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人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质导学案及答案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质导学案及答案，共11页。
余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
二．每日一练
一、单选题
1．函数在区间内单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．函数的部分图象如图，点的坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
4．函数在上的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
5．若的图像与的图象关于轴对称，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知点在余弦曲线上，则m＝（ ）
A．B．－C．D．－
8．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设函数则（ ）
A．是偶函数B．值域为
C．存在，使得D．与具有相同的单调区间
10．如图是函数的部分图象，则（ ）
A． B．
C． D．
11．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在上单调递减
12．满足不等式的x的值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．函数的最大值为__________.
14．函数，的图像与直线的交点有__________个．
15．请写出一个值域为且在上单调递减的偶函数 _______．
16．函数的定义域为__________
四、解答题
17．求函数的最大值、最小值，并指出取到最值时x的值.
18．求下列函数的值域：
（1）；（2），.
19．已知函数.
（1）求函数的单调减区间；
（2）作出函数在上的大致图象；
（3）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，求函数的值域.
20．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间．
21．设函数.
（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)；
（2）若，求的值.
22．已知函数.
（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图；
（2）求不等式的解集.
参考答案
1．B，则，因为函数在区间内单调递减，则，所以，，解得，由，可得，因为且，则，.因此，正数的最大值为.
2．C因为在函数的图像上，所以，得，因为，所以，又函数离轴最近的最大值点的横坐标为，由图知，，且，所以得
3．D令，可得．所以当时，，故满足条件，当时，，故满足条件；
4．A，故函数为偶函数，又，排除B，，排除D，，可排除C.
5．B对于A，，图象与重合，A错误；对于B，与图象关于轴对称，与图象关于轴对称，B正确；
对于C，当时，，可知其图象不可能与关于轴对称，C错误；对于D，将位于轴下方的图象翻折到轴上方，就可以得到的图象，可知其图象与的图象不关于轴对称，D错误.
6．D解：根据题意，依次分析选项：对于，，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，
对于，，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于，，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，
7．B因为点在余弦函数的图象上，所以，
8．B由知，的图象不关于y轴对称，排除选项A，C．
，排除选项D．
9．BC因为.所以，不是偶函数，故选项A错误.当时，，当时，，所以值域为，故B正确；因为，，选项C正确.因为具有单调性的区间与具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，选项D错误(由表达式也可以看出).
10．CD由图象可知，函数的最小正周期为，
设，则，所以，，，且函数在附近单调递减，所以，，可得，所以，，C选项满足条件，A选项不满足条件；对于B选项，B选项不满足条件；
对于D选项，，D选项满足条件.
11．ABC在A中，函数的，故周期，故A正确；在B中，当时，为最大值，此时的图象关于直线对称，故B正确；在C中，，，∴的一个零点为，故C正确；在D中，函数在上单调先减后增，故D错误．
12．BCD由三角函数的图象知，当时，，故B，C，D都可以.
13．4，且，
∴当时，取最大值，.
14．2令，即，，或，
所以函数，的图像与直线的交点有2个.
15．由在上偶函数，值域为且在上单调递减，
16．由题知，，即，
而的解集为 所以函数的定义域为..
17．，此时；，此时.
∵，且，∴当时，，此时，当时，，此时.
18．（1）；（2）.（1）当时，，当，，因为，所以，
所以，综上可知，的值域为；
（2）令，所以原函数值域即为的值域，
因为的对称轴为且开口向上，所以在上单调递减，所以，所以函数的值域为.
19．（1）单调减区间为，；（2）图象详见解析；（3）.
（1）由题意，令，
得，故，
故函数的单调减区间为，.
（2）当时，，列表如下：
作出函数在上的大致图象如下：
（3）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，
再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象，
则，
令，则，，即，
故当时，；当时，，
故函数的值域为.
20．（1）；（2）．
（1）．的最小正周期；
（2）由，得，所以函数的单调递增区间为．
21．（1）答案见解析；（2）.
解：（1）列表如下：
（2）解：由，得，由，
得，由，
得，
则.
22．（1）答案见解析；（2）().
（1）由函数，可得完成表格如下：
可得在的大致图象如下：
（2）由，可得，即，
当时，由，得.
又由函数的最小正周期为，
所以原不等式的解集为().
