江苏省无锡市新吴区新一教育集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 解析

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【分析】根据轴对称图形的概念对各选项逐一进行分析判断即可得出答案．
【详解】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是解题的关键.
2．C
【分析】△ADC和△AEB中，已知的条件有AB=AC，∠A=∠A；要判定两三角形全等只需条件一组对应角相等，或AD=AE即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的．
【详解】A、当∠B=∠C时，符合ASA的判定条件，故A正确；
B、当AD=AE时，符合SAS的判定条件，故B正确；
C、当DC=BE时，给出的条件是SSA，不能判定两个三角形全等，故C错误；
D、当∠ADC=∠AEB时，符合AAS的判定条件，故D正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的证明，掌握三角形全等证明相关定理是解题的关键．
3．C
【分析】根据全等三角形的性质得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能正确运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
4．C
【分析】三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，根据以上内容判断即可．
【详解】解：∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，
∴A、根据SAS定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；
B、根据ASA定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；
C、根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项符合题意；
D、根据SSS定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
5．B
【分析】利用轴对称的性质进行判定后即可得到正确的答案．
【详解】
解：A、全等的三角形不一定对称，故错误，不合题意；
B、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，故正确，符合题意；
C、等腰三角形是以底边的高线所在的直线为对称轴的轴对称图形，故错误，不合题意；
D、若两个图形关于某条直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故错误，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键．
6．D
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断出各个选项中的三条线段的长能否构成直角三角形．
【详解】解：42+52≠62，不可以构成直角三角形，故选项A不符合题意；
1+1.5＜3，不可以构成三角形，故选项B不符合题意；
22+32≠42，不可以构成直角三角形，故选项不C符合题意；
1.52+22＝2.52，可以构成直角三角形，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确勾股定理的逆定理的内容，如果三角形三边满足：两条较短边的平方之和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形．
7．B
【分析】根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，
∵△DAB的面积为10，DA=5，
∴DA•BC=10，
∴BC=4，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，此题的突破点是利用三角形面积公式求出BC的长．
8．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质及网格的特征作AC和BC的垂直平分线，得出交点即可得答案．
【详解】∵到△ABC三个顶点距离相等，
∴该点是三角形三边垂直平分线的交点，即△ABC的外心，
如图，根据网格作AC、BC的垂直平分线，可得交点为F，
故选：B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质及网格特征是解题关键．
9．B
【分析】根据，求出即可解答．
【详解】解：，，
，
由翻折的性质可知：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
10．D
【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，最大面积为30，即最大面积为7.5．
【详解】解：如图：延长，交点于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，；
，
，即；
，
是的中点，
，
当时，面积最大，
即最大面积．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识；利用三角形中线的性质得到是解题的关键．
11．10：51
【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际时间．
【详解】∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是10：51．
故答案为：10：51
12．17
【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去．
【详解】解：当3是腰时，则，不能组成三角形，应舍去；
当7是腰时，则该等腰三角形的周长为．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．
13．62
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接可求得答案．
【详解】解：等腰三角形的顶角等于，等腰三角形的底角相等，
底角等于，
故答案为：62．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
14．5
【详解】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=AB=5.
考点：直角三角形斜边上的中线．
15．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：点，之间的距离，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．
【分析】取的中点，过作于，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】解：取的中点，过作于，如图2所示：
由题意得：，
设寸，
则（寸），寸，寸，
寸，
在中，
，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
17．
【分析】根据折叠性质得到，设，得到线段ED，BE的长度表达式，然后在中根据勾股定理求出AE的长度，最后根据三角形面积公式求出的面积．
【详解】解：∵将长方形折叠，使点B与点D重合，
∴，
设，则，
在中，
，
∴，
解得：，
∴的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，三角形面积．解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式计算三角形面积．
18． 不变 1.5
【分析】根据对称性证，得出，再根据当时最短，根据所对的边等于斜边的一半得出，即可得出的值．
【详解】解：∵是等边三角形，且，
∴，
由题意知，在和中，
，
，
，
，
即的大小不变，
由题意知，当时最短，
此时，
，
，
故答案为：不变，．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，对称的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，对称的性质等知识是解题的关键．
19．(1)直角三角形
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，得，则是直角三角形；
（2）利用轴对称的性质即可画出图形；
（3）画的平分线和的垂直平分线，交点即为点P．
【详解】（1）解：由勾股定理得，，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，轴对称的性质，网格中角平分线和线段垂直平分线的画法等知识，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
20．见解析
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定证明△ABC≌△DEF即可证得结论解答．
【详解】解：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC=DF．
【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
21．（1）∠DCB＝27°；（2）△ABC的周长＝26
【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案；
（2）根据DE垂直平分AC得到DA＝DC，EC＝EA＝5，根据△DCB的周长为16，通过线段代换即可求得△ABC的周长．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠ABC＝69°，
∵DE垂直平分AC，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝69°﹣42°＝27°，
（2）∵DE垂直平分AC，
∴AC＝2AE＝10，
∴AB＝AC＝10，
∵△DCB的周长＝CD+BD+BC
＝AD+BD+BC
＝AB+BC＝16，
BC＝16﹣AB＝16﹣10＝6，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝26．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，熟练掌握相关性质是解题关键．
22．（1）15；（2）△ABC是直角三角形.理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）利用勾股定理判断三角形的形状.
【详解】⑴ ∵ CD是△ABC的高
∴ ∠ADC＝∠CDB＝90°
△ADC中，∠ADC＝90°， AD＝16，CD＝12
∴
∵ AC＞0
∴ AC＝20
△CDB中，∠CDB＝90°， BD＝9，CD＝12
∴
∵ CB＞0
∴ CB＝15
⑵ △ABC是直角三角形.
