2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修三专题7.7 随机变量及其分布（能力提升卷）

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专题7.7 随机变量及其分布（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2024高二·全国·课后作业）某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则“”表示的试验结果是（    ）A．第5次击中目标 B．第5次末击中目标C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标【答案】C【分析】利用离散型随机变量的定义进行判断即可.【详解】因为该人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，因为，所以表示该人射击了5次，前4次都没有击中目标，且第5次可能击中目标也可能没有击中目标，所以选项A、B、D错误；选项C正确.故选：C.2．（23-24高二下·广东潮州·期中）已知随机变量X服从二项分布，则（    ）A．3 B．4 C．2 D．1【答案】D【分析】直接利用二项分布方差的性质求解即可.【详解】∵随机变量X服从二项分布，∴，故选：.3．（2024高二下·河北张家口·阶段练习）已知随机变量X的分布列为，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用离散型随机变量分布列的概率之和为1，求出的值，由此能求出的值．【详解】∵随机变量X的分布列为，，∴，解得，∴．故选：A．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量分布列的概率之和为1的性质的合理运用．4．（2024·安徽·模拟预测）一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件，“第二次取得白球”为事件，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先直接求出，然后利用条件概率公式求出，进而得解.【详解】，，．故选：A.5．（23-24高二下·山西运城·期中）甲、乙两名高校毕业生准备去北京、上海、广州、杭州、南京、西安六个城市中选择一个城市实习，记事件A为“甲和乙至少一人选择北京”，事件为“甲和乙选择的城市不同”，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可知事件A和事件AB对应基数，后由条件概率计算公式可得答案.【详解】由题意知事件A：“甲和乙至少一人选择北京”包含种情况，事件：“甲和乙选择的城市不同，且恰有一人选择北京”包含种，所以.故选：B6．（2024高三·广西柳州·阶段练习）某中学高一年级组织了一次模拟测试，分一部和二部各750人参加.考试后统计的数学成绩服从正态分布，其中一部数学成绩的正态密度函数为，，二部数学成绩，则下列结论错误的是（    ）附：随机变量正态分布，则，，.A．一部这次考试的数学成绩B．二部的分数在100分到分之间的大约有614人C．一部和二部分数在130分以上的人数大致相等D．二部的数学平均成绩高于一部的数学平均成绩【答案】A【分析】根据正态分布的性质逐项分析即可.【详解】对A，因为数学成绩服从正态分布,其密度函数,所以,即.所以这次考试的平均成绩为110，标准差为10，故A错误;对B，因为二部数学成绩7.5，对称轴为，有，所以分数在100到122.5分之间的概率为0.8185，人数人,故B正确;对C，一部数学成绩,二部数学成绩，则130分以上的概率相等，所以分数在130分以上的人数大致相同，故C正确.对D，易知,故D正确,故选：A.7．（2024高二下·辽宁大连·阶段练习）已知事件A，B，且则P(B)等于（    ）A． B． C． D． 【答案】B【分析】结合条件概率公式，由，再由得到，进而求出答案.【详解】由题意，，易知,所以，所以.故选：B.8．（2024·湖北·模拟预测）某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】上午打球为事件A，下午游泳为事件B，利用全概率公式求出，再利用条件概率公式计算即得.【详解】设上午打球为事件，下午游泳为事件，则，于是，因此，所以上午打球的概率为.故选：C多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．（23-24高三上·江苏·期末）若，则下列说法正确的有（    ）A．B．C．不随的变化而变化D．随的变化而变化【答案】AC【分析】根据正态分布的性质对选项一一验证即可.【详解】对于A、B：根据正态分布的对称性可得出与，故A正确，B错误；对于C、D：根据正态分布的性质可得出与都不随的变化而变化，表示的概率为定值，故C正确，D错误；综上：选项A、C正确，故选：AC.10．（2024高二下·广东·阶段练习）正态分布拥有极其广泛的实际背景，大自然中的许多随机变量概率分布都可以用正态分布来描述，已知地的年降水量（单位：）服从正态分布，其中，，，已知，则下列估计正确的是（    ）A．地的年平均降水量为B．地的年降水量不超过的概率大于C．地的年降水量超过的概率大于D．地的年降水量不低于的概率与不超过的概率相等【答案】AD【分析】通过正态分布的参数的含义，以及提供的概率可求答案.【详解】在中，为平均数，A正确；地的年降水量不超过的概率为，不超过的概率小于，B错误；地的年降水量超过的概率，C错误；正态曲线关于直线对称，D正确.故选：AD．11．（2024·江苏盐城·一模）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．【详解】对于A：因为，故A错误；对于B：因为，故B正确；对于C：因为，，所以，故C正确；对于D：由上可得，又因为，故D错误，故选：BC．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（2024·全国·模拟预测）在夏季奥运会的女子射箭团体赛中，每个参赛队伍共有三名队员.在一轮比赛中，每个队伍的三名队员各射箭一次，环数总和为该队伍在这一轮比赛中的成绩.已知在某参赛队的三名队员射中10环的概率分别为，每轮比赛的结果互不影响，根据以往的训练成绩，该队伍在n轮比赛中，比赛成绩为30环的次数X服从正态分布.则当时， .【答案】【分析】正态分布中为平均值，为标准差，根据二项分布和独立重复实验计算出平均值和标准差即可得出答案.【详解】易知一轮比赛成绩为30环的概率，则，所以，所以.故答案为：13．（2024·湖南·模拟预测）某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科目，移动射击科目规则如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动的目标射击，每射击一次消耗一发子弹，若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，则继续射击，3发子弹都没打中，移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现，李好第一枪命中目标的概率为0.8，若第一枪没有命中，第二枪命中目标的概率为0.4，若第二枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下，李好第二枪命中目标的概率是 .