2023-2024学年高中下学期高一数学期末卷（全解全析）（人教B版2019）

这是一份2023-2024学年高中下学期高一数学期末卷（全解全析）（人教B版2019），共14页。试卷主要包含了测试范围，已知，则的值为，秦九韶等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：（必修第三册+必修第四册）（人教B版2019）
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，
所以该复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故选：D
2．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，可得，所以，故选：A
3．已知向量，满足，，则（ ）．
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】由向量，可得，
因为，所以，故选：D.
4．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图，
由斜二测法则知，，
所以，故选：C．
5．在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．不能确定
【答案】B
【解析】在中，已知
由正弦定理得，
所以即
又，则，则，
所以所以该三角形为等腰三角形.
故选：B.
6．设是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则与异面D．若，则
【答案】D
【解析】对A，若，则a与b相交、平行或异面都有可能，故A错误；
对B，若，则或a与b异面，故B错误；
对C，若，则a与b相交、平行或异面都有可能，故C错误；
对D，若，设与的交线为m，与的交线为n，
在平面内取，在平面内取，与a不重合，
由面面垂直的性质可得，所以，
又，所以，由线面平行的性质定理得，
所以有，故D正确.

故选：D.
7．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，即，
则.
故选：A.
8．秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献．设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为，若，，则由“三斜求积术”公式可得的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为，由正弦定理得，所以，
又因为，由余弦定理得，
可得，
所以.
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，由，得，则A错误.
对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确.
对于C，设（，且），
则，所以，则C正确.
对于D，由，得.
设（，且），则，
，从而，则D正确.
故选：BCD
10．已知函数，如图，图象经过点，，则（ ）
A． B．
C．是函数的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增
【答案】AD
【解析】由及过，得，即，
所以，又，解得，故A正确；
又点代入，得，
所以，又，于是，故B不正确；
由，则，故C不正确；
由，得
于是的单调递增区间为，令可知D正确.
故选：AD.
11．《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，如图所示，该几何体是上、下底面均为扇环的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．图中的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，，则下列说法正确的是（ ）．
A．弧AD长度为B．曲池的体积为
C．曲池的表面积为D．三棱锥的体积为5
【答案】AD
【解析】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，
因为弧的长度是弧长度的3倍，底面扇环所对的圆心角为，
所以，解得，所以，可得，
所以弧的的长度为，所以A正确；
该曲池的体积为，所以B不正确；
曲池的表面积为
，所以C不正确；
三棱锥的体积为，所以D正确.
故选：AD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，若向量在上的投影向量为，且与不共线，请写出一个符合条件的向量的坐标 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由向量，可得向量，
因为向量在上的投影向量为，可得，可得，
设，可得，取，
此时向量与向量不共线，故.
13．如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东的方向，灯塔在观察站的南偏东的方向，则灯塔与灯塔间的距离为 （）．
【答案】
【解析】由题意可得，，
在中，由余弦定理可得
，即，
解得，
14．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，E、F分别为和AC中点，则直线EF与平面所成角的余弦值为 ，异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】 /
【解析】取中点，连接，
由题意可知，平面，所以为直线EF与平面所成角，
在中，，
所以；
取中点，连接，
可得，
所以异面直线与所成角的余弦值为，
在中，，，
，
由余弦定理可得，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）如图，在斜坐标系中，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
(1)若，求；
(2)若，求（用表示）；
(3)若，求向量的夹角的大小.
【解】（1）根据题意，得到，
所以
（2）
（3）
，又因为
16．（本小题满分15分）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值.
【解】（1），
由正弦定理得，
则，
即
则，
且，
，；
（2）由和，可知，
因为，
所以，
又因为，
所以，即，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以，
所以的面积的最小值为.
17．（本小题满分15分）已知函数．
(1)若，的最小值为，求的对称中心；
(2)已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在（且）上恰好有12个零点，求的最小值．
【解】（1）的最小正周期为，
又，的最小值为，
的最小正周期是，
故，解得，
当时，，
由，
的对称中心为；
当时，，
由，
的对称中心为，
综上所述，的对称中心为或．
（2）函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
，最小正周期，
令，则，
即或，
解得或．
若函数在（且）上恰好有12个零点，
则，
要使最小，须，恰好为的零点，
故．
可得的最小值为．
18．（本小题满分17分）如图所示，在长方形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面.
(1)求证：；
(2)求四棱锥的体积；
(3)在棱上是否存在一点P，使得平面，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
【解】（1）根据题意可知，在长方形中，和为等腰直角三角形，
∴，
∴，即.
∵平面平面，
且平面平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴.
（2）如图所示，取的中点，连接，则，且.
∵平面平面，且平面平面，平面，
∴平面，
∴.
（3）连接交于点，假设在上存在点P，使得平面，连接.
∵平面，平面平面，
∴，∴在中，.
∵，∴，
∴，即，
∴在棱上存在一点P，且，
使得平面.
19．（本小题满分17分）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有
可见也可以表示成的三次多项式．
(1)利用上述结论，求的值；
(2)化简；并利用此结果求的值；
(3)已知方程在上有三个根，记为，求证：.
【解】（1），所以，
因为，
因为，，
即，
因为，解得（舍）.
（2）
，
故
；
（3）证明：因为，故可令，
故由可得：．
由题意得：，因，故，
故，或，或，
即方程（*）的三个根分别为，，，
又，故，
于是，
.