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2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修三专题7.6 随机变量及其分布（基础巩固卷）
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这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修三专题7.6 随机变量及其分布（基础巩固卷），文件包含专题76随机变量及其分布基础巩固卷人教A版2019选择性必修第三册原卷版docx、专题76随机变量及其分布基础巩固卷人教A版2019选择性必修第三册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
专题7.6 随机变量及其分布（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（23-24高二下·宁夏银川·期中）正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是( )① ② ③A．最大，最大 B．最大，最大C．最大，最大 D．最大，最大【答案】D【分析】由正态分布曲线，根据对称轴判断的值，再根据图像的“瘦高矮胖”判断的值可得答案.【详解】根据正态分布，反应的是正态分布的平均水平，是正态分布密度曲线的对称轴，分析图像可得 而越小，曲线越“瘦高”，表示取值越集中，而越大，曲线越“矮胖”，表示取值越分散，所以最大故选D【点睛】本题考查了正态分布曲线，熟悉图像的性质是解题的关键，属基础题.2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知事件A，B相互独立，，则（ ）A．0.24 B．0.8 C．0.3 D．0.16【答案】B【分析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解.【详解】因为事件A，B相互独立，所以，所以故选：B3．（2024·云南·二模）从，，，，这组数据中，随机取出三个不同的数，用表示取出的数字的最小数，则随机变量的数学期望（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设知的可能值为1,2,3，由古典概型的概率求、、，进而求期望即可.【详解】由题意知：的可能值为1,2,3，而随机取3个数的取法有种，当时，取法有种，即；当时，取法有种，即；当时，取法有种，即；∴.故选：A.4．（2024·山西吕梁·一模）一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到分为及格）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：先求出，再求出，最后根据正态分布求出该班数学成绩的及格率.详解：由题得∵∴.∴∵,∴该班数学成绩的及格率可估计为0.34+0.5=0.84.故选D.点睛：本题主要考查正态分布及其计算，对于这些计算，千万不要死记硬背，要结合正态分布的图像理解掌握，就能融会贯通.5．（2024·湖南郴州·一模）湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概率求出事件的概率，再利用条件概率公式计算即得.【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有个基本事件，事件A含有的基本事件数是，则，事件含有的基本事件数为，则,所以.故选：B6．（2024高二下·山东烟台·阶段练习）2024年3月12日植树节期间，某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植的概率均分别为，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种值，且至少有1人愿意种植时概率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意分三种情况讨论，再结合独立事件的乘法公式即可得出答案．【详解】4人中，至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的可能性共有3种：①有2人愿意种植A，愿意种植B，C的各有1人，②有2人愿意种植A，有2人愿意种植B，③有3人愿意种植A，有1人愿意种植B，故所求概率P．故选：D．7．（2024高三上·全国·专题练习）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）A．事件A与B相互独立B．事件A与C相互独立C． D． 【答案】D【分析】按相互独立的定义可判断AB，用条件概率公式可判断CD.【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含（个）样本点，它们等可能，事件A含有的样本点个数为，则，同理，事件AB含有的样本点个数为，则，事件AC含有的样本点个数为，则，对于A， ，即事件A与B不相互独立，故A不正确；对于B， ，即事件A与C不相互独立，故B不正确；对于C，，故C不正确；对于D， ，故D正确．故选：D8．（23-24高二下·山东烟台·期中）在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ）A．0.475 B．0.525 C．0.425 D．0.575【答案】B【分析】运用全概率公式及对立事件概率公式计算即可.【详解】设A=“发送的信号为0”， B=“接收到的信号为0”，则=“发送的信号为1”， =“接收到的信号为1”，所以，，，，，，所以接收信号为0的概率为：，所以接收信号为1的概率为：.