函数
y＝cs x
图象
定义域
R
值域
[－1，1]
函数的最值
最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z；
最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z
单调性
增区间[k·2π－π，k·2π](k∈Z)；
减区间[k·2π，k·2π＋π](k∈Z)
奇偶性
偶函数
周期性
周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π
对称性
对称中心
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z
对称轴
x＝kπ，k∈Z
零点
kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
0
0
1
0
-2
0
2
1
0
2
0
-2
0
2
0
1
1
余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
二．每日一练
一、单选题
1．函数在区间内单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．函数的部分图象如图，点的坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
4．函数在上的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
5．若的图像与的图象关于轴对称，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知点在余弦曲线上，则m＝（ ）
A．B．－C．D．－
8．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设函数则（ ）
A．是偶函数B．值域为
C．存在，使得D．与具有相同的单调区间
10．如图是函数的部分图象，则（ ）
A． B．
C． D．
11．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在上单调递减
12．满足不等式的x的值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．函数的最大值为__________.
14．函数，的图像与直线的交点有__________个．
15．请写出一个值域为且在上单调递减的偶函数 _______．
16．函数的定义域为__________
四、解答题
17．求函数的最大值、最小值，并指出取到最值时x的值.
18．求下列函数的值域：
（1）；（2），.
19．已知函数.
（1）求函数的单调减区间；
（2）作出函数在上的大致图象；
（3）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，求函数的值域.
20．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间．
21．设函数.
（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)；
（2）若，求的值.
22．已知函数.
（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图；
（2）求不等式的解集.
参考答案
1．B，则，因为函数在区间内单调递减，则，所以，，解得，由，可得，因为且，则，.因此，正数的最大值为.
2．C因为在函数的图像上，所以，得，因为，所以，又函数离轴最近的最大值点的横坐标为，由图知，，且，所以得
3．D令，可得．所以当时，，故满足条件，当时，，故满足条件；
4．A，故函数为偶函数，又，排除B，，排除D，，可排除C.
5．B对于A，，图象与重合，A错误；对于B，与图象关于轴对称，与图象关于轴对称，B正确；
对于C，当时，，可知其图象不可能与关于轴对称，C错误；对于D，将位于轴下方的图象翻折到轴上方，就可以得到的图象，可知其图象与的图象不关于轴对称，D错误.
6．D解：根据题意，依次分析选项：对于，，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，
对于，，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于，，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，
7．B因为点在余弦函数的图象上，所以，
8．B由知，的图象不关于y轴对称，排除选项A，C．
，排除选项D．
9．BC因为.所以，不是偶函数，故选项A错误.当时，，当时，，所以值域为，故B正确；因为，，选项C正确.因为具有单调性的区间与具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，选项D错误(由表达式也可以看出).
10．CD由图象可知，函数的最小正周期为，
设，则，所以，，，且函数在附近单调递减，所以，，可得，所以，，C选项满足条件，A选项不满足条件；对于B选项，B选项不满足条件；
对于D选项，，D选项满足条件.
11．ABC在A中，函数的，故周期，故A正确；在B中，当时，为最大值，此时的图象关于直线对称，故B正确；在C中，，，∴的一个零点为，故C正确；在D中，函数在上单调先减后增，故D错误．
12．BCD由三角函数的图象知，当时，，故B，C，D都可以.
13．4，且，
∴当时，取最大值，.
14．2令，即，，或，
所以函数，的图像与直线的交点有2个.
15．由在上偶函数，值域为且在上单调递减，
16．由题知，，即，
而的解集为 所以函数的定义域为..
17．，此时；，此时.
∵，且，∴当时，，此时，当时，，此时.
18．（1）；（2）.（1）当时，，当，，因为，所以，
所以，综上可知，的值域为；
（2）令，所以原函数值域即为的值域，
因为的对称轴为且开口向上，所以在上单调递减，所以，所以函数的值域为.
19．（1）单调减区间为，；（2）图象详见解析；（3）.
（1）由题意，令，
得，故，
故函数的单调减区间为，.
（2）当时，，列表如下：
作出函数在上的大致图象如下：
（3）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，
再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象，
则，
令，则，，即，
故当时，；当时，，
故函数的值域为.
20．（1）；（2）．
（1）．的最小正周期；
（2）由，得，所以函数的单调递增区间为．
21．（1）答案见解析；（2）.
解：（1）列表如下：
（2）解：由，得，由，
得，由，
得，
则.
22．（1）答案见解析；（2）().
（1）由函数，可得完成表格如下：
可得在的大致图象如下：
（2）由，可得，即，
当时，由，得.
又由函数的最小正周期为，
所以原不等式的解集为().
函数
y＝cs x
图象
定义域
R
值域
[－1，1]
函数的最值
最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z；
最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z
单调性
增区间[k·2π－π，k·2π](k∈Z)；
减区间[k·2π，k·2π＋π](k∈Z)
奇偶性
偶函数
周期性
周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π
对称性
对称中心
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z
对称轴
x＝kπ，k∈Z
零点
kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
0
0
1
0
-2
0
2
1
0
2
0
-2
0
2
0
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