016．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1＜0，下列结论正确的是（    ）A．S2019＜S2020B．a2019a2021﹣1＜0C．T2020是数列{Tn}中的最大值D．数列{Tn}无最大值7．（2022·陕西·永寿县中学高二阶段练习（文））等比数列an的各项均为正数，且a3⋅a13=4，则log2a1+log2a2+⋯+log2a15=___________．8．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二期中（文））在正项等比数列an中，a4a8a12=8，则log2a2+log2a14=______．9．（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）设等比数列an的前n项和为Sn，若S4=2，S8=6，则S12=_______．【考点5：等比数列的判定与证明】【知识点：等比数列的判定方法】[易错提醒](1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．　　1．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）记Sn为数列an的前n项和，给出以下条件，其中一定可以推出an为等比数列的条件是（    ）A．Sn=2an−1 B．Sn=2n+1 C．an+1=2an D．Sn是等比数列2．（2022·青海·海东市教育研究室高一期末）在数列an中，已知a1=1,an+1=2an+2n−3．(1)若bn=an+2n−1，证明：数列bn是等比数列．(2)求an的前n项和Sn．3．（2008·四川·高考真题（理））设数列an的前n项和为Sn，已知ban−2n=(b−1)Sn．(1)证明：当b=2时，an−n⋅2n−1是等比数列；(2)求an的通项公式．4．（2022·贵州·模拟预测（理））已知数列an，满足a1=2，an+1=an2+4an+2.(1)证明：数列log2an+2是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)求数列an+2的前n项积Tn.5．（2023·江西景德镇·高三阶段练习（文））数列an满足2an+1+an=3，且a1=32(1)证明：数列an−1为等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn．6．（2022·福建·高三阶段练习）在数列an，bn中，已知a1=4，b1=2，且an+1=2bn，bn+1=an+2.(1)证明：数列a2n−1+4是等比数列；(2)求数列bn的前2n项的和S2n.【考点6：等比数列的简单应用】【知识点：等比数列的简单应用】1．（2007·全国·高考真题（理））某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（    ）A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个2．（2022·山东烟台·高三期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设an为第n年的维修费用，An为前n年的平均维修费用，若An<40万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（    ）A．2026 B．2027 C．2028 D．20293．（2022·四川资阳·一模（理））“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．“十二平均律”是将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比均为常数，且最后一个单音的频率为第一个单音频率的2倍．如图，在钢琴的部分键盘中，a1，a2，…，a13这十三个键构成的一个纯八度音程，若其中的a1（根音），a5（三音），a8（五音）三个单音构成了一个原位大三和弦，则该和弦中五音与根音的频率的比值为（    ）A．1225 B．2 C．1227 D．3224．（2022·山东青岛·高二期中）集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前n次操作中共去掉的线段长度之和不小于2930，则n的最小值为（    ）（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）A．9 B．8 C．7 D．65．（2022·山东·潍坊七中高三阶段练习）视力表是根据视角原理设计的，所谓视角就是由外界物体边缘上的两点在眼结点处所形成的夹角，用α表示，其单位为分.视力表以一分视角（1′）为单位进行设计.我国视力的记录采用“五分记录法”，视力表由14行开口方向各异的正方形“E”形视标所组成，从上到下分别对应视力4.0，4.1，……，5.2，5.3，从上面的第一行开始往下，每一行“E”形视标边长都是下一行“E”形视标边长的10110倍，且视力L与视角α的关系式为：L=5−lgα.若某同学的视力是4.0，则其视角α=___________分；若视力4.0的视标边长为1，则视力5.0的视标边长为___________.6．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里，则第n年绿洲面积与上一年绿洲面积an-1的关系如下：an =45an-1+425；(1)证明an-45是等比数列并求an通项公式；(2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（lg2=0.3010）7．（2022·上海·上外附中高二阶段练习）某中学有在校学生2000人，没有患感冒的同学．由于天气骤冷，在校学生患流行性感冒人数剧增，第一天新增患病同学10人，之后每天新增的患病同学人数均比前一天多9人．由于学生患病情况日益严重，学校号召同学接种流感疫苗以控制病情．从第8天起，新增病患的人数均比前一天减少50%，并且每天有10名患病同学康复．(1)求第n天新增病患的人数an1≤n≤13,n∈N∗；(2)按有关方面规定，当天患病同学达到全校人数的15%时必须停课，问该校有没有停课的必要？请说明理由．8．（2022·江苏·星海实验中学高二阶段练习）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.(1)求该数列前55项和；(2)求激活码N的值.定义法若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列