故选：B.多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．（2024高二下·山西运城·阶段练习）已知随机变量的分布列为，k＝1，2，3，4，5．若Y＝2X－3，下列说法正确的是（ ）A．随机变量X的均值为3 B．随机变量Y的均值为3C．随机变量X的方差为2 D．随机变量Y的方差为9【答案】ABC【分析】根据得到该分布列的性质，展开后可得每个随机变量的取值都是0.2，由此判断均值和方差【详解】由题可知：，故均值，A正确，B正确,C正确，D错误故选：ABC10．（2024高二下·山西大同·阶段练习）设随机变量X的分布列为则下列选项正确的是（ ）．A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据分布列的性质求得，根据分布列、期望、方差的知识确定正确答案.【详解】依题意，，A选项正确.，B选项正确.，C选项错误.，D选项正确.故选：ABD11．（2024·新疆·一模）已知任一随机变量，若其数学期望，方差均存在，则对任意的正实数，有，即表示事件“”的概率下限估计值为．现有随机变量，则下列说法正确的有（ ）A．若，则B．C．若，则取最大值时或D．若有不低于的把握使，则的最小值为625【答案】BCD【分析】根据二项分布概率公式直接计算可判断A；根据二项分布期望公式和方差公式计算可判断B；根据题意列不等式组求解可判断C；由可得，然后利用题中结论列不等式求解即可判断D.【详解】因为，所以当时，，A错误；因为，所以，B正确；当时，则，由，解得或，C正确；若，则，，即，由题知，，由解得，D正确.故选：BCD填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（23-24高二下·浙江温州·期中）已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为 ．【答案】/0.8125【分析】设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B，选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，利用全概率公式进行求解即可.【详解】设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B，选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，则，，，由全概率公式可得.故答案为：.13．（2024·湖南长沙·一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”．C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有 ．①A与C互斥；②；③A与D相互独立；④B与C相互独立．【答案】①③【分析】由互斥事件的定义可判断①；分别列举事件和事件的样本点，可求得，，易知，，由相互独立公式可判断③，④；由条件概率公式可判断②.【详解】因为与不可能同时发生，所以与互斥，故①正确；包含：，，，，，共5个基本事件，包含：，，，，，，共6个基本事件，故，，，，则，故③正确；，故④错误；，故②错误；故答案为：①③14．（2024高三上·山东潍坊·阶段练习）边长为2的正方形ABCD的中心为O，对A、B、C、D、O这五个点中的任意两点，以其中一点为起点、另一点为终点作向量，任取其中两个向量（不包括“向量和同端点的相反向量”），以它们的数量积的绝对值作为随机变量X，则其数学期望 ．【答案】【分析】将向量分为三类“边长类”、“半对角线类”、“对角线类”，结合古典概型概率计算公式求得的分布列并求得数学期望.【详解】向量分为三类:“边长类”：，共个.“半对角线类”：，共个.“对角线类”：，共个.从上述个向量中，任取其中两个向量（不包括“向量和同端点的相反向量”），可能取法有种，的可能取值有，，，，所以.故答案为：【点睛】本小题主要目标是求随机变量的分布列和数学期望，关键点有两点，一个是随机抽取向量时，基本事件的总数；另一个是抽取后，计算抽取的向量的数量积的绝对值的可能情形，必须做到不重不漏.解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）15．（23-24高二上·北京·期末）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；【分析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.【详解】（1）名同学中，会法语的人数为人，从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；选派的人中恰有人会法语的概率.（2）由题意可知：所有可能的取值为，；；；；的分布列为：数学期望为16．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）某卖场“618”促销期间，规定每位顾客购物总金额超过888元可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：“在一个不透明的纸箱中放入9个大小相同的小球，其中3个小球上标有数字1，3个小球上标有数字2，3个小球上标有数字3.每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3个球上标有的数字都一样，则获得一张80元的代金券；若取到的3个球上标有的数字都不一样，则获得一张40元的代金券；若是其他情况，则获得一张10元的代金券.然后将取出的3个小球故回纸箱，等待下一位顾客抽奖.”