【答案】【分析】根据全概率公式结合条件概率公式计算即可【详解】记事件：“李好第一枪击中目标”，事件：“李好第二枪击中目标”，事件：“李好第三枪击中目标”，事件：“目标被击中”，则，，.故答案为：14．（2024高三上·天津滨海新·阶段练习）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一人的口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，则的数学期望为 ；数列的通项公式为 .【答案】 【分析】根据题意求出和的递推公式，进而求出，然后根据均值的计算公式即可求均值，再利用递推关系求出，代入即可求出的通项公式.【详解】设恰有1个黑球的概率为，由题意可知：，，，，所以当时，则有①，②，①②可得：，所以，因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，则，所以，由②知：，因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则，即，又因为，将代入，解得：，故答案为：；.解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）15．（2024·浙江·模拟预测）今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈．节目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮．节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜．如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．(1)将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；(2)将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为1【分析】（1）利用古典概型概率公式求解；（2）先确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再利用期望公式求其期望.【详解】（1）设翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的事件设为，由已知将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张的方法数为，翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的方法数为，则．所以翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率为．（2）由已知随机变量的可能取值有，，，，，所以的分布列所以．16．（2024高二·全国·课后作业）在一个计算机网络服务器系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度.(1)若该系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，该网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为0.9，它们之间相互不影响.求能正常工作的设备数X的分布和数学期望；(2)若该网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能带来约50万的经济损失.为减少经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？【答案】(1)分布列见解析，(2)应选择方案2【分析】（1）由题意可知，根据二项分布求出所对应的概率，即可得到分布列，再根据二项分布的期望公式计算可得；（2）分别计算两种方案的损失期望值，即可做出决策．【详解】（1）解：为正常工作的设备数，由题意可知.所以，，，，从而的分布列为：由，则；（2）解：设方案1、方案2的总损失分别为，，采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到，由（1）可知计算机网络断掉的概率为，不断掉的概率为，所以元；采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在，可知计算机网络断掉的概率为，故元.因此，从期望损失最小的角度，决策部门应选择方案2.17．（23-24高三下·河南洛阳·开学考试）某公司计划在2020年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择．项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，．(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？（参考数据，）【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析(2)大约在2023年年底总资产可以翻一番【分析】（1）分别计算两种投资项目获利的期望和方差，比较大小，可得出结论；（2）依题意列出等式，对数运算即可求解.【详解】（1）若投资项目一，设获利为万元，则的分布列为．若投资项目二，设获利为万元，则的分布列为．．，，，这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资．（2）假设n年后总资产可以翻一番，依题意，，即，两边取对数，得，，大约在2023年年底总资产可以翻一番．18．（2024·四川成都·三模）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.(1)求的值;(2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望；(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率.【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)【分析】（1）根据频率和为1，即可求解；（2）首先确定高度在和的株数，再按照超几何分布，即可求解；（3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解.【详解】（1）依题意可得，解得；（2）由（1）可得高度在和的频率分别为和，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，所以可取0，1，2.所以，，所以的分布列为：所以（3）从所有花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，至多株高度低于为事件，则，，所以.19．（2024高二下·广东佛山·阶段练习）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．(1)证明：；(2)利用该调查数据，给出及R的估计值．【答案】(1)证明见解析(2)，，R的估计值为6【分析】（1）由条件概率公式证明即可；（2）由条件概率公式结合（1）中结论求解即可.【详解】（1），，又，，则；（2），，，，即，，R的估计值为6.0124012330-15P500-30P不够良好良好病例组4060对照组1090