2023-2024学年高中下学期高一数学期末模拟卷（全解全析）（上海专用）

这是一份2023-2024学年高中下学期高一数学期末模拟卷（全解全析）（上海专用），共16页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题
1．已知i为虚数单位，则复数的虚部为 ．
【答案】
【分析】根据复数除法运算化简复数，进而得结果
【详解】
故答案为：
2．在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 .
【答案】/
【分析】根据弧长公式进行化简即可.
【详解】在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为,
故答案为：
3．已知向量且，则 .
【答案】-28
【分析】由平面向量平行与垂直的坐标运算,列方程组求解
【详解】因为且，所以，解得.
故答案为：-28
4．已知角的终边与单位圆的交点为，则 .
【答案】
【分析】根据三角函数的定义求出，再根据二倍角公式求解.
【详解】根据三角函数的定义得：，
又因为
故答案为：
5．若向量、满足，，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答.
【详解】由，，得，
所以.
故答案为：
6．若是关于x的实系数方程的一个根，则 ．
【答案】3
【分析】利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求解即可．
【详解】1－i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个根，
可知1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个根，
∴(1＋i)(1﹣i)＝c，∴c＝3．
故答案为：3．
7．的内角的对边分别为，，，若，则 ．
【答案】
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而利用正弦定理可求的值．
【详解】因为，
且，可得，；
由正弦定理可得：．
故答案为：．
8．函数的部分图象如图所示，则 ．

【答案】/
【分析】根据图象求得，进而可得，再代入最大值点即可求得的值，进而可求得.
【详解】由已知可得，，所以，所以，
所以.
又因为在处取得最大值，
所以有，
所以.
又因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
9．如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为 （精确到）.