(1)记随机变量X为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)该卖场规定，若“618”期间在该卖场消费的顾客购物总金额不足888元，则可支付19.9元开通该卖场会员服务，获得一次抽奖机会，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意开通会员参加这一次抽奖活动？请说明理由.【答案】(1)分布列见解析，(2)从收益的角度考虑，我愿意开通会员参加这一次抽奖活动，理由见解析【分析】（1）根据随机变量的取值以及对应的具体事件，求出相应的概率即可求解分布列，进而可求期望，（2）从期望角度比较大小即可求解.【详解】（1）由题意可知随机变量X的可能取值为10，40，80，.有可得随机变量X的分布列为：则.（2）由，故从收益的角度考虑，我愿意开通会员参加这一次抽奖活动.17．（2024高三·全国·专题练习）某高中学校为帮助学生充分认识自己的学习优势和兴趣，做好个人职业规划，组织学生参加政治､历史､地理､物理､化学､生物六门学科的测试并在其中选出一门最感兴趣学科.学校在分析学生物理学科测试成绩及兴趣选择时得到如表统计表：学校在分析各学科被选择为最感兴趣学科的人数时发现选择了政治､地理､历史､生物的学生人数所占频率为，为了了解学生职业规划与学习兴趣之间的关系，从各学科最感兴趣人数中用分层抽样的方法抽取15人进行分析.（1）一学生物理成绩低于80分，估计他对物理感兴趣的概率是多少？（2）在抽取的15名学生中将选择物理､化学学科的学生分为一类，从此类学生中随机抽取4人，其中选择物理的学生人数记为X，试求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）根据题意，求得物理学科成绩低于80分的人数以及感兴趣得人数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）根据分层抽样求得各层的人数，得到随机抽取4人中选择物理的学生人数的所有可能取值，求得相应的概率，得出分布列，利用公式，求得数学期望.【详解】（1）由题意，物理学科成绩低于80分的人数为 (人)，其中感兴趣得人数为(人).估计他对物理感兴趣的概率为。（2）所有参加考试的人数为 (人)，由题意知分层抽取15人的抽样比为，对物理感兴趣的学生数为 (人)，所以抽取的15名学生中选择物理的人数为 (人).对化学感兴趣的学生数为 (人)，可得抽取的15名学生中选择化学的人数为 (人).所以随机抽取4人中选择物理的学生人数的所有可能取值为，则，，所以X的分布列为：则.18．（23-24高二下·江苏无锡·期末）某单位为了丰富职工业余生活，举办象棋比赛（每局比赛可能出现胜、负、平三种结果）．甲、乙两人共进行三局比赛，每局比赛甲赢的概率为，甲输的概率为，且三局比赛均没有出现平局的概率为．（1）求三场比赛乙至少赢两局的概率；（2）若该单位为每局比赛拿出1百元奖金，若分出胜负，奖金归胜方；若平局，两人平分奖金．设甲获得奖金总额与乙获得奖金总额之差为（单位：百元），求的分布列及其数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．【分析】（1）由题意知求，应用独立事件的乘法公式、互斥事件加法公式求三场比赛乙至少赢两局的概率；（2）由题意可知，的可能取值为300，200，100，0，-100，-200，-300，根据独立事件的乘法公式、互斥事件加法公式求各可能值的概率，写出分布列并求期望即可.【详解】（1）由题意知，，解得，∴每局乙赢的概率为，设乙至少赢两局为事件，则；（2）易知，随机变量的可能取值为300，200，100，0，-100，-200，-300，由（1）知，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，平局的概率为，∴，，，，，，．则分布列如下表：则数学期望．19．（2024·湖南郴州·模拟预测）中华传统文化的主要内容，从学术流派的角度，主要包括儒家、道家、佛家、诸子百家；从文化载体的角度，主要包括经、史、子、集；从日常生活的角度，主要包括传统民俗文化．为了弘扬中华传统文化，某市初中课后服务开设了中华传统文化专题兴趣小组，该市每学期均组织举办中华传统文化知识竞赛．竞赛规则是：该市属初中均组队参加，每队6人，平均分为3组参加“学术流派”、“文化载体”、“民俗文化”3类专项赛，专项赛的比赛赛制为：每所学校的两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知红心初级中学的张华与刘中两名同学一组，张华与刘中每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．(1)若，记张华在一轮竞赛中答对题的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若，且每轮比赛互不影响，若张华与刘中组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？【答案】(1)分布列见解析，2(2)15轮【分析】（1）根据题意分析可知，根据二项分布的概率公式求出概率可得分布列，根据二项分布的期望公式可求出数学期望；（2）根据二项分布的概率公式求出张华与刘中组获得一个积分的概率，设张华与刘中两同学在n轮比赛中获得的积分数为，则，【详解】（1）由题设随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且，所以，.随机变量X的分布列为：；（2）设刘中在一轮竞赛中答对题的个数为随机变量，由题意得，，则张华与刘中组获得一个积分的概率为，因为，且，所以，所以，当且仅当时等号成立，即，令，则，所以，则，当时，，在上单调递增，则当时，，即，设张华与刘中两同学在n轮比赛中获得一个积分的次数为，则n轮比赛中获得的积分数为，则，, ，在理论上张华与刘中组在n轮比赛中获得的积分数为，所以由，得，因为n为正整数，所以n至少为15.所以若张华与刘中同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行15轮竞赛． X1234PmX104080P物理成绩(分数)(0，60)(60，80)(80，100)感兴趣人数466170不感兴趣人数57463140X1234P 3002001000-100-200-300X0123P