∵ AD＝16，BD＝9，
∴ ，
∵ AC=20，BC=15，
∴ ，
∴ ，
∴ △ABC是直角三角形
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及其逆定理的运用；熟练掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
23．（1）EF⊥AC，理由见详解；（2）EF=8
【分析】（1）连接AE、CE，根据题意易得AE=CE，然后根据等腰三角形的性质可证；
（2）由题意易得∠AEC=90°，然后根据直角三角形斜边中线定理可求解．
【详解】解：（1）EF⊥AC，理由如下：
连接AE、CE，如图所示：
∵∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，点E是BD的中点，
∴，
∴AE=CE，
∴△AEC是等腰三角形，
∵点F是AC的中点，
∴EF⊥AC；
（2）由（1）可得：△AEC是等腰三角形，AE=BE，BE=EC，
∴∠ABE=∠BAE，∠EBC=∠ECB，
∴∠AED=2∠ABE，∠DEC=2∠EBC，
∵∠ABC=45°=∠ABE+∠EBC，
∴∠AEC=∠AED +∠DEC=2∠ABC=90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AC=2EF，
∵AC=16，
∴EF=8．
【点睛】本题主要考查直角三角形的斜边中线定理及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形的斜边中线定理及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）一边上的中线等于这边的一半；（3）b2+c2＝4a2．
【分析】(1)利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可；
(2)根据(1）中结论解决问题即可；
(3)利用（1）中结论，结合勾股定理解决问题即可．
【详解】解：（1）由题意得，AC＝BC＝CD，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠D，
∵∠ABC+∠CBD+∠A+∠D＝180°，
∴2（∠ABC+∠CBD）＝180°，
∴∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝90°；
（2）根据题意和（1）可知：在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，
故答案为：一边上的中线等于这边的一半；
（3）∵ 这两个等腰三角形可以拼出一个大三角形且满足“三弧法”的条件，如已知图，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝2AC＝2a，AB＝b，BD＝c，
根据勾股定理，得
AB2+BD2＝AD2，
即b2+c2＝4a2．
故答案为：b2+c2＝4a2．
【点睛】本题考查应用与设计作图，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．(1)45
(2)不变，见解析
(3)，见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质求出、，结合图形计算，得到答案；
（2），仿照（1）的解法计算即可；
（3）根据题意画出图形，设，，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质用表示出，证明结论．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：45；
（2）的度数不会改变，
证明如下：设，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）画出对应的示意图如图2所示，
猜想：，
证明如下：设，，
则，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
26．（1）作图见解析，的长分别是，4，1，9；（2）或7
【分析】（1）分三种情况作出图形，再求线段长即可；
（2）先作出符合题意的图形，再利用全等三角形的性质求线段长即可.
【详解】解：（1）作图如下：
①如图，尺规作AB的垂直平分线交直线OB于点C1，此时设OC1=x，则AC1=BC1=4－x，
在Rt△AOC1中，，解得x=，即OC1=；
②如图，以A为圆心，AB为半径作圆，交直线OB于点C2，此时AB=AC2，
又∵AO⊥OB，
∴OC2=OB=4；
③如图，以B为圆心AB为半径作圆，交直线OB于点C3，C4，
在RtAOB中，AB=，则此时BC3=BC4=AB=5，
∴OC3=BC3－OB=1，OC4=BC4+OB=9，
综上所述，OC的长为，4，1，9；
（2）①如图：
∵△ABC≌△CDA，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图：
∵△ABC≌△CDA，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，AD的长为1或7.
【点睛】本题考查等腰三角形的作图及性质，勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握作图技巧是解题的关键.
27．（1）证明见详解；（2）18；（3）2.5
【分析】(1）根据题干可知本题考查全等三角形证明，先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD，则可根据“AAS”证明△AEC≌△CD．
(2)根据图2和条件，作B'D⊥AC于D，先证明△B'AD≌△A B'D得到B'D=AC=6，
则可根据三角形面积公式计算；
(3)根据图3，利用旋转的性质得∠FOP=120°，OP=OF，
再证明△BOF≌△CPO得到PC=OB=1，
则EP=CE＋CP=5，然后计算点P运动的时间t．
【详解】(1)∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠DCB=90°，
∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∴∠EAC＋∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠DCB，
又∵AC=BC，
∴△AEC≌△CDB(AAS)；
(2)如图2，作B'D⊥AC于D，

∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，
∴AB’=AB，∠B’AB=90°，
即∠B′AC＋∠BAC=90°，
而∠B＋∠CAB=90°，
∴∠B=∠B'AC，
∴△B’AD≌△A BD(AAS)，
∴B′D=AC=6，
∴△A B′C的面积=6×6÷2=18；
(3)如图3，由旋转知，OP=OF，
∵△BCE是等边三角形，
∴∠CBE=∠BCE=60°
∴∠OCP=∠FBO=120°，
∠CPO＋∠COP=60°，
∵∠POF=120°，
∴∠COP＋∠BOF=60°，
∴∠CPO=∠BOF，在△BOF和△PCO中
∠OBF=∠PCO=120°,∠BOF=∠CPO，OF=OP
∴△BOF≌△PCO，
∴CP=OB，
∵EC=BC=4cm，OC=3cm，
∴OB=BC-OC=1，
∴CP=1，
∴EP=CE＋CP=5，
∴点P运动的时间t=5÷2=2.5秒．
【点睛】本题难道角度特别是需要作辅助线，要明确本题考点几何的综合变换，结合全等三角形及辅助线技巧，大胆猜想，小心求证．