【答案】5.8
【分析】在中，根据余弦定理求出，然后在，先求出，然后根据正弦定理，即可求出答案.
【详解】在中，有，，，
由余弦定理可得，，
即，
整理可得，
解得或（舍去）.
在中，有，，，
所以，.
由正弦定理可得，
(km).
故答案为：.
10．在中，，点是外接圆上任意一点，则的最大值为 .
【答案】48
【分析】建立平面直角坐标系，用圆的方程设点的坐标，计算的最大值．
【详解】，
，即为直角三角形，
建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，外接圆，
设，，则，，，
所以，当且仅当时取等号．
所以的最大值是48．
故答案为：48．
11．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求出平移后图象对应的解析式，根据单调性可求参数的取值范围.
【详解】由题设可得平移后图象对应的函数解析式为，
因为，故，
因为在不单调，故或，
即或，
所以或，故.
故答案为：.
12．已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，总有，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】不妨设，，则将向量问题转化为解三角形问题，利用极限位置一一分析即可；
【详解】解：不妨设，，则向量问题可转化为如下解三角形问题：
由，为锐角，
同时由余弦定理，
而实际上表示的是OA的延长线．
故，而，则与的夹角．
可知，随着的增大，也在增大，则在减小，
由题意，只需求所趋近的最大值和最小值即可．
第一种极限情况，当与A重合时，
第二种极限情况，当位于OA的延长线无穷远处时，可看作与平行，根据两条平行直线同旁内角互补的性质，，
由于恒成立，则，则k的最小值为．
故答案为：
二、单选题
13．，则是（ ）
A．第一或第二象限角B．第二或第四象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第三象限角
【答案】C
【分析】求解指数不等式可得，进一步得到，则答案可求．
【详解】由，
得，
，
即，
是第一或第三象限的角．
故选：C．
14．设z1，z2为复数，下列命题一定成立的是（ ）
A．如果，a是正实数，那么
B．如果，那
C．如果，a是正实数，那么
D．如果，那么
【答案】A
【分析】根据复数的相关概念结合复数的相关运算逐项分析判断.
【详解】设，
对A：∵，则，
∴，A正确；
对B：∵，即，则，
不能得到，更不能得到，
例如，则，但，B错误；
对C：∵，则，
但只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，C错误；
对D：∵，则，
可得，不能得到，
例如，则，但显然，D错误.
故选：A.
15．已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（ ）
（1）若，则是等腰三角形；
（2）若，则是直角三角形；
（3）若，则是钝角三角形；
（4）若，则是等边三角形．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用三角形的性质、正弦定理、同角三角函数的基本关系进行计算求解.
【详解】中，，由正弦定理有：
，因为中，
所以，即，即，
所以或，故（1）错误；
中，因为，所以，
所以或，故（2）错误；
中，，当时，
，，，显然不满足；
当中有1为负，2个为正，不妨设，
则，，，所以是钝角三角形；故（3）正确；
中，，所以，
所以
因为，
所以，所以，
则是等边三角形，故（4）正确；故A，C，D错误.
故选：B.
16．已知，若存在正整数n，使函数在区间内有2023个零点，则实数a所有可能的值为（ ）
A．1B．－1C．0D．1或－1
【答案】B
【分析】根据题意令分析可得关于t的方程有两个不相等的实根，结合韦达定理可得，分类讨论的分布，结合正弦函数分析判断.
【详解】令，
令，则，即，
∵，
则关于t的方程有两个不相等的实根，设为，令，
可得，则有：
1.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，无实数根，
故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；
2.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：无实数根，在内有两个不相等的实数根，
故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；
3.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，在内有两个不相等的实数根，
故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；
4.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，在内有且仅有一个实数根，
①对任意正奇数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，不合题意；
②对任意正偶数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，不合题意；
5.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有且仅有一个实数根，在内有两个不相等的实数根，
①对任意正奇数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，符合题意；
②对任意正偶数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，不合题意；
综上所述：当，时，符合题意.
此时，解得.
故选：B.
三、解答题
17．已知复数(是虚数单位)，且为纯虚数(是的共轭复数).
(1)求实数的值及复数的模；
(2)若复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的乘法运算算出，然后可得答案；
（2）对进行运算化简，然后可得答案.
【详解】（1）由题意得为纯虚数，
所以，所以；
（2），
因为在复平面内所对应的点在第二象限，所以，
所以.
18．在中，角A、B、C的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理：边转角，得到，进而可求出结果；
（2）根据条件求出，再利用余弦定理求出，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得到，
又因为，所以，
故，得到，又因为，所以.
（2）因为，的面积，
所以，得到，
在中，由余弦定理得，
所以，故的周长为.
19．在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．
(1)写出矩形的面积S与角的函数关系式；
(2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．
【答案】(1)，
(2)当时，矩形的面积最大，最大值为
【分析】（1）首先得出，再用的三角函数分别表示出和，则，再根据二倍角公式，降幂公式和辅助角公式化简即可；
（2）由，得出，根据正弦函数的图像，得出时，面积最大，即可得出最大面积．
【详解】（1）由题可知，，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，．
（2），
，
当，即时，
，
故当时，矩形的面积最大，最大值为．
20．如图，在中，为边上一点，且．
(1)设，求实数、的值；
(2)若，求的值；
(3)设点满足，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析.
【分析】(1)根据向量的减法运算和线性表示即可求解；(2)利用数量积的运算律求解；(2)用基底表示出向量，再用数量积运算律表示出模长，即可得证.
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以；
（2）
；
（3）因为，所以，
因为，，
,,
所以,
,
所以,即，得证.
21．对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”.
(1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②；
(2)求证：当时，是“3级周天函数”；
(3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得.
【答案】(1)是，不是；理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）令，，然后化简，根据定义可知；
（2）令，，，然后化简，从而得证；
（3）若，则，取，则；若，则利用反证法证明即可；若时，由，可得，从而可得结论
【详解】（1）令，，则，
所以是“2级周天函数”；
，不对任意x都成立，
所以不是“2级周天函数”；
（2）令，，，则
所以是“3级周天函数”；
（3）对其进行分类讨论：
1°若，则，此时取，则；
2°若，采用反证法，若不存在，使得，则恒成立，
由（2）可知是“3级周天函数”，
所以，
所以，
因为，，，
所以，
再由恒成立，
所以，
进而可得，这与b，c，d是不全为0矛盾，
故存在，使得；
3°若，由，，
得，
所以存在，使得，
所以命题成立.