专题7.6 随机变量及其分布（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（23-24高二下·宁夏银川·期中）正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是( )① ② ③A．最大，最大 B．最大，最大C．最大，最大 D．最大，最大【答案】D【分析】由正态分布曲线，根据对称轴判断的值，再根据图像的“瘦高矮胖”判断的值可得答案.【详解】根据正态分布，反应的是正态分布的平均水平，是正态分布密度曲线的对称轴，分析图像可得 而越小，曲线越“瘦高”，表示取值越集中，而越大，曲线越“矮胖”，表示取值越分散，所以最大故选D【点睛】本题考查了正态分布曲线，熟悉图像的性质是解题的关键，属基础题.2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知事件A，B相互独立，，则（ ）A．0.24 B．0.8 C．0.3 D．0.16【答案】B【分析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解.【详解】因为事件A，B相互独立，所以，所以故选：B3．（2024·云南·二模）从，，，，这组数据中，随机取出三个不同的数，用表示取出的数字的最小数，则随机变量的数学期望（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设知的可能值为1,2,3，由古典概型的概率求、、，进而求期望即可.【详解】由题意知：的可能值为1,2,3，而随机取3个数的取法有种，当时，取法有种，即；当时，取法有种，即；当时，取法有种，即；∴.故选：A.4．（2024·山西吕梁·一模）一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到分为及格）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：先求出，再求出，最后根据正态分布求出该班数学成绩的及格率.详解：由题得∵∴.∴∵,∴该班数学成绩的及格率可估计为0.34+0.5=0.84.故选D.点睛：本题主要考查正态分布及其计算，对于这些计算，千万不要死记硬背，要结合正态分布的图像理解掌握，就能融会贯通.5．（2024·湖南郴州·一模）湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概率求出事件的概率，再利用条件概率公式计算即得.【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有个基本事件，事件A含有的基本事件数是，则，事件含有的基本事件数为，则,所以.故选：B6．（2024高二下·山东烟台·阶段练习）2024年3月12日植树节期间，某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植的概率均分别为，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种值，且至少有1人愿意种植时概率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意分三种情况讨论，再结合独立事件的乘法公式即可得出答案．【详解】4人中，至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的可能性共有3种：①有2人愿意种植A，愿意种植B，C的各有1人，②有2人愿意种植A，有2人愿意种植B，③有3人愿意种植A，有1人愿意种植B，故所求概率P．故选：D．7．（2024高三上·全国·专题练习）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）A．事件A与B相互独立B．事件A与C相互独立C． D． 【答案】D【分析】按相互独立的定义可判断AB，用条件概率公式可判断CD.【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含（个）样本点，它们等可能，事件A含有的样本点个数为，则，同理，事件AB含有的样本点个数为，则，事件AC含有的样本点个数为，则，对于A， ，即事件A与B不相互独立，故A不正确；对于B， ，即事件A与C不相互独立，故B不正确；对于C，，故C不正确；对于D， ，故D正确．故选：D8．（23-24高二下·山东烟台·期中）在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ）A．0.475 B．0.525 C．0.425 D．0.575【答案】B【分析】运用全概率公式及对立事件概率公式计算即可.【详解】设A=“发送的信号为0”， B=“接收到的信号为0”，则=“发送的信号为1”， =“接收到的信号为1”，所以，，，，，，所以接收信号为0的概率为：，所以接收信号为1的概率为：.故选：B.多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．（2024高二下·山西运城·阶段练习）已知随机变量的分布列为，k＝1，2，3，4，5．若Y＝2X－3，下列说法正确的是（ ）A．随机变量X的均值为3 B．随机变量Y的均值为3C．随机变量X的方差为2 D．随机变量Y的方差为9【答案】ABC【分析】根据得到该分布列的性质，展开后可得每个随机变量的取值都是0.2，由此判断均值和方差【详解】由题可知：，故均值，A正确，B正确,C正确，D错误故选：ABC10．（2024高二下·山西大同·阶段练习）设随机变量X的分布列为则下列选项正确的是（ ）．A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据分布列的性质求得，根据分布列、期望、方差的知识确定正确答案.【详解】依题意，，A选项正确.，B选项正确.，C选项错误.，D选项正确.故选：ABD11．（2024·新疆·一模）已知任一随机变量，若其数学期望，方差均存在，则对任意的正实数，有，即表示事件“”的概率下限估计值为．现有随机变量，则下列说法正确的有（ ）A．若，则B．C．若，则取最大值时或D．若有不低于的把握使，则的最小值为625【答案】BCD【分析】根据二项分布概率公式直接计算可判断A；根据二项分布期望公式和方差公式计算可判断B；根据题意列不等式组求解可判断C；由可得，然后利用题中结论列不等式求解即可判断D.【详解】因为，所以当时，，A错误；因为，所以，B正确；当时，则，由，解得或，C正确；若，则，，即，由题知，，由解得，D正确.故选：BCD填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（23-24高二下·浙江温州·期中）已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为 ．【答案】/0.8125【分析】设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B，选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，利用全概率公式进行求解即可.【详解】设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B，选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，则，，，由全概率公式可得.故答案为：.13．（2024·湖南长沙·一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”．C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有 ．①A与C互斥；②；③A与D相互独立；④B与C相互独立．【答案】①③【分析】由互斥事件的定义可判断①；分别列举事件和事件的样本点，可求得，，易知，，由相互独立公式可判断③，④；由条件概率公式可判断②.【详解】因为与不可能同时发生，所以与互斥，故①正确；包含：，，，，，共5个基本事件，包含：，，，，，，共6个基本事件，故，，，，则，故③正确；，故④错误；，故②错误；故答案为：①③14．（2024高三上·山东潍坊·阶段练习）边长为2的正方形ABCD的中心为O，对A、B、C、D、O这五个点中的任意两点，以其中一点为起点、另一点为终点作向量，任取其中两个向量（不包括“向量和同端点的相反向量”），以它们的数量积的绝对值作为随机变量X，则其数学期望 ．【答案】【分析】将向量分为三类“边长类”、“半对角线类”、“对角线类”，结合古典概型概率计算公式求得的分布列并求得数学期望.【详解】向量分为三类:“边长类”：，共个.“半对角线类”：，共个.“对角线类”：，共个.从上述个向量中，任取其中两个向量（不包括“向量和同端点的相反向量”），可能取法有种，的可能取值有，，，，所以.故答案为：【点睛】本小题主要目标是求随机变量的分布列和数学期望，关键点有两点，一个是随机抽取向量时，基本事件的总数；另一个是抽取后，计算抽取的向量的数量积的绝对值的可能情形，必须做到不重不漏.解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）15．（23-24高二上·北京·期末）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；【分析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.【详解】（1）名同学中，会法语的人数为人，从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；选派的人中恰有人会法语的概率.（2）由题意可知：所有可能的取值为，；；；；的分布列为：数学期望为16．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）某卖场“618”促销期间，规定每位顾客购物总金额超过888元可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：“在一个不透明的纸箱中放入9个大小相同的小球，其中3个小球上标有数字1，3个小球上标有数字2，3个小球上标有数字3.每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3个球上标有的数字都一样，则获得一张80元的代金券；若取到的3个球上标有的数字都不一样，则获得一张40元的代金券；若是其他情况，则获得一张10元的代金券.然后将取出的3个小球故回纸箱，等待下一位顾客抽奖.”(1)记随机变量X为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)该卖场规定，若“618”期间在该卖场消费的顾客购物总金额不足888元，则可支付19.9元开通该卖场会员服务，获得一次抽奖机会，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意开通会员参加这一次抽奖活动？请说明理由.【答案】(1)分布列见解析，(2)从收益的角度考虑，我愿意开通会员参加这一次抽奖活动，理由见解析【分析】（1）根据随机变量的取值以及对应的具体事件，求出相应的概率即可求解分布列，进而可求期望，（2）从期望角度比较大小即可求解.【详解】（1）由题意可知随机变量X的可能取值为10，40，80，.有可得随机变量X的分布列为：则.（2）由，故从收益的角度考虑，我愿意开通会员参加这一次抽奖活动.17．（2024高三·全国·专题练习）某高中学校为帮助学生充分认识自己的学习优势和兴趣，做好个人职业规划，组织学生参加政治､历史､地理､物理､化学､生物六门学科的测试并在其中选出一门最感兴趣学科.学校在分析学生物理学科测试成绩及兴趣选择时得到如表统计表：学校在分析各学科被选择为最感兴趣学科的人数时发现选择了政治､地理､历史､生物的学生人数所占频率为，为了了解学生职业规划与学习兴趣之间的关系，从各学科最感兴趣人数中用分层抽样的方法抽取15人进行分析.（1）一学生物理成绩低于80分，估计他对物理感兴趣的概率是多少？（2）在抽取的15名学生中将选择物理､化学学科的学生分为一类，从此类学生中随机抽取4人，其中选择物理的学生人数记为X，试求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）根据题意，求得物理学科成绩低于80分的人数以及感兴趣得人数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）根据分层抽样求得各层的人数，得到随机抽取4人中选择物理的学生人数的所有可能取值，求得相应的概率，得出分布列，利用公式，求得数学期望.【详解】（1）由题意，物理学科成绩低于80分的人数为 (人)，其中感兴趣得人数为(人).估计他对物理感兴趣的概率为。（2）所有参加考试的人数为 (人)，由题意知分层抽取15人的抽样比为，对物理感兴趣的学生数为 (人)，所以抽取的15名学生中选择物理的人数为 (人).对化学感兴趣的学生数为 (人)，可得抽取的15名学生中选择化学的人数为 (人).所以随机抽取4人中选择物理的学生人数的所有可能取值为，则，，所以X的分布列为：则.18．（23-24高二下·江苏无锡·期末）某单位为了丰富职工业余生活，举办象棋比赛（每局比赛可能出现胜、负、平三种结果）．甲、乙两人共进行三局比赛，每局比赛甲赢的概率为，甲输的概率为，且三局比赛均没有出现平局的概率为．（1）求三场比赛乙至少赢两局的概率；（2）若该单位为每局比赛拿出1百元奖金，若分出胜负，奖金归胜方；若平局，两人平分奖金．设甲获得奖金总额与乙获得奖金总额之差为（单位：百元），求的分布列及其数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．【分析】（1）由题意知求，应用独立事件的乘法公式、互斥事件加法公式求三场比赛乙至少赢两局的概率；（2）由题意可知，的可能取值为300，200，100，0，-100，-200，-300，根据独立事件的乘法公式、互斥事件加法公式求各可能值的概率，写出分布列并求期望即可.【详解】（1）由题意知，，解得，∴每局乙赢的概率为，设乙至少赢两局为事件，则；（2）易知，随机变量的可能取值为300，200，100，0，-100，-200，-300，由（1）知，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，平局的概率为，∴，，，，，，．则分布列如下表：则数学期望．19．（2024·湖南郴州·模拟预测）中华传统文化的主要内容，从学术流派的角度，主要包括儒家、道家、佛家、诸子百家；从文化载体的角度，主要包括经、史、子、集；从日常生活的角度，主要包括传统民俗文化．为了弘扬中华传统文化，某市初中课后服务开设了中华传统文化专题兴趣小组，该市每学期均组织举办中华传统文化知识竞赛．竞赛规则是：该市属初中均组队参加，每队6人，平均分为3组参加“学术流派”、“文化载体”、“民俗文化”3类专项赛，专项赛的比赛赛制为：每所学校的两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知红心初级中学的张华与刘中两名同学一组，张华与刘中每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．(1)若，记张华在一轮竞赛中答对题的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若，且每轮比赛互不影响，若张华与刘中组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？【答案】(1)分布列见解析，2(2)15轮【分析】（1）根据题意分析可知，根据二项分布的概率公式求出概率可得分布列，根据二项分布的期望公式可求出数学期望；（2）根据二项分布的概率公式求出张华与刘中组获得一个积分的概率，设张华与刘中两同学在n轮比赛中获得的积分数为，则，【详解】（1）由题设随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且，所以，.随机变量X的分布列为：；（2）设刘中在一轮竞赛中答对题的个数为随机变量，由题意得，，则张华与刘中组获得一个积分的概率为，因为，且，所以，所以，当且仅当时等号成立，即，令，则，所以，则，当时，，在上单调递增，则当时，，即，设张华与刘中两同学在n轮比赛中获得一个积分的次数为，则n轮比赛中获得的积分数为，则，, ，在理论上张华与刘中组在n轮比赛中获得的积分数为，所以由，得，因为n为正整数，所以n至少为15.所以若张华与刘中同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行15轮竞赛． X1234PmX104080P物理成绩(分数)(0，60)(60，80)(80，100)感兴趣人数466170不感兴趣人数57463140X1234P 3002001000-100-200-300X